Уравнения, допускающие понижение порядка

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим 3 типа уравнений, допускающих понижение порядка.

1. Пусть дано уравнение y’’=f(x). Порядок можно понизить, введя новую функцию p(x), положив y’=p(x). Тогда y’’=p’(x) и получаем ДУ первого порядка: p’=f(x). Решив его, т.е. найдя функцию р=р(х), решим уравнение у’=р(х). Получим общее решение заданного уравнения y’’=f(x).

2. Пусть дано уравнение y’’=f(x;y’), не содержащее явно искомой функции у.

Обозначим у’=р, где р=р(х) – новая неизвестная функция. Тогда у’’=p’ и уравнение y’’=f(x;y’) принимает вид р’=f(x;p). Пусть р= - общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на у’, получаем ДУ: y’= . Оно имеет вид y’’=f(x). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения y’’=f(x;y’) будет иметь вид

у= .

Частным случаем уравнения y’’=f(x;y’) является уравнение y’’=f(y’), не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом: y’=p(x), y’’=p’= . Получаем уравнение p’=f(p) с разделяющимися переменными.

3. Рассмотрим уравнение y’’=f(y;y’), которое не содержит явно

независимой переменной х.

Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р=р(у), зависящую от переменной у, полагая y’=p. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р=р(у(х)):

, т.е. =. Теперь уравнениеy’’=f(y;y’) запишется в виде =f(y;p).

Пусть р= является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию р(у) на y’, получаем y’= - ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения y’’=f(y;y’):

.

Частным случаем уравнения y’’=f(y;y’) является ДУ y’’=f(y). Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: y’=p(y), y’’=.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия

Уравнения вида

,

где - заданные функции (отх), называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка.

Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции называютсякоэффициентами уравнения, а функция g(x) – его свободным членом.

Если свободный член g(x)=0, то уравнение называетсялинейным однородным уравнением, иначе – неоднородным.

Разделив уравнение наи обозначив

запишем уравнение в видеприведенного:

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрим ЛОДУ второго порядка:

И установим некоторые свойства его решений.

Теорема:

Если функции иявляются частными решениями уравнения, то решением этого уравнения является также функция

,

где и- произвольные постоянные.

Подставим функцию и ее производные в левую часть ЛОДУ.

Получаем:

так как функции и- решения уравненияи, значит, выражения в скобках тождественно равны 0.

Таким образом, функция также является решением уравнения.

Из теоремы, как следствие, вытекает, что если и- решения уравнения,

То решениями его будут также функции у=+и у=с.

Функция содержит две произвольные постоянные и является решением уравнения.

А для ответа на вопрос, может ли эта функция являться общим решением, введем понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.

Функции иназываютсялинейно независимыми на интервале (a;b), если равенство

, где ,R, выполняется тогда и только тогда, когда ==0.

Если хотя бы одно из чисел илиотлично от 0 и выполняется равенство, то функциииназываютсялинейно зависимыми.

Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан.

Для двух дифференцируемых функций ивронскиан имеет вид

W(x)= .

Имеют место следующие теоремы.

Теорема: Если дифференцируемые функции (х) и (х) линейно зависимы на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен 0.

Так как функции илинейно зависимы, то в равенствезначениеилиотлично от 0. Пусть0, тогда=; поэтому для любогох (a;b)

W(x)= =0.

Теорема: Если функции (х) и(х) - линейно независимые решения уравненияна(a;b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.