Лекция 16

План лекции

1. Понятие о D и Z - преобразованиях.

2. Область применения D и Z - преобразований.

3. Обратные D и Z - преобразования.

Дискретное преобразование лапласа. Z – преобразование.

В прикладных исследованиях, связанных с использованием решетчатых функций, широко применяется дискретное преобразование Лапласа (Д – преобразование) и Z – преобразование. По аналогии с обычным преобразованием Лапласа дискретное задается в виде

где (1)

Символически Д – преобразование записывается в виде

Для смещенных решетчатых функций

(2)

где - смещение.

Z – преобразование получается из Д – преобразования подстановкой и задается соотношением

(3)

Для смещенной функции

Функция называется оригиналом, если

1)

2) существует показатель роста, т. е. найдутся такие и, что

(4)

Наименьшее из чисел (или предел, к которому стремится наименьшее число), для которого справедливо неравенство (4), называется абсциссой абсолютной сходимости и обозначается

Теорема.

Если функция является оригиналом, то изображениеопределено в областиRe p > и является в этой области аналитической функцией.

Покажем, что при Re p > ряд (1) абсолютно сходится. Имеем

т. к. указанная сумма представляет собой сумму членов убывающей геометрической прогрессии с показателем Известно, что такая прогрессия сходится. Величинуможно взять сколь угодно близкой величине, т. е. первая часть теоремы доказана.

Вторую часть теоремы примем без доказательств.

Изображение является периодической функцией с мнимым периодом

При изучении изображения нет смысла рассматривать его на всей комплексной плоскости, достаточно ограничиться изучением в любой полосе ширинойОбычно на комплексной плоскости используется полоса,которая называется основной. Т. о. Можно считать, что изображенияопределено в полу полосе

и является в этой полу полосе аналитической функцией.

Re p

Im p

π/T

-π/T

Re p

Im p

σ_a

Найдем область определения и аналитичности функции F(z), положив . Покажем, что полу полосаплоскостиp преобразованием переводится в область на плоскостиz: .

Действительно, отрезок , ограничивающий полу полосу на плоскостиp, переводится на плоскости z в окрестность: .

Обозначим через линию, в которую преобразованиепереводит отрезок. Тогда

т. о.

окрестность .

Т. о. Z – преобразование F(z) определено в области и является в этой области аналитической функцией.

Обратное Д – преобразование позволяет по изображению восстановить решетчатую функцию

Im p

π/T

-π/T

σ_a

(5)

Re p

Докажем справедливость равенства.

Получим из равенства (5) формулу для обратного Z – преобразования. Воспользуемся подстановкой . Рассмотренным выше способом легко установить, что отрезокс помощью преобразованияпереводится на плоскостиZ в окрестность

.

Тогда из (5) следует

(6)

Равенство (6) задает обратное Z – преобразование, т. е. позволяет по функции F(z) восстановить решетчатую функцию f(nT).

Т. к. , то все особые точки функцииF(z) и, следовательно, функции лежат внутри окрестности

Из (6) следует, что

Вычеты берутся по всем особым точкам.