уч.пос

3. Исчисление предикатов.

Теоретические сведения:

n-местным предикатом, определенным на множествах , называют выражение, содержащее переменных , превращающееся в высказывание при подстановке вместо этих переменных конкретных элементов из множеств соответственно. Для n-местного предиката будем использовать обозначение . Высказывание будем считать 0-местным предикатом.

На предикаты переносятся все логические операции, которые определены для высказываний. Например, если на множествах определены два предиката и , то – новый предикат, превращающийся в истинное высказывание на тех и только на тех значениях переменных из множеств , на которых в истинное высказывание обращаются оба данных предиката. Кроме того, для предикатов определяются еще две операции:

1)квантор общности;

2)квантор существования.

Эти операции ставят в соответствие одноместному предикату высказывания, логические значения которых определяются следующими формулами:

21

Квантор можно применять и к n-местному предикату, в результате по- лучается(n-1)-местный предикат. Переменную.к которой относится квантор, называют связанной, остальные переменные называют свобод-

ными.

Выражениеобозначают . Символ называют ограниченным квантором общности. Выражение

(P(x)Q(x))обозначают. Символ называют

ограниченным квантором существования.

Множеством истинности предиката , определенного на множествах , называется

Предикат называется тождественно истинным, если

.

Предикат называется тождественно ложным, если .

Предикат называется выполнимым, если

.

Предикат называется опровержимым, если

.

Предикаты и над одними и теми же множествами называют эквивалентными, если .

Определим понятие формулы логики предикатов:

а) всякий 0-местный предикатный символ есть формула;

б) всякий n-местный предикатный символ , где – свободные переменные, есть формула;

в) если и – формулы, то формулами также являются

;

22

д) других формул нет.

Формула логики предикатов превращается в конкретный предикат при подстановке вместо всех ее предикатных переменных конкретных предикатов.

Формулу логики предикатов называют выполнимой (опровержимой) на множестве, если при некоторой подстановке вместо предикатных переменных конкретных предикатов, заданных на этом множестве, она превращается в выполнимый (опровержимый) предикат.

Формулу логики предикатов называют тождественно истинной (тождественно ложной) на множестве, если при всякой подстановке вместо предикатных переменных любых конкретных предикатов, заданных на этом множестве, она превращается в тождественно истинный (тождественно ложный) предикат.

Две формулы логики предикатов и с одноименными предикатными переменными называются равносильными, если при всякой подстановке вместо предикатных переменных любых конкретных предикатов.заданных над одними и теми же множествами. эти формулы превращаются в равносильные предикаты. Обозначение равносильных формул: .

Формулу логики предикатов называют общезначимой или тавтологией

(тождественно ложной или противоречием),если при всякой подста-

новке вместо предикатных переменных любых конкретных предикатов, заданных на каких угодно множествах, она превращается в тождественно истинный (тождественно ложный) предикат.

23

Задача №11. Множества истинности предикатов равны соответственно . Найти множество истинности предиката

Варианты ответов:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

Решение:

Заметим, что , , .

Тогда

=

=

24

=.

Ответ: 1).

Задача №12. Какими должны быть множества и истинности предикатов исоответственно, заданных над непустым множеством , если известно, что следующее высказывание истинно:

Варианты ответов:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д)

Решение:

По определению конъюнкции двух высказываний из условия следует, что

и .

Из второго соотношения следует, что для всех и , то есть .

Нетрудно убедиться, что при этом выполняется и первое соотношение.

Ответ: а).

Задача №13. Предайте следующей формуле указанную интерпретацию и определите истинностное значение получившегося высказывания:

Пѐтр.

25

Варианты ответов:

а) истина;

б) ложь.

Решение:

В указанной интерпретации . ДляСледовательно, .

Поэтому

Ответ: б).

Задача №14.Для данной формулы выберите верный ответ:

а) тавтология;

б) выполнима, но не является тавтологией;

в) является противоречием.

1);

2);

3)

Решение:

1) Покажем, что данная формула является противоречием. Допустим противное. Это означает, что существует такое множество и такой конкретный предикат на нем, что

Значит, для какого-тодля всех .

В частности это верно для, то есть .

Получили противоречие.

Ответ: в).

26

2) Рассмотрим следующую интерпретацию:

, .

Для интерпретации , , единственное возможное значение

Таким образом, формула выполнима, но не является тавтологией.

Ответ: б).

3) Рассмотрим интерпретацию: – конкретный предикат на множестве

, .

Если

Если

Таким образом, формула является тавтологией.

Ответ: а).

Задача №15.Проанализируйте следующее рассуждение на предмет его правильности. Для этого выявите логическую схему, на которой оно основано, и выясните, справедливо ли оно.

а) справедливо;

б) не справедливо.

Все люди смертны. Сократ - человек. Следовательно, Сократ смертен.

Решение:

Введем следующие обозначения:

– – человек;

– – смертен;

27

– Сократ.

Рассуждение основано на следующей логической схеме:

Если или , то

Если и , то , значит, . Поэтому

Формула является тавтологией, а рассуждение справедливо.

28

Список задач для самостоятельного решения

Задача №1.Определите логическое значение высказывания.

Задача№2. Определите, является ли высказывание тавтологией, противоречием или не является ни тем и ни другим.

Задача №3. Выяснить является ли одно из высказываний логическим следствием другого.

Задача №4. Выяснить, верно ли рассуждение, построив соответственное высказывание.

Задача №5. Привести пропозициональную форму к СДНФ.

Задача №6. Привести пропозициональную форму к СКНФ.

Задача №7. Для данной булевой функции получить представляющий ее многочлен Жегалкина.

Задача №8. Определить свойства данной булевой функции.

Задача №9. Исследовать на полноту данную систему булевых функций.

Задача №10. Исследовать на базисность данную систему булевых функций.

Задача №11. Определить множество истинности данного предиката.

Задача №12. Определить какими могут быть множества истинности данных предикатов.

Задача №13. Предать данную интерпретацию формуле исчисления предикатов и определить истинностное значение получившегося высказывания.

Задача №14. Определить, является ли данная формула исчисления предикатов тавтологией, противоречием или ни тем и ни другим.

Задача №15. Выяснить, верно ли рассуждение, построив соответственную формулу исчисления предикатов.

29

4. Задачи для самостоятельного решения

Задача №1. Определите логическое значение последнего высказывания, исходя из логических значений всех предыдущих высказываний.

Варианты ответов:

;

б) 1;

в) не достаточно сведений для определения значений.

1)λ(A, λ((

2)λ(A, λ(B

3)λ(A, λ(, λ((?

4)λ(A, λ(, λ(

5)λ(A, λ(A, λ( λ?

6)λ(A, λ(A, λ( λ

7)λ(A, λ(A, λ( λ(

8)λ(A, λ( λ(

9)λ( λ(

10)λ((A, λ( λ(A

11)λ(A λ(

12)λ(В λ(

13)λ(В)=0, λ(

14)λ(А)=1, λ(

15)λ(В)=1, λ(

16)λ(А)=0, λ((A

30