
- •Глава 1. Матрицы и определители
- •§1. Матрицы
- •1. Понятие матрицы
- •2. Квадратные матрицы
- •3. Действия с матрицами
- •Тогда суммарная производительность (за рабочий день) будет:
- •§2. Определители. Свойства. Вычисление
- •§3. Обратная матрица.
- •§4. Ранг матрицы
- •Идея практического метода вычисления ранга матрицы
- •Типовой пример. Найти ранг и указать какой-нибудь базисный минор матрицы .
- •Глава 2
- •§2. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы. Правило Крамера. Теорема Кронекера-Капелли
- •§2. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений
- •§4. Однородная система линейных алгебраических уравнений
- •Глава 3 линейные (векторные) пространства
- •§1. Понятие линейного пространства.
- •§ 2. Линейная зависимость и независимость систем векторов. Базис и размерность
- •Типовые примеры.
- •§ 3. Евклидовы пространства
- •Типовые примеры.
- •3.Матрица Грамма.Матрицей Грамадля системы векторовназывается симметричная матрица вида
- •4. Ортогональное разложение векторов. Говорят, что векторортогонален к подпространству, если векторортогонален любому вектору из этого подпространства.
- •§4.Унитарное пространство
- •§5. Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора.
- •§ 5. Собственные векторы и собственные значения матриц.
- •§6. Симметрические операторы. Квадратичные формы и их применения
- •Типовые примеры.
§2. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы. Правило Крамера. Теорема Кронекера-Капелли
1.
Систему можно рассматривать как матричное
уравнение
.
Пусть
матрица
– невырожденная, тогда существует
обратная к ней матрица
Умножим обе части данного равенства
слева на
Получим
Но
тогда
,
а поскольку
Итак, решением системы является произведение матрицы, обратной к А, на столбец свободных членов системы.
Типовые примеры.
1)
Решите систему
.
►Матрица системы имеет вид
Она невырожденная, так как соответствующий ей определитель
.
Следовательно,
решение системы может быть по формуле
,
где X
– матрица, состоящая из неизвестных, В
– матрица, состоящая из свободных
членов, А-1
– обратная матрица для матрицы А.
Обратную матрицу А-1
найдем по формуле
Определим алгебраические дополнения Аik элементов данной матрицы. Получим
,
,
,
,
,
,
Тогда
В данном случае матричное равенство X = A-1B может быть записано в виде
откуда
◄
2)
Решить систему
►Имеем
Найдем
:
Таким
образом,
.◄
2. Правило Крамера. Рассмотрим систему, у которых число уравнений равно числу неизвестных (такие системы называют квадратными).
Пусть
дана система
линейных уравнений с
неизвестными:
Определитель
,
составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.
ТЕОРЕМА.
Если
определитель
квадратной системы отличен от нуля, то
эта система имеет единственное решение.
Это решение может быть найдено по
формулам
,
где
– определитель, получаемый из определителя
заменой
-го
столбца на столбец свободных членов.
Формулы для неизвестных носят название формул Крамера.
Типовой пример. Решить с помощью формул Крамера систему уравнений
►Убедимся прежде всего в том, что определитель системы отличен от нуля:
.
Вычислим теперь остальные, входящие в формулы Крамера, определители:
,
,
.
Подставив полученные значения определителей в формулы Крамера, имеем
Правильность
представленного решения можно проверить
подстановкой значений
в исходную систему уравнений. ◄
3.
Критерий совместности системы линейных
уравнений.
Рассмотрим снова произвольную систему
линейных уравнений с
неизвестными, которую запишем, как и
раньше, в матричной форме:
,
где
,
,
.
Матрицу
называютматрицей
системы , а
матрицу, полученную из матрицы
добавлением столбца свободных членов
,
–расширенной
матрицей системы.
Обозначим расширенную матрицу системы
символом
:
.
Очевидно,
что ранги матриц
и
связаны неравенством
.
Ранг
матрицы
может быть лишь на единицу больше ранга
матрицы
.
Вопрос о совместности системы полностью решается следующей теоремой.
ТЕОРЕМА
(Кронекера-Капелли).
Для того
чтобы система линейных уравнений была
совместна, необходимо и достаточно,
чтобы ранг матрицы этой системы был
равен рангу ее расширенной матрицы,
т.е. чтобы
.
Если
ранг матрицы системы равен рангу
расширенной матрицы, т.е.
,
то ранг матрицы системы называют
рангом
системы.