Однородные дифференциальные уравнения

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка.

Функция y=φ(x,у) называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λⁿ , т.е.

f(λ ^. x; λ ^. y)= λ^{n .} f(x, y).

Дифференциальное уравнение y’= f(x, y) называется однородным, если функция f(x, y) есть однородная функция нулевого порядка.

Покажем, что однородное ДУ y’= f(x, y) можно записать в виде

Если f(x, y)- функция нулевого порядка, то, по определению, f(x, y)= f(λ ^. x; λ ^. y)

Положив , получаем:

Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки).

или, что то же самое, y=ux.

Действительно, подставив y=ux и y’=u’x+u в уравнение , получаемu’x+u= или =-u, т.е. уравнение с разделяющимися переменными.

Найдя его общее решение (или общий интеграл), следует заменить в нем u на . Получим общее решение (интеграл) исходного уравнения.

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 Оно будет однородным, если P(x, y) и Q(x, y)- однородные функции одинакового порядка.

Переписав уравнение P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 в виде и применив в правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение .

Линейные уравнения. Уравнения Бернулли.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде

y’+p(x) y=g(x),

где p(x) и g(x) – заданные функции, в частности – постоянные.

Особенность ДУ y’+p(x) y=g(x): искомая функция y и ее производная y’ входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Рассмотрим 2 метода интегрирования ДУ– метод Бернулли и метод Лагранжа.

Метод и.Бернулли

Решение уравнения y’+p(x) y=g(x) ищется в виде произведения двух других функций, т.е. с помощью подстановки y=uv, где u=u(x) и v=v(x) - неизвестные функции от x, причем одна из них произвольна (но не равна 0 - действительно любую функцию y(x) можно записать как , где). Тогдаy’=u’ v+u v’. Подставляя выражения y и y’ в уравнение y’+p(x) y=g(x), получаем: u’ v+u v’+p(x) u v=g(x) или

u’ v+u(v’+p(x)v)=g(x).

Подберем функцию v=v(x) так, чтобы выражение в скобках было равно 0, т.е. решим ДУ v’+p(x) v=0.

Итак, +p(x) v=0, т.е. =-p(x) dx.

Интегрируя, получаем:

Ввиду свободы выбора функции v(x), можно принять с=1.

Отсюда

Подставляя найденную функцию v в уравнение u’ v+u (v’+p(x)v)=g(x), получаем

u’=g(x).

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

, ,

Возвращаясь к переменной y, получаем решение

исходного ДУ y’+p(x) y=g(x).

Метод Лагранжа(метод вариации произвольной постоянной)

Уравнение y’+p(x) y=g(x) интегрируется следующим образом.

Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т.е. уравнение y’+p(x) y=0. Оно называется линейным однородным ДУ первого порядка. В этом уравнении переменные делятся:

и .

Таким образом, , т.е.

или ,где с=

Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную С в полученном решении заменяем функцией с(х), т.е. полагаем с=с(х).

Решение уравнения y’+p(x) y=g(x) ищем в виде