09-01-2016_12-37-42 (1) / методичка_физика_механика (2009, кр 1,2)

Подставляя (4) и (6) в (3), получим окончательный результат, представленный в ответе.

3.5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ ЭНЕРГИИ Замкнутая система

Рассмотрим изолированную систему материальных тел m1, m2, m3, …, между которыми действуют только силы тяготения или упругости (потенциальные силы). Запишем для каждого материального тела

представляет собой бесконечно малое изменение кинетической энергии всей системы. Второе слагаемое — бесконечно малая работа всех внутренних сил системы. Согласно рассмотрению п. 3.4 работа есть бесконечно малое уменьшение потенциальной энергии. Поэтому ее можно представить в виде

i, j =1

С учетом введенных обозначений (3.48) и (3.49) равенство (3.47)

перепишем в виде

dK + dU = 0

или

dtd (K + U ) = 0 .

Отсюда следует, что полная энергия системы, в которой действуют только внутренние силы, для любого момента времени остается величиной постоянной, т. е.

ε = K + U = const .

Значение const в последнем равенстве определяется значениями кинетической K0 и потенциальной U0 энергий системы в какой-то определенный момент времени

ε = K + U = K0 + U0 .

Полная энергия изолированной системы, в которой действуют только упругие силы или силы всемирного тяготения, есть величина постоянная. Это закон сохранения энергии в механике, который для рас-

ввести обозначение бесконечно малой работы внешних сил dA = ∑n (Фi ,dxi ),

i=1

то равенство (3.51) принимает вид

dK + dU = dA

или

dε = d(K + U ) = dA .

При конечных изменениях конфигурации системы изменение ее полной энергии Δε равно работе, совершенной всеми внешними силами Фi . При переходе системы из состояния 1 в какое-либо другое состояние 2, имеем

Δε12 = ∫2 d(K + U ) = A12 .

ε1, ε2 – полные энергии системы в начальном и конечном состояниях. Согласно (3.52), изменение полной энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними силами. Данное утверждение — более общая формулировка закона сохранения энергии в механике.

Если в замкнутой системе действуют силы трения, то их работа не может быть учтена изменением потенциальной энергии системы. Поэтому работу сил трения необходимо учитывать как работу внешних сил. Силы трения направлены навстречу перемещениям тел, и работа, совершаемая ими отрицательна, т. е. Δε12 = A12 < 0, полная энергия ε в замкнутой системе убывает. В замкнутой системе, в которой действуют силы трения, полная механическая энергия при движении не сохраняется. Следовательно, закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при таком «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида — тепловой энергии.

Таким образом, когда «исчезает» энергия одного вида, всегда возникает эквивалентное количество энергии других видов. Это утвер-

ждение подтверждается многочисленными экспериментальными исследованиями и не имеет исключений. Закон сохранения энергии в его общем физическом смысле формулируется следующим образом:

энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь переходит из одной формы в другую.

Закон сохранения механической энергии представляет собой следствие законов движения и не является самостоятельным законом. Всеобщее же значение закона сохранения энергии выступает именно там, где он не является следствием законов движения. Там, где закон сохранения механической энергии оказывается несправедливым, т. е. не выполняется, всегда можно указать другие виды энергии, в которые превращается «исчезнувшая» механическая энергия.

Согласно классической физике энергия любой системы меняется непрерывно и может принимать любые значения. Квантовая теория утверждает, что энергия микрочастиц, движение которых происходит в ограниченном объеме пространства, может принимать только дискретный ряд значений.

Вопросы и задания для самопроверки

1.Дайте определение замкнутой и незамкнутой системы, потенциального поля, консервативных (потенциальных) и непотенциальных сил. Приведите примеры.

2.Почему приведенное выше рассмотрение ограничено лишь силами тяготения и упругими силами?

3.Запишите систему уравнений движения для замкнутой и незамкнутой системы материальных тел.

4.Дайте определение полной механической энергии системы материальных тел.

5.Выведите закон сохранения механической энергии для замкнутой и незамкнутой систем материальных тел.

6.Покажите, что в замкнутой системе тел увеличение их кинетической энергии равно уменьшению потенциальной энергии.

7.Установите взаимосвязь между изменением полной энергии незамкнутой системы тел с работой внешних сил, действующих на нее.

8.Почему силы трения, действующие в замкнутой системе, приводят к нарушению закона сохранения механической энергии?

Отсюда получим окончательный результат, представленный в ответе.

Задача 3.11

Тело бросают со скоростью v0 = 12 м/с с высоты h = 30 м под углом α = 24° к горизонту. Найти скорость v тела в момент падения на землю.

Дано: v0 = 12 м/с; h = 30 м; α = 24°. Найти: v.

Используя закон сохранения энергии, имеем

Первое слагаемое в левой части уравнения (1) представляет собой потенциальную энергию тела на высоте h, второе — кинетическую энергию, связанную с его броском. При движении тела его потенциальная и кинетическая энергии меняются так, что их сумма остается величиной постоянной и равной левой части уравнения (1). В момент падения потенциальная энергия тела становится равной нулю, а кинетическая энергия определяется значением скорости, которую необходимо найти по условию задачи (правая часть уравнения (1)). Из

(1) найдем значение скорости v тела в момент падения на землю

Подставляя в последнюю формулу численные значения параметров, получим величину скорости, представленную в ответе.

Обратите внимание, что конечный результат (2), не зависит от угла бросания к горизонту. Это связано с тем, что работа силы тяжести при движении тела не зависит от формы его траектории, а определяется только высотой, с которой брошено тело.

Ответ: v = v02 + 2gh = 27,1 м/с.

Задача 3.12

Тело массой m бросают с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту c высоты h над поверхностью земли. Используя кинематиче-

ские соотношения, найти зависимости кинетической K (t ) и потенциальной U (t) энергии тела от времени t и показать для него выполнение закона сохранения механической энергии, т. е. независимость от времени полной энергии тела ε = K (t ) + U (t ) = const.

Дано: m, v0, α, h.

Найти: K (t ), U (t ), ε = K (t ) + U (t ) = const.

Кинетическая энергия движущегося со скоростью v (t ) тела, его потенциальная энергия на высоте y (t ) и полная механическая энергия определяются соотношениями

Проекции скорости тела, брошенного с начальной скоростью v0

Складывая кинетическую (7) и потенциальную (8) энергии, полу-

которая является постоянной, не зависящей от времени величиной. Однако каждое входящее в нее слагаемое от времени зависит. Соотношение (9) представляет собой закон сохранения механической энергии.

Ответ: ε = const;

K (t) = m2 (v02 − 2v0 gt sin α + (gt)2 ) ; U (t) = mg(h + v0t sin α − gt22 ) .

Задача 3.13

Тело массой m совершает гармонические колебания с циклической частотой ω и амплитудой А на невесомой пружине с коэффициентом упругости k. Найти зависимости кинетической K (t ) энергии тела и потенциальной U (t ) энергии пружины от времени t и показать выполнение закона сохранения механической энергии, т. е. независимость от времени полной энергии системы ε = K (t ) + U (t ) = const.

Дано: k; x (t ) = A sin ωt.

Найти: K (t ), U (t ), ε = K (t ) + U (t ) = const.

Кинетическая энергия движущегося со скоростью v (t ) тела, потенциальная (упругая) энергия и полная механическая энергия системы (тело + пружина) определяются соотношениями

Зная зависимость координаты тела от времени (тело совершает гармонические колебания с циклической частотой ω и амплитудой А!)

можно найти проекцию его скорости на ось, вдоль которой происходит смещение тела

190 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Складывая кинетическую (5) и потенциальную (6) энергии, полу-

Из последнего соотношения довольно трудно заключить, что полная механическая энергия не зависит от времени. Принимая во внимание зависимость периода колебаний тела от его массы и упругости пружины и взаимосвязь между периодом и циклической частотой

Подставляя последнюю формулу в первое слагаемое соотношения (7), имеем

ε = kA22 (sin2 ωt + cos2 ωt) = kA22 .

Таким образом, полная механическая энергия системы, состоящей из тела и пружины, на которой оно колеблется, является сохраняющейся, не зависящей от времени величиной. Это обусловлено тем, что в системе действуют только потенциальные силы — сила тяжести и упругая сила.

Ответ: ε = const;

Задача 3.14

Найти начальную скорость v0 тела, направленную вдоль плоскости, составляющей угол α = 45° с горизонтом, его ускорение а и коэффициент μ трения тела о плоскость, если