43 Графы, их виды и способы их задания.

Граф задается множеством точек или вершин х₁, х₂, ..., х_n и множеством линий или ребер a₁, a₂, ... , a_m, соединяющих между собой все или часть точек. Формальное определение графа может быть дано следующим образом.

Графом называется двойка вида

G = (X, A),

где X = {x_i}, i = 1, 2, ..., n – множество вершин графа, A = {a_i}, i = 1, 2,... , m – множество ребер графа.

Графы могут быть ориентированными, неориентированными и смешанными ( рис. 1.2). Если ребра у множества A ориентированы, что обычно показывается стрелкой, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным графом или орграфом ( рис. 1.2,а).

Если ребра не имеют ориентации, то граф называется неориентированным ( рис. 1.2,б). Граф, в котором присутствуют и ребра, и дуги называется смешанным ( рис. 1.2,в). В случае, когда G = (X, A) является орграфом, и мы хотим пренебречь направленностью дуг из множества A, то неориентированный граф, соответствующий G, будет обозначаться и называться неориентированным дубликатом или неориентированным двойником ( рис. 1.2,г).

Каждая вершина неориентированного графа х_i может характеризоваться степенью вершины d(х_i).

Степенью вершины х_i – d(х_i) называется количество ребер, инцидентных этой вершине. Например, для орграфа G₁ ( рис. 1.2,б) характеристики степеней следующие: d(х₁)=2, d(х₂)=3, d(х₃)=3, d(х₄ )=2.

44 . Матрицы смежности и матрицы инцидентности графов. Примеры.

Матрицей смежности неориентированного графа G=(V,X) называется квадратная симметричная матрица A(G)=[a_ij] порядка n, где

.Матрица инцидентности графа G называется матрица B(G)=[b_ij] порядка n´m, где

Ниже приведён пример неориентированного графа и соответствующей ему матрицы смежности A. Этот граф содержит петлю вокруг вершины 1, при этом в зависимости от конкретных приложений элемент может считаться равным либо одному (как показано ниже), либо двум.

Граф Матрица смежности

a_ij — число рёбер, связывающих вершины и, причем в некоторых приложениях каждая петля (ребропри некотором) учитывается дважды.

Матрица смежности пустого графа, не содержащего ни одного ребра, состоит из одних нулей

Граф Матрица инцидентности

45 и 44 одинаково

45 . Матрицы в графах. Пути и цепи. Отношения достижимости и связности.

Матрица достижимости  — это матрица, содержащая информацию о существовании путей между вершинами в орграфе.

Матрица достижимости ориентированного графа D − квадратная матрица T(D)=[Tij] порядка N, элементы которой равны

Матрица связности графа G − квадратная матрица S(G)=[Sij] порядка N, элементы которой равны

46. Обходы графов. Задача Эйлера о кенигсберских мостах. Эйлеровы графы.

Эйлеровым циклом в графе называется цикл, содержащий все ребра графа Граф, обладающий эйлеровым циклом, называется эйлеровым графом.

2 Отцом теории графов является Эйлер (1707-1782), решивший в 1736г. широко известную в то время задачу, называвшуюся проблемой Кёнигсбергских мостов. В городе Кёнигсберге (ныне Калининград) было два острова, соединенных семью мостами с берегами реки Преголя и друг с другом так, как показано на рисунке 5. Задача состояла в следующем: найти маршрут прохождения всех четырёх частей суши, который начинался бы с любой из них, кончался бы на этой же части и ровно один раз проходил по каждому мосту

Рис5

Для доказательства того, что задача не имеет решения, Эйлер обозначил каждую часть суши точкой (вершиной), а каждый мост – линией (ребром), соединяющей соответствующие точки. Получился “граф”. Этот граф показан на рисунке 6, где точки отмечены теми же буквами, что и четыре части суши на рисунке 5.

3 Задача об эйлеровом обходе формулируется следующим образом. Пусть задан связной неориентированный граф Спрашивается, можно ли найти втакой цикл, который содержит все вершины и все ребра исходного графа, при условии, что в маршруте, задаваемом циклом, каждое ребровстречается один и только один раз?

Рисунок 3.14. Неэйлеров граф	Рисунок 3.15. Эйлеров граф

Такой цикл , удовлетворяющий сформулированному определению,  если он существует, называется Эйлеровым циклом, а граф, содержащий, называется Эйлеровым графом.

На рис. изображен граф, не являющийся Эйлеровым. Граф, изображенный на рис.3.15, является Эйлеровым, т.к. он содержит Эйлеров цикл .