Типовые примеры.

1.Образуют ли базис в пространстве R³ векторы ?

►По определению базис составляют линейно независимые векторы. Линейная зависимость (или независимость) определяется исходя из анализа равенства нулю линейной комбинации этих векторов:

.

Последнее векторное уравнение после записи его по компонентам представляет собой систему трёх однородных уравнений относительно . Согласно схеме исследования линейной зависимости векторов вычислим определитель матрицы, составленной из координат векторов

Определитель системы равен нулю, следовательно, она имеет нетривиальное решение и это означает, что исходная группа векторов линейно зависима и не образует базис в R³. ◄

2.Найти размерность и один из базисов линейного пространства решений однородной системы:

►Представленная система состоит из трёх уравнений и содержит 5 неизвестных. Выпишем матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований, сначала поменяв местами строки 1 и 2, а затем вычитая новую первую строку, умноженную на 3 и 4, соответственно из второй и третьей строк :

Видно что ранг матрицы равен 2. Следовательно, две неизвестные являются главными, а три - свободными. Значит ФСР системы содержит 5-2=3 линейно независимых решения. Выберем в качестве главных. Это можно сделать, т.к. минор 2-го порядка, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, отличен от нуля. Система, соответствующая преобразованной матрице, имеет вид

Отсюда, выражая главные неизвестные через свободные, получим общее решение

Или иначе:

.

Фундаментальная совокупность решений является базисом линейного пространства решений исходной системы и в данном случае имеет вид

Размерность искомого пространства равна 3.◄

Матрицей переходаот базисак базисуназывается матрица вида

где для каждого в -ом столбце стоят координатывекторав базисе.

Утверждение.Координаты векторав базисеи координатыэтого же вектора в базисесвязаны равенством

где - матрица перехода от базисак базису.

Утверждение. Матрица перехода от базисак бази­суи матрица обратного переходаот базисак базисусвязаны равенством=.

Типовые примеры.

1.Найти координаты векторав базисе, если известно

►В соответствии с определением матрица перехода от базиса к базисуесть

.

Обозначим координаты вектора в базисечерез, а в базисечерез. Искомые координатысвязаны с известными координатамиследующим соотношением:

.

Видно, что для получения координат необходимо вычислить матрицу, обратную. Используя стандартную процедуру, имеем

.

Вычислим теперь координаты :

. ◄

2.Найти матрицу перехода от базисак базисупо данным разложениям этих векторов в базисе:

.

►Чтобы построить матрицу перехода от базисак базису, необходимо найти разложение векторовпо базису. Сделаем это, представивв виде разложения пос неизвестными координатами, которые требуется определить:

,

или с учётом вида этих векторов в базисе

.

Откуда для координат имеем

Теперь, зная разложение по, выпишем матрицу:

.◄

5. Линейные оболочки и подпространства.Подпространством линейного пространстваназывается множество векторов изтакое, что для любых двух векторовиизи любых двух вещественных чиселилинейная комбинациятакже принадлежит.

Утверждение. Подпространство само является линейным про­странством.

Линейной оболочкойсистемы векторовназывается множество всех линейных комбинаций векторов. Обозначается.

Утверждение. Линейная оболочка системы векторов является подпространством.

Пересечениемдвух подпространстви на­зывается множество всех векторов, принадлежащих одновре­менно и, и . Обозначается .

Суммой двух подпространстви называется множество всех векторов, представимых в виде, где, . Обозначается .

Утверждение. Сумма и пересечение подпространств и являются линейными пространствами, и их размерности связаны равенством

+=+.

Сумма двух подпространств называется прямой суммой, если пересечение этих подпространств состо­ит только из нулевого вектора.

Типовой пример.Найти размерность и какой-нибудь базис суммы и пересечения подпространств, порождённых векторами.

►Вычислим вначале размерность подпространств. С этой целью установим, являются ли линейно независимыми векторы, порождающие данные подпространства. Для подпространства , порождённого векторами, равенство нулю линейной комбинации, эквивалентное системе уравнений, достигается лишь при условии. Следовательно, векторылинейно

независимы и размерность подпространства равна 2:. Для подпространства, порождённого векторами, проводя аналогичный анализ, получим.

Вычислим теперь размерность пересечения подпространств и. По определению векторы, составляющие пересечение, принадлежат одновременно обоим подпространствам. Произвольный векторподпространстваявляется линейной комбинацией базисных векторов:. Аналогично для подпространстваимеем, тогда условие принадлежности пересечению естьили.

Это условие представляет собой систему уравнений относительно коэффициентов . Составим матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований:

Как видно ранг системы равен 3. Значит ФСР состоит из одного линейно независимого вектора. Найдём его, решив систему уравнений, соответствующих последней матрице, получим ,

откуда .

Полагая свободное неизвестное , для остальных имеем

. Итак, пересечение подпространствимеет один базисный вектор

.

Размерность пересечения . Следовательно, в соответствии с равенством

размерность суммы подпространств . В качестве базиса суммы подпространств можно взять, наТиповой пример, векторы, дополненные вектором. В линейной независимости векторовубедиться нетрудно.◄