- •Спецглавы математики
- •Лекция 1.............................................................................................................4
- •Аннотация
- •Лекция 1 План лекции
- •Функции комплексного переменного.
- •1.Область на комплексной плоскости.
- •Лекция 2 План лекции
- •2. Понятие и функции комплексного переменного.
- •3. Дифференцируемость и аналитичность.
- •Лекция 3 План лекции
- •Элементарные функции комплексного переменного.
- •3. Логарифмическая функция.
- •Пусть , а, тогда,
- •4.Тригонометрические функции.
- •5. Гиперболические функции.
- •6. Обратные тригонометрические функции.
- •Контурным интегралом функции комплексногопеременного называется, если существует, не зависит от способа деления контура с точкамии от выбора точекна дуге.
- •Лекция 7 План лекции
- •Представление аналитических функций рядами.
- •Лекция 9 План лекции
- •Лемма жордана.
- •Интеграл фурье. Преобразование фурье.
- •Лекция 9 План лекции
- •Лемма жордана.
- •Интеграл фурье. Преобразование фурье.
- •Лекция 10 План лекции
- •Некоторые специальные функции.
- •1. Единичная ступенчатая функция.
- •2. Дельта функция.
- •Лекция 11 План лекции
- •Обобщенное преобразование фурье. Преобразование лапласа.
- •Свойства преобразований лапласа.
- •Лекция 13
- •Лекция 14
- •Применение преобразования лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •Обратное преобразование лапласа рациональной алгебраической дроби.
- •Изображение импульса произвольной формы.
- •Разностные уравнения.
- •Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Лекция 16
- •Дискретное преобразование лапласа. Z – преобразование.
- •Лекция 17
- •Связь между обычным преобразованием лапласа и d и z- преобразованиями. Преобразование.
- •Свойства z – преобразования.
Лекция 14
План лекции
Теорема о начальном и предельном значениях.
Применение преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений.
Обратное преобразование Лапласа рациональной алгебраической дроби.
Изображение импульса произвольной формы. Изображение периодических функций.
10.Предельное значение оригинала.
Теорема 10.
Если функции f(t) и f′ (t) являются оригиналами, и функция f(t) имеет изображения F(s), и если произведение s F(s) является аналитической функцией в правой полуплоскости на мнимой оси, то
.
Доказательство.
По теореме изображения производной
Перейдем пределу при , данный предел существует, т. к. функцияsF(s) – аналитическая в окрестности 0. Получим
Переход к пределу под знаком интеграла возможен, т. к. по условию теоремы абсцисса абсолютной сходимости для функции , поэтому
- существует.
наименьшее α- абсцисса абсолютной сходимости.
Re s > , α < 0.
Из равенства
следует, что
.
Для функции
- не существует.
Теорема не справедлива, т. к. функция имеет два полюса на мнимой оси.
Пример.
Найти , если
=
11.Начальное значение оригинала.
Теорема 11.
Если функции f(t) и f′ (t) являются оригиналами, и функция f(t) имеет изображения F(s), то
при условии, что т. о., чтоRe s = c.
Доказательство.
По определению
Перейдем к пределу
Покажем, что
Справедливо равенство
Из равенства
следует, что
Применение преобразования лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим пример. Требуется решить уравнение
Обозначим .
В соответствии с теоремой 2
Пусть заданы начальные условия
Применим к правой и левой частям уравнения преобразование Лапласа
Обратное преобразование лапласа рациональной алгебраической дроби.
Изображение решения линейного дифференциального уравнения имеет вид
,
где - некоторые числа.
Если то дробь неправильная. Поделим числитель на знаменатель
Принимая во внимание изображение и ее производной, получим
- правильная дробь.
Т. о. задача заключается в нахождении обратного преобразования Лапласа от правильной дроби.
В соответствии с формулой обратного преобразования Лапласа
Для вычисления интеграла воспользуемся леммой Жордана. Рассмотрим замкнутый контур L, изображенный на рисунке.
L =
Вычеты берутся по всем точкам, лежащим левее прямой Re S = C.
Тогда
В соответствии с основной теоремой (1) изображение является аналитической функцией в области Re S > , т. к. C > , то все особые точки функции лежат левее прямой Re S = C, т. е. вычеты необходимо брать по всем особым точкам.
Рассмотрим два частных случая.
B(s) = 0, имеет простые вещественные корни.
Обозначим корни уравненияB(s) = 0. Применяя формулу вычетов, найдем
Два корня являются мнимыми.
Пусть уравнение B(s) = 0, имеет корни
корни вещественные и простые.
Изображение такого вида имеет место, когда в правой части дифференциального уравнения стоит гармоническая функция: sin или cos.
Применяя формулу 3 вычетов, найдем
Два первых слагаемых комплексно сопряжены, поэтому при их суммировании мнимые части сокращаются, а вещественные удваиваются.
Иногда вместо операции взятия вещественной части удобно взять мнимую часть. Принимая во внимание, что
,запишем
Замечание.
Полученные формулы можно использовать и в случае комплексных корней уравнения, однако в этом случае возникает необходимость выделять вещественную часть, что часто приводит к громоздким вычислениям. В этом случае целесообразно использовать разложение дроби на сумму простых дробей.