23)Разложение функции в степенной ряд (ряд Тейлора). Необходимые и достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.

1. Если функция f(x)имеет непрерывные производные до(n+1)-го порядка включительно, то ее можно разложить в степенной ряд в точкеx=aпоформуле Тейлора:f(x)=∑n=0∞f(n)(a)(x−a)nn!=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)(x−a)22!+…+f(n)(a)(x−a)nn!+Rn,гдеостаточный членRnв форме Лагранжа определяется выражениемRn=f(n+1)(ξ)(x−a)n+1(n+1)!, a<ξ<x.Если данное разложение сходится в некотором интервалеxс центром в точкеa, т.е.limn→∞Rn=0, то оно называетсярядом Тейлора, представляющим разложение функцииf(x)в окрестности точкиa.Ряд Маклоренаявляется частным случаем ряда Тейлора, когда разложение в степенной ряд производится в точке a=0:  f(x)=∑n=0∞f(n)(0)xnn!=f(0)+f′(0)x+f′′(0)x22!+…+f(n)(0)xnn!+Rn.

24)Разложение функций…

1. ex=1+x+x22!+x33!+…+xnn!+…  

2. ax=1+xlna1!+(xlna)22!+(xlna)33!+…+(xlna)nn!+…  

3. ln(1+x)=x−x22+x33−x44+…+(−1)nxn+1n+1±…,−1<x≤1  

4. ln1+x1−x=2(x+x33+x55+x77+…),|x|<1  

5. lnx=2[x−1x+1+13(x−1x+1)3+15(x−1x+1)5+…],x>0  

6. cosx=1−x22!+x44!−x66!+…+(−1)nx2n(2n)!±…  

7. sinx=x−x33!+x55!−x77!+…+(−1)nx2n+1(2n+1)!±…  

8. tanx=x+x33+2x515+17x7315+62x92835+…,|x|<π2 

9. cotx=1x−(x3+x345+2x5945+2x74725+…),|x|<π  

10. arcsinx=x+x32⋅3+1⋅3x52⋅4⋅5+…+1⋅3⋅5…(2n−1)x2n+12⋅4⋅6…(2n)(2n+1)+…,|x|<1 

11. arccosx=π2−(x+x32⋅3+1⋅3x52⋅4⋅5+…+1⋅3⋅5…(2n−1)x2n+12⋅4⋅6…(2n)(2n+1)+…),|x|<1 

12. arctanx=x−x33+x55−x77+…+(−1)nx2n+12n+1±…,|x|≤1  

13. coshx=1+x22!+x44!+x66!+…+x2n(2n)!+… 

14. sinhx=x+x33!+x55!+x77!+…+x2n+1(2n+1)!+… 

25)Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

Вычисление приближенного значения функции f(x) основано на использовании приближенного равенства f(x)  S_n(x), где S_n(x) – частичная сумма степенного ряда, в который раскладывается данная функция. Для определения погрешности найденного приближенного значения, нужно оценить сумму отброшенных членов ряда или его остатка r_n(x). Известно, что погрешность приближенного равенства (6.15)

определяется оценочной формулой , т.е. сумма отброшенных слагаемых в разложении функции е^х меньше величины при 0 < x < n +1.

26)Разложение функции в ряд Фурье. Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье.

 Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2 и на отрезке

[-;] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок [-;] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функцииf(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x). Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [-;].

Теорема. Если функция f(x) имеет период 2, кроме того, f(x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке [-;] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва она равна . При этом ряд Фурье функцииf(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x). Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке [-;]. Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции. Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f₁(x) c периодом2Т  b-a, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].

 

 y

  f(x)

Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f₁(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b]. Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2 ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2, то функция продолжается на интервал (b, a + 2) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись. Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2 может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].