§ 5. Собственные векторы и собственные значения матриц.

1. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора, соответствующим собственному числу, если выполнено равенство.

Замечание. Если рассматривать нулевой вектор, то он был бы собственным для любого числа, потому что.

Пусть - матрица линейного оператора и . Числоназываетсясобственным значением матрицы , если существует ненулевой вектор, такой что выполнено равенство

Вектор , удовлетворяющий данному соотношению называетсясобственным вектором матрицы , соответствующим собственному значению .

Справедливы следующие свойства.

1. Собственному вектору матрицы соответствует единственное собственное значение. Действительно, если – два собственных значения вектора, тои, откудаили, значит, что противоречит определению. Значит.

2. Если собственный вектор матрицы, удовлетворяющий собственному значению, и– произвольное действительное число, то- так же собственный векторс собственным значением.Действительно, умножим обе части равенства на, получимили, следовательно, ненулевой вектор, удовлетворяет определению и поэтому является собственным вектором матрицы, соответствующим собственному значению.

3. Если илинейно независимые собственные векторы матрицыс одним и тем же собственным значением, то+– собственный векторс собственным значением.Действительно, в силу линейной независимости и, причём, что согласно определению и означает, что вектор– собственный, отвечающий собственному значению.

4. Собственные векторы матрицы , соответствующие попарно различным собственным значениям являются линейно независимыми. Докажем свойство для . Пустьи,. Предположим, чтои- линейно зависимы, следовательно, существует линейная комбинацияпричём хотя бы один из коэффициентовиненулевой. Пусть, тогдагде. Значит, согласно свойству 2 векторявляется собственным вектором матрицы, отвечающим собственному значению. Из единственности собственного значения для вектораследует, что. Значит, векторыилинейно независимы.

Преобразуем равенство

получим

В развёрнутом виде данное равенство есть однородная система уравнений с неизвестными. Такая система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, то есть

Левая часть есть многочлен степени по. Он называетсяхарактеристическим многочленом матрицы . Данное уравнение называетсяхарактеристическим уравнением, а его корни – характеристические числа или собственные значения матрицы . Совокупность всех собственных значений матрицыс учётом их кратности (как корней характеристического уравнения) называетсяспектром матрицы .

Алгоритм нахождения собственных чисел и собственных векторов.

1)Найти корни характеристического уравнения .

2) Для каждого найденного характеристического корня решить однородную систему и найти её фундаментальную систему решений (это и будут собственные векторы, соответствующие данному числу).

Пример. (Все характеристические корни действительны и различны.)

Найти все собственные числа и собственные векторы для линейного оператора с матрицей А:

.

Найдём характеристическое уравнение.

=.. Находим 3 характеристических корня: 1,2 и 3. Далее, решаем однородную систему уравненийдля каждого из трёх собственных чисел.

1) .

(ранг системы равен 2, рассматриваем 1-е и 3-е уравнения). Первый и второй столбцы не образуют базисный минор, поэтому не может быть свободной переменной. Пусть свободной переменной будет, и далее, решая систему, получаем фундаментальную систему решений: вектор.

Проверка: умножаем матрицу оператора на этот вектор и видим, что он действительно является собственным и соответствует :

.

2) .

Здесь фундаментальная система решений – вектор .

Проверка:

3) .

здесь фундаментальной системой решений будет .

Проверка: .

Пример. (Все характеристические корни действительны, но среди них есть кратные. Количество линейно-независимых собственных векторов для кратного корня совпадает с его кратностью.) Найти собственные числа и собственные векторы для линейного оператора, заданного матрицей:

; .

Число 1 является корнем данного многочлена, затем делим на и находим ещё два корня. Итак, собственными числами будут 1, 1 и 3. Корень 1 имеет кратность 2. При его подстановке вместо, получим матрицу ранга 1, то есть все 3 строки оказываются линейно зависимыми. Тогда фундаментальная система решений состоит из двух векторов.

1) .

, свободные переменные , фундаментальная система решений:

,

1) .

,

фундаментальная система решений:

.

Проверку можно провести аналогично предыдущему примеру.

Количество линейно-независимых собственных векторов, соответствующих характеристическому корню , определяется количеством свободных неизвестных в системе однородных уравненийи может быть меньше, чем кратность характеристического корня. Так происходит, если для корня кратностиранг матрицыпонижается на число, меньшее, чем, при подстановке данного. Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий эту ситуацию.

Пример. (Количество собственных векторов не совпадает с кратностью корня.)

; == 0, характеристический корень равен 1, его кратность равна двум. Однако для этого линейного оператора не существует линейно-независимой системы из двух собственных векторов на плоскости. Решаем однородную систему, получающуюся при подстановке значения=1.

Второе уравнение будет тождеством 0 = 0, первое уравнение: , при этомx – свободная неизвестная, отсюда следует, что собственным вектором будет вектор (1,0). Базисный минор в этом примере - первого порядка, то есть, несмотря на то что корень кратности 2, ранг матрицы при подстановке характеристического корня понижается на единицу. Поэтому в системе одна свободная переменная, и один собственный вектор.

Ядром линейного оператора называется совокупность всех векторов пространства, для которых. Легко доказывается, что все такие векторы образуют подпространство: , то есть линейная комбинация векторов принадлежащих ядру оператора, тоже принадлежит ядру. Очевидно, векторы ядра соответствуют .

Докажем, что если существует хотя бы один ненулевой вектор, отображаемый линейным оператором в 0, то этот оператор не будет обратимым.

Пусть , то есть вектор принадлежит ядру оператора. Тогда для матрицы этого оператора верно, то есть однородная система

имеет нетривиальное решение. Отсюда следует, что матрица А (а это одновременно и основная матрица данной системы уравнений, и матрица линейного оператора) является вырожденной, то есть не существует обратной матрицы, следовательно, для оператора не существует обратный оператор.

2. Приведение матрицы к диагональному виду. ТЕОРЕМА 1. Сумма собственных значение матрицы А, равна сумме её диагональных элементов, а произведение собственных значений равно определителю матрицы.

Рассмотрим случай размерности . Выпишем характеристическое уравнение:

или .

По теореме Виета и.

Если матрица А имеет треугольный или диагональный вид, то собственные значения в точности совпадают с диагональными элементами. Поставим задачу привести данную матрицу к диагональной или треугольной форме не меняя собственных значений.

Квадратная матрица А называется приводимой к диагональному виду, если существует невырожденная матрица такая, что– диагональная.

ТЕОРЕМА 2. Пусть А – квадратная матрица порядка имеетлинейно независимых собственных векторов. Если взять эти векторы в качестве столбцов матрицы, тогда матрицаимеет диагональный вид, причём на диагонали стоят собственные значения матрицыА, то есть

.

Пример.Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты-выпуск”. Определить, будет ли продуктивной матрица технологических коэффициентов. Найти вектор валовой продукциипри заданном, где

;.

►Для решения вопроса о продуктивности матрицы следует найти собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое уравнение:

,

или

.

Следовательно, ;. Оба корня по модулю меньше единицы, значит, матрица технологических коэффициентовпродуктивная. Для определения вектора валовой продукцииимеем формулу . Найдем обратную матрицу для матрицы

.

Обозначим , тогда. Следовательно,

.◄

Пример. (Простая модель обмена). Пусть имеется система отраслей производства, каждая из которых выпускает продукцию одного вида. Примем за единицу объем продукции каждой отрасли в рассматриваемом периоде. Обозначим черездолю продукции отрасли, которая поступает в отрасль. Будем считать, что обмен продукцией происходит только внутри системы (система замкнута), т.е.. Рассмотрим матрицу коэффициентов:

,

где .

Матрица со свойством(сумма элементов ее любого столбца равна единице), называетсяматрицей обмена. Требуется установить такие цены на продукцию каждой отрасли, при которых вся система находится в равновесии, т.е. ни одна отрасль не обогащается за счет другой.

Пусть - цена одной единицы продукции отрасли, а- вектор цен. Тогда расход отрасли, т.е. стоимость всей закупаемой ее продукции определяется как

.

Чтобы отрасль могла развиваться , ее расход не должен превышать дохода, который равен стоимости произведенной ее продукции, т.е.:

.

Если искомые равновесные цены существуют , то система данных неравенств выполняется для них как система равенств:

Данную систему удобно записать в матричном форме

или .

Матричное уравнение означает, что собственный вектор матрицы обмена , отвечающий ее собственному значению, представляет собой искомый вектор равновесных цен.

Пример. (Модель международной торговли). Пусть имеется система стран, бюджет каждой из которых равен соответственно. Обозначим черездолю бюджета, которую странатратит на закупку у страны. Будем считать, что весь бюджет расходуется на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран (система замкнута), т.е..

Рассмотрим матрицу коэффициентов :

,

где .

Матрица со свойством(сумма элементов ее любого столбца равна единице), называетсяструктурной матрицей торговли.

Требуется найти вектор бюджетов стран , обеспечивающий равновесие всей системы, при котором отсутствует значительный дефицит торгового баланса для каждой из стран участниц.

Для любой страны , выручка от внешней и внутренней торговли определяется как.

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е.

.

Если искомые бездефицитные бюджеты существуют, то данная система неравенств выполняется для них как система уравнений:

Данную систему можно записать в матричной форме

или .

Матричное уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы торговли , отвечающей ее собственному значению, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

Пример. Экономическая система состоит из трех отраслей производства, каждая из которых выпускает один вид продукции. Обмен внутри системы происходит в соответствии с данной матрицей обмена

.

Найдите вектор равновесных цен.

► Найдем собственный вектор , матрицы, отвечающий ее собственному значению, решив уравнение, которое в нашем случае имеет вид

.

Решив ее, найдем . Полагая, находим равновесные цены на продукцию каждой отрасли:, где параметрможно трактовать как множитель, связанный с денежной единицей. ◄

Пример. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид

.

Найдите соотношение бюджетов этих стран для сбалансированной торговли.

► Найдем собственный вектор , матрицы, отвечающий ее собственному значению, решив уравнение, которое в нашем случае имеет вид

.

Решив данную однородную систему линейных уравнений, получим . Полученный результат означает, что прибюджеты стран определяются как, и сбалансированность торговли трех стран достигается при следующем соотношении бюджетов.◄

Пример. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид

.

Найдите бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной торговли при условии, сумма бюджетов задана:

(усл. ден. ед.)

►Найдем собственный вектор , матрицы, отвечающий ее собственному значению, решив уравнение, которое в нашем случае имеет вид

.

Решив данную систему получим . Полученный результат означает, что прибюджеты стран определяются как. Подставив найденные значения в заданную систему бюджетов, получим, откуда. Окончательно находим искомые величины стран при бездефицитной торговле (в усл. ден. ед.):◄