2. Базис и аффинные координаты. Проекция вектора на ось. Прямоугольная система координат

1.Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Линейной комбинацией векторов с коэффициентаминазывается вектор. Здесь− заданные числа.

Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю , то она называетсятривиальной. Если же среди коэффициентов линейной комбинации найдется хотя бы один отличный от нуля, то она называется нетривиальной.

Система векторов называетсялинейно зависимой, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору, т.е.

Система векторов называетсялинейно независимой, если только их тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору, т.е.

Теорема. (Критерий линейной зависимости системы векторов линейного пространства). Для того, чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов являлся линейной комбинацией остальных векторов системы.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.

1. Всякая система векторов, включающая нулевой вектор, является линейно зависимой.

2. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, является линейно зависимой.

3. Всякая подсистема линейно независимой системы векторов является линейной независимой.

Теорема. Для того, чтобы система, состоящая из одного вектора, была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы он был нулевым вектором.

Теорема. (О линейной зависимости двух векторов). Два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Теорема. (О линейной зависимости трех векторов).

Три геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Следствие. Если векторы и неколлинеарны, и вектор компланарен с векторами и , то линейно выражается через векторы и (является линейной комбинацией и ), т.е. существуют коэффициенты итакие, что.

Теорема. (О линейной зависимости четырех векторов). Четыре геометрических вектора линейно зависимы.

Следствие. Если векторы , и некомпланарны, то любой векторлинейно выражается через векторы, и (является линейной комбинацией,и ), т.е. существуют коэффициентытакие, что.

2.Базисом пространства называется линейно независимая упорядоченная совокупность векторов такая, что любой вектор пространства является линейной комбинацией векторов этой системы.

Размерностью векторного пространства называется количество векторов в любом его базисе.

Базисом пространства V¹ векторов, расположенных на прямой, является любой ненулевой вектор этого пространства. Размерность пространства V¹ равна 1.

Базисом пространства V² векторов, расположенных на плоскости, является любая пара некомпланарных векторов этого пространства. Размерность пространства V² равна 2.

Базисом пространства V³ векторов, расположенных в пространстве, является любая тройка некомпланарных векторов. Размерность пространства V³ равна 3.

Пусть - базис пространстваV³. Представление геометрического вектора в виде линейной комбинации векторов базиса

называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинацииназываютсякоординатами вектора в базисе .

Теорема. (О разложении вектора по базису). Всякий вектор может быть разложен по некоторому базису векторного пространства единственным образом.

Замечание. Из данной теоремы следует, что координаты данного вектора в заданном базисе определяются однозначно.

Теорема. (Линейные операции с векторами в координатной форме). При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это же число.

Следствие. (Критерий коллинеарности векторов). Для того, чтобы два геометрических вектора были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты в некотором базисе были пропорциональными.

Базис ,,, где , называется ортонормированным, если вектора базиса 1) имеют единичную длину и, в случае , 2) попарно перпендикулярны.

Замечание. Ортонормированный базис в пространстве V² обычно обозначается , в пространствеV³  .

Аффинной системой координат (репером) в пространстве (на плоскостиназывается совокупность точки О и базиса, приведенного к общему началу. ТочкаO называется началом координат, оси, проходящие через начало координат и определенные векторами ,,, называютсяосями координат и обозначаются (ось абсцисс),(ось ординат),(ось аппликат) соответственно. Плоскость, определяемая осями координати(и,и), называется координатной плоскостью соответственно). В этой терминологии аффинная система координат обозначается также символом .

Аффинная система координат в пространстве (на плоскости, соответствующая ортонормированному базису, называетсядекартовой прямоугольной системой координат (ПДСК).

Аффинными координатами точки в пространстве (на плоскости) в данной аффинной системе координат (называются координаты вектораотносительно базиса.

Так как координаты вектора определены однозначным образом в данном базисе, то следовательно, каждой точке однозначным способом сопоставлены ее аффинные координаты. Векторназываетсярадиус-вектором точки в данном репере. Таким образом, по определениюкоординаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора.