§4.Унитарное пространство

Линейное пространство называетсяунитарным пространством, если каждой паре поставлено в соответствие комплексное число, которое называется скалярным произведениемна, обозначается, и для любыхи комплексныхудовлетворяет следующим требованиям:

1) ;

2) ;

3) , причем равенство возможно лишь том случае, когда.

Утверждение. Комплексное линейное пространство

Uⁿ=,

в котором скалярное произведение векторов задано равенством

,

является унитарным пространством.

Типовые примеры.

1.Векторы образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве. Найти скалярное произведение, если

.

►В рассматриваемом случае в соответствии со свойствами скалярного произведения в унитарном пространстве можно записать ◄

2.В унитарном пространстве со скалярным произведением вида построить ортонормированный базис по данному

.

►Сначала проведём процедуру ортогонализации. В данном случае она аналогична описанной для евклидова пространства. Положим

.

Используя условия ортогональности, получим

.

Теперь отнормируем векторы :

◄

§5. Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора.

1. Отображение из линейного пространствав линейное пространствоназываетсялинейным отображением, или линейным оператором, если для любых векторов изи любой константы выполняются равенства:

1)

2)

Заметим, что линейный оператор отображает нулевой вектор в нулевой вектор. По свойству линейности, .

Любая матрица размера задаёт линейное отображение пространствав пространство. С другой стороны, любое линейное отображениеL конечномерных пространств можно задать с помощью матрицы.

Представим вектор x в виде , где- координаты,- базисные векторы, то по свойствам оператора получим

, откуда видно, что образ вектора зависит лишь от координат этого самого вектора и от того, куда отображаются оператором n базисных векторов пространства, то есть зависит от векторов . Матрица, составленная из этих векторов (по столбцам), являетсяматрицей линейного оператора.

Замечание. Рассмотрим линейный оператор, отображающий векторы в пространстве. Этот оператор – знакомое ещё из школы линейное отображение вида. Причём коэффициентможет рассматриваться в качестве матрицы оператора (матрица порядка 1),x – вектор в пространстве . Задать линейное отображениена элементеx = 1 достаточно, чтобы знать образ любого числа x при таком отображении. Фактически, здесь число играет роль и матрицы размеров, и образа единицы:.

2. Построение матрицы линейного оператора. Пусть отображение задано с помощью формулы

то есть для координат произвольного исходного вектора определены координаты его образа. Тогда, рассматривая вместо произвольного вектора x вектор , найдём его образ, это будет вектор. Для этого в формуле, задающей образ вектора, полагаем,,…,. Аналогично находим образы для,…,. Из координат образа векторасоставляем 1-й столбец матрицы линейного оператора, аналогично из координат последующих векторов – остальные столбцы. Рассмотрим на примере.

Пример. Пусть оператор задан с помощью формулы:

.

►Прежде всего, докажем, что это отображение – действительно линейный оператор. Отобразим сумму векторов:

. Теперь каждую координату получившегося вектора можем преобразовать:

.

Аналогично для умножения на константу:

Для того чтобы найти матрицу этого линейного оператора, нужно, как было сказано выше, подставить значения x₁=1, x₂=0, а затем x₁=0, x₂=1. В этом примере образы базисных векторов – соответственно (3, 1) и (2, -1). Поэтому матрица линейного оператора будет иметь вид:

.◄

Пример. .

►Построим матрицу оператора. Отображая вектор (1,0,0), получаем (1,4,-1), соответственно (0,1,0) переходит в (2,1,-2), а вектор (0,0,1) – в (-1,1,3). Матрица линейного оператора:

.◄

Если задана система изn векторов, образующих базис, и какая-нибудь произвольная система n векторов (возможно, линейно-зависимая), то однозначно определён линейный оператор, отображающий каждый вектор первой системы в соответствующий вектор второй системы.

Матрицу этого оператора можно найти двумя способами: с помощью обратной матрицы и с помощью системы уравнений.

Пусть - матрица оператора в базисе. По условию,для всех индексов. Данныеn равенств можно записать в виде одного матричного равенства: , при этом столбцы матрицы- это векторы, а столбцы матрицы- векторы. Тогда матрицаможет быть найдена в виде.

Пример. Найти матрицу линейного оператора, отображающего базис в систему векторов.

►Здесь ,,, и получаем:

.

Проверка осуществляется умножением получившейся матрицы на каждый вектор: .◄

Пример. Линейными операторами являются как правое, так и левое векторное умножение на фиксированный вектор в трёхмерном пространстве, то есть отображения вида и.

►Построим матрицу одного из этих операторов, .Для этого найдём образы всех трёх базисных векторов линейного пространства..

Аналогично, ,

.

Координаты полученных векторов запишем в виде столбцов матрицы оператора.

Матрица оператора: .

Аналогично можно построить матрицу линейного оператора :

.◄

Пример. Линейный оператор дифференцирования в пространстве всех многочленов степени не более n. Это пространство размерности n+1. Возьмём в качестве базиса элементы ,,,…,.

►, ,, аналогично получим,…,.

Матрица этого линейного оператора:

◄

3. Сумма, произведение линейных операторов. Для любых двух линейных операторов определён оператор, называемыйсуммой данных двух операторов. Действие оператора на любой вектор пространстваопределяется так:.

Для всякого линейного оператора определён оператор, называемыйпроизведением на число. Действие этого оператора задаётся с помощью формулы .

Для линейных операторов ,, определён оператор, называемыйкомпозицией двух исходных операторов и обозначаемый. Композиция определяется таким образом:.