6, Полярная система координат

Выберем на плоскости произвольные точку O и ось OP, которая задается единичным направленным отрезком OE;\s\up10( – . Пусть M – произвольная точка плоскости. Обозначим r = OM,  = (OE;\s\up10( –, ^{OM;\s\up10( –}) – ориентированный угол. Тогда пара (r, ) называется полярными координатами точки M.

Точка O называется полюсом, а OP – полярной осью. Совокупность точки O и оси OP называется полярной системой координат на плоскости.

Очевидно, что 0 r < + , а для угла  обычно договариваются, что 0  < 2, либо, что – <   . При этом, если r = 0, то считается  неопределенным.

Выберем декартову СК так, чтобы точка O была ее началом, а положительное направление оси Ox совпадало с направлением оси OP. Пусть M₁ и M₂ – проекции точки M на координатные оси Ox и Oy соответственно. Тогда из OMM₁ и OMM₂ получаем

x = r cos  , r = ,

^{y = r sin  . (14)}  = arctg .

Вообще, знание синуса, косинуса, или тангенса в отдельности не позволяет однозначно определить угол . Его следует находить сразу из двух равенств: cos  = x/r, sin  = y/r,

либо так:  = arccos _, если y  0;

 = – arccos _, если y < 0 (предполагается, что – <   ). Использование арктангенса неудобно: надо оговаривать еще случай x = 0 и поэтому приходится писать 4 равенства.

7. Сферическая и цилиндрическая системы координат

Пусть в пространстве задана декартова СК Oxyz и пусть M(x, y, z) – произвольная точка. Опустим перпендикуляр MM_o на плоскость Oxy. Тогда, очевидно, MM_o= z. Обозначим  =OM,  = M_oOM ; при этом, если z >0, то считаем, что  >0, а если z <0, то  <0.

Пусть (r, ) – полярные

координаты точки M_o на

плоскости. Тогда тройка (r, , ) называется сферическими координатами точки M, а тройка (r, , z) – ее цилиндрическими координатами. Очевидно, что 0   < +, –/2    /2 . Если  =  /2, то точка M лежит на оси Oz, M_o= O и тогда  считается неопределенным.

Найдем формулы, которые связывают декартовы, сферические и цилиндрические координаты

точки M. Из OMM_o находим, что

r = cos ,  = ,

z = sin .  = arcsin

Эти формулы можно рассматривать, как переход от сферических координат к цилиндрическим и обратно; а  у этих систем координат общее. Формулы перехода от декартовых координат к сферическим:

x =  cos cos ,  = ,

y =  sin cos ,  =  arccos ,

z = sin .  = arcsin( z /) .

Во второй формуле знак выбирается в соответствии со знаком y.

Сферические координаты можно использовать для введения внутренних координат на сфере. Если начало координат поместить в центр сферы радиуса , то  и  будут играть роль географических долготы и широты точки M, лежащей на сфере; пишем M(, ). Точно также цилиндрические координаты позволяют ввести внутренние координаты на поверхности цилиндра. Если начало координат разместить на оси цилиндра радиуса r, то  и z будут координатами точки M, лежащей на поверхности цилиндра; пишем M(, z).