начерт

72

Л Е К Ц И Я 8

ГЛАВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

В лекции 4 были рассмотрены две ГПЗ для прямых и плоскостей: 1ГПЗ - задача на пересечение линии и поверхности; 2ГПЗ - задача на пересечение двух поверхностей. В зависимости от вида пересекающихся ГО возможны три случая их расположения относительно плоскостей проекций, каждому из которых соответствует определенный алгоритм решения. В основу любого из этих алгоритмов положено условие - точка или линия пересечения принадлежат каждому из пересекающихся ГО.

8.1. Первый случай ГПЗ (ГПЗ-1)

В 1-м случае пересекаются проецирующие ГО, которыми при ортогональном проецировании могут быть прямая линия, плоскость, цилиндрическая и призматическая поверхности. Согласно алгоритму (лекция 4) в 1-м случае обе проекции точки или линии пересечения известны и их только обозначают.

На рис. 8.1 показано решение 1ГПЗ-1 с призматической поверхностью ÔÏ1 и прямой aÏ2; на рис. 8.2 - 2ГПЗ-1 с цилиндрической поверхностью ÔÏ2 и плоскостью Ï1, на рис. 8.3 - с цилиндрической ÔÏ2 и призматической Ï1 поверхностями.

(в прямоугольник Ô1 - основную проекцию призматической поверхности проецируются на Ï1 все точки этой поверхности).

73

8.2. Второй случай ГПЗ (ГПЗ-2)

Во 2-м случае один пересекающийся ГО является проецирующим, а второй непроецирующим. Алгоритм решения ГПЗ в этом случае:

1.Одна проекция точки или линии пересечения задана на чертеже.

2.Она принадлежит основной проекции проецирующего ГО и её только обозначают.

3.Неизвестная проекция точки или линии пересечения строится по её известной проекции из условия принадлежности точки или линии пересечения непроецирующему ГО.

внутри непрозрачной поверхности и также не видна. На участке

76

на контурных образующих цилиндрической поверхности; 6 - самая верхняя точка кривой (проекция 62 на рис. 8.7 не обозначена). Проекции 12, 22 найдены на меридиане, а 32 - на экваторе сферы; проекции 42, 52, 62 построены подобно проекции M2.

Количество точек, используемых для построения k2 , должно быть таким, чтобы по ним можно было однозначно определить и с достаточной степенью точности вычертить эту проекцию.

Границей видимости точек поверхности относительно ПП являются крайние относительно этой ПП контурные линии поверхности. Поэтому видимость линии пересечения поверхностей может меняться только в точках этой линии, расположенных на крайних относительно рассматриваемой ПП контурных линиях одной из поверхностей. Границей видимости точек сферы относительно Ï2 является её меридиан m - при взгляде на Ï2 видны все точки линии k, лежащие перед меридианом (точки 1, 4, M, 3, 5, 2). Видимость точек цилиндрической поверхности относительно Ï2 меняется на крайних её образующих, проходящих через точки 4 и 5, - при взгляде на Ï2 видны все точки линии k, лежащие в передней части поверхности (точки 4, M, 3, 5). В результате относительно Ï2 видимыми будут те точки линии k, которые одновременно видны и для сферы, и для цилиндрической поверхности - точки 4, M, 3, 5.

В учебном курсе принята модель: поверхности при пересечении образуют единую фигуру и друг в друга не проникают. Так левая контурная образующая цилиндрической поверхности существует только до точки 4, в которой она пересекает сферу, правая - до точки 5, а меридиан m сферы не существует между точками 1 и 2. Проекции несуществующих контурных линий на чертеже либо не наносят, либо вычерчивают тонкой сплошной линией.

Определяя взаимную видимость контурных линий пересекающихся поверхностей, удобно использовать конкурирующие точки. Пусть надо определить: относительно Ï2 видна левая образующая цилиндрической поверхности от точки 7 до точки 4 или меридиан m сферы от точки 8 до точки 1, где 7 и 8 - конкурирующие точки контурной образующей цилиндрической поверхности и меридиана сферы. Ответ: точка 7 цилиндрической поверхности ближе к наблюдателю точки 8 сферы (см. на 71 и 81 на рис. 8.7), поэтому относительно Ï2 видна часть контурных образующих цилиндрической поверхности, а часть меридиана сферы не видна.

77

На рис. 8.8 построена линия пересечения k цилиндрической

поверхности Ô{l(e,l)(lie;li l)} с призматической {t(a,t)(ti a;ti t)},

дугам эллипсов, имеющих общие точки с отрезками образующих на

78

k1 ищут горизонтальные проекции нужного числа точек линии k, используя для этого их фронтальные проекции и образующие li ци-

Проекцией M2 на цилиндрической поверхности в общем случае задаются две точки - собственно точка M(M1,M2) и точка M1(M11,M2). Точка Mli, а точка M1l4, причем l2i l42. На образующих li и l4 еще расположены точки N и N1 второго эллипса.

Характерные точки линии k - точки L, G, P и T, расположенные на ребрах t и t1 призматической поверхности, и точки H, E, F, R, Q и C, принадлежащие контурным образующим цилиндрической поверхности. Проекции E1 , C1 , F1 , Q1 , H1 , R1 найдены на горизонтальных проекциях l1, l11 и l21 этих образующих по известным фронтальным проекциям точек с помощью линий связи. Проекции L1, G1, P1, T1 построены аналогично проекции M1 (см. приведенный выше алгоритм её определения). Точки H, E, F, R, Q и C принадлежат эллипсам, а точки L, G, P и T - общие точки эллипсов и отрезков [L,P] и [G,T] (по этим отрезкам цилиндрическая поверхность пересекается гранью AD призматической поверхности).

В результате пересечения не будут существовать ребра призматической поверхности t между точками L, G и t1 - между точками P, T; контурные относительно Ï1 образующие цилиндрической поверхности l между точками E, C и l1 между точками F, Q и контурная относительно Ï2 образующая этой поверхности l2 между точками H, R.

Относительно Ï1 видны все точки призматической поверхности, расположенные в верхних гранях BA и BD, то есть целиком видны обе дуги эллипсов и не видны отрезки образующих [L,P] и [G,T]. У цилиндрической поверхности относительно Ï1 видны все её точки, лежащие выше контурных относительно Ï1 образующих l и l1, то есть только части дуг эллипсов FM1HME и QN1RNC, и не видны дуги эллипсов GF, LE и TQ, CR, а также отрезки указанных образующих. Окончательная видимость линии k относительно Ï1 совпадает с видимостью линии k на цилиндрической поверхности.

79

Для определения видимости контурных линий пересекающихся поверхностей на одном из участков использованы конкурирующие относительно Ï1 точки 3 образующей l цилиндрической поверхности и 4 ребра t1 призматической поверхности. Так как точка 3 выше точки 4 (см. на 32 и 42), то на рассматриваемом участке видна до точки C образующая l и не видно до точки P ребро t1 . В данном примере вопрос видимости контурных линий решался ещё для трех аналогичных участков фигуры, полученной в результате пересечения поверхностей.

Л Е К Ц И Я 9

ГЛАВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ (продолжение)

9.1. Конические сечения

При пересечении конической поверхности плоскостью в зависимости от их взаимного положения линией пересечения может быть та или иная кривая второго порядка. На рис. 9.1 - 9.3 это демонстрируется на примере пересечения плоскостью конической поверхности вращения.

2

Ã1

Ã2

в сечении получают эллипс (Ã1 ) или его частный случай - окружность (Ã2). Если плоскость параллельна одной образующей конической поверхности, не пересекает её вторую полость и = (рис. 9.2), то в сечении получают параболу ( 1 ) или её частный случай -

80

пару совпадающих прямых (2). Если плоскость параллельна двум образующим конической поверхности, пересекает обе её полости и > (рис.9.3), то в сечении получают гиперболу (1 ) или её частный случай - пару пересекающихся прямых (2) (рис. 9.3).

ПРИМЕР 9.1. Построить линию пересечения k конической поверхности Ô{t(T,m)(tiT;tim)} и плоскости (рис. 9.4).

Линия k в примере является эллипсом, поскольку плоскость пересекает все образующие конической поверхности и не пересекала бы её вторую полость при наличии таковой.