Изображение импульса произвольной формы.

Рассмотрим функцию

f(t)

t

t₁

t₂

Очевидно, что

По теореме линейности

Обозначим

Пусть .

По теореме запаздывания

тогда

(1)

Пример.

Найти L[f(t)], если

f(t)

t

λ

.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Пусть f(t) – периодическая функция периода T. Обозначим f₀(t) один первый период этой функции, т. е.

(*)

Пусть .

Равенство (*) можно рассматривать как импульс и для определения изображения этого импульса можно воспользоваться равенством (1) предыдущего параграфа.

Это равенство позволяет найти изображение периодической функции по изображению одного первого периода этой функции.

ЛЕКЦИЯ 15

План лекции

1. Решетчатые функции.

2. Конечная разность, конечная сумма.

3. Разностные уравнения.

4. Линейные разностные уравнения.

РЕШЕТЧАТЫЕ ФУНКЦИИ.

D- И Z- ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

Решетчатые функции.

Наряду с функциями f(t), заданными в каждой точке числовой оси t, рассмотрим функции, заданные лишь в некоторых точках Такие функции называются решетчатыми. Обычно решетчатые функции задают в равноотстоящих точкахt = nT, где n – любое целое число, T = const, называемая периодом дискретности.

К

t

f(t)

-2T –T 0 T 2T 3T

аждой функцииf(t) непрерывного аргумента t соответствует бесконечное множество решетчатых функций, для этого достаточно положить, что

. Функция при фиксированномтакже является решетчатой, и называется смещенной.

Строго говоря, решетчатые функции являются функциями аргумента n, где n пробегает значений целых чисел, поэтому решетчатая функция обозначается также

Для решетчатой функции вводятся понятия конечная разность, конечная сумма, которые в некотором смысле аналогичны понятиям интеграла и производной для обычных функций.

- называется конечной разностью 1-го порядка функции

Конечной разностью 2-го порядка функции называется конечной разностью 1-го порядка функции

.

Аналогично, конечной разностью - го порядка функцииназывается

.

Конечную разность любого порядка можно определить через значение функции

.

Справедлива формула

здесь - число сочетаний.

Функция F(n) называется первообразной функции f(n), если конечная разность

В дальнейшем будем рассматривать решетчатые функции f(n), определяемые только для положительных n = 0,1,2,… . Для таких n

.

- конечная сумма.

Разностные уравнения.

Уравнение вида

(1)

связывающее решетчатую функцию x(n) и ее конечные разности, называется разностным уравнением.

Это уравнение с помощью формулы

можно привести к виду, в котором содержатся только решетчатые функции x(n)

(2)

Например, уравнение

.

Если в уравнении (2) одновременно присутствуют функции и, то говорят, что уравнение (1) имеет порядокk. При переходе от (1) к (2) функция может сократиться, т. е. (2) может иметь вид

(3)

Введем , тогда

(4)

В этом случае уравнение (1) имеет порядок (k – 1). В литературе разностные уравнения обычно изучаются в форме (2).

Решетчатая функция x(n), обращающая уравнение (2) в тождество, называется решением этого уравнения.

Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами.

Уравнение вида

, (1)

где некоторые числа, называется линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами.

Обычно вместо уравнения (1) рассматривается уравнение, которое получается из (1) путем перехода от конечных разностей к значению функции, т. е. уравнение вида

(2)

Если в уравнении (2) функция, то такое уравнение называется однородным.

Рассмотрим однородное уравнение

. (3)

Теория линейных разностных уравнений аналогична теории линейных дифференциальных уравнений.

Теорема 1.

Если функции являются решениями однородного уравнения (3), то функция

также является решением уравнения (3).

Доказательство.

Подставим функции в (3)

т. к. функция является решением уравнения (3).

Решетчатые функции называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа,причем хотя бы одно отлично от нуля, для любогоn справедливо:

(4)

Если (4) имеет место только при то функции, называются линейно независимыми.

Любое k линейно независимымых решений уравнения (3) образуют фундаментальную систему решений.

Пусть линейно независимымые решения уравнения (3), тогда

является общим решением уравнения (3). При нахождении конкретного условия, определяется из начальных условий

Будем искать решение уравнения (3) в виде:

Подставим в уравнение (3)

(5)

Поделим уравнение (5) на

характеристическое уравнение. (6)

Положим, что (6) имеет только простые корни Нетрудно убедиться, чтоявляются линейно независимыми. Общее решение однородного уравнения (3) имеет вид

Пример.

Рассмотрим уравнение

Характеристическое уравнение имеет вид

Решение имеет вид

.

Пусть корень имеет кратностьr. Этому корню соответствует решение

Если предположить, что остальные корни не являются кратными, то общее решение уравнения (3) имеет вид

Рассмотрим общее решение неоднородного уравнения (2).

частное решение неоднородного уравнения (2), тогда общее решение