Интегрирование ду второго порядка с постоянными коэффициентами Интегрирование лоду второго порядка с постоянными коэффициентами

Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Пусть дано ЛОДУ второго порядка

,

Где p и q постоянны.

Для нахождения общего решения уравнения достаточно найти два его частных решений, образующих фундаментальную систему.

Будем искать частные решения уравнения в виде

,

где k – некоторое число. Дифференцируя эту функцию 2 раза и подставляя выражения для у, у’ и у’’ в уравнение , получим: ,т.е.

, или =0 ().

Уравнение =0 () называется характеристическим уравнением ДУ.

При его решении возможны следующие три случая

Случай 1: Корни уравнения иуравнения=0 (). Действительные и различные: (D = -q > 0).

В этом случае частными решениями уравнения являются функции=

и =. Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы), т.к. их вронскиан

W(x) = =

Следовательно, общее решение уравнения ,

Случай 2: Корни ихарактеристического уравнения=0 (), действительные равные:.

В этом случае имеем лишь одно частное решение .

Покажем, что наряду с решением уравнениябудет и.

Действительно, подставим функцию в уравнение. Имеем: +

Но , т.к.есть корень уравнения=0 () ;, т.к. по условию.

Поэтому , т.е. функцияявляется решением уравнения.

Частные решения иобразуют фундаментальную систему решений:. Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУимеет вид

Случай 3: Корни иуравнения=0 () комплексные:,

В этом случае частными решениями уравнения являются функциии.

По формулам Эйлера:

,

Имеем

,

.

Найдем два действительных частных решения уравнения . Для этого составим две линейные комбинации решений дляи:

и .

Функции иявляются решениями уравнения, что следует из свойств решений ЛОДУ второго порядка. Эти решенияиобразуют фундаментальную систему решений, т.к.. Поэтому общее решение данного уравнения запишется в видеили

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду) Структура общего решения лнду второго порядка

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка

,

где ,,– заданные, непрерывные на(a;b) функции. Уравнение

,

левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ , называетсясоответствующим ему однородным уравнением.

Теорема(структура общего решения ЛНДУ):

Общим решением у уравнения является сумма его произвольного частного решенияи общего решениясоответствующего однородного уравнения, т.е..

Убедимся, что функция – решение уравнения. Так какесть решение уравнения, а– решение уравнения,

то и.

В таком случае имеем:

Это означает, что функция является решением уравнения.

Покажем теперь, что функция

является общим решением уравнения . Для этого надо доказать, что из решенияможно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

, .

Продифференцировав функцию и подставив начальные условия в данную функцию и ее производную, получим систему уравнений:

где ,с неизвестнымии. Определителем этой системы является определитель Вронскогодля функцииив точке. Функцииилинейно независимы, т.е.. Следовательно, система имеет единственное решение:

и .

Решение является частным решением уравнения, удовлетворяющим заданным начальным условиям

, .

Теорема доказана.