5)Однородные уравнения.

Однородные уравнения – это уравнения вида k0xn+k1xn−1y+k2xn−2y2+...+kn−1xyn−1+knyn=0k​0​​x​n​​+k​1​​x​n−1​​y+k​2​​x​n−2​​y​2​​+...+k​n−1​​xy​n−1​​+k​n​​y​n​​=0 с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

6)Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение вида

y′+a(x)y=f(x) ,где a(x) и f(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

7)Уравнения Бернулли.

Оно записывается в виде y′+a(x)y=b(x)ym, где a(x) и b(x) − непрерывные функции. Если m=0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когда m=1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. В общем случае, когда m≠0,1, уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки z=y1−m. Новое дифференциальное уравнение для функции z(x) имеет вид z′+(1−m)a(x)z=(1−m)b(x)

8)Уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y)с непрерывными частными производными, что справедливо выражение du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой u(x,y)=C, где C − произвольная постоянная.

9)Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде F(x,y,y′,y′′)=0, где F − заданная функция указанных аргументов. Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y′′, то его можно представить в следующем явном виде:

y′′=f(x,y,y′). В частных случаях функция f в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такие неполные уравнения включают в себя 5 различных типов: y′′=f(x),y′′=f(y),y′′=f(y′),y′′=f(x,y′),y′′=f(y,y′).

10)Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Фундаментальная система решений. Теорема о структуре общего решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка. Определитель Вронского.

Линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами записывается в виде y′′+a1(x)y′+a2(x)y=0, где a1(x) и a2(x) являются непрерывными функциями на отрезке [a,b].

Линейная независимость функций. Определитель Вронского Функции y1(x),y2(x),…,yn(x) называются линейно зависимыми на отрезке [a,b], если существуют постоянные α1,α2,…,αn, одновременное не равные нулю, такие, что для всех значений x из этого отрезка справедливо тождество α1y1(x)+α2y2(x)+…+αnyn(x)≡0. Если же это тождество выполняется лишь при α1=α2=…=αn=0, то указанные функцииy1(x),y2(x),…,yn(x) называются линейно независимыми на отрезке [a,b].  Для случая двух функций критерий линейной независимости можно записать в более простом виде: Функцииy1(x),y2(x) будут линейно независимыми на отрезке [a,b], если их отношение на данном отрезке тождественно не равно постоянной: y1(x)y2(x)≠const. В противном случае, при y1(x)y2(x)≡const, эти функции будут линейно зависимыми.  Пусть n функций y1(x),y2(x),…,yn(x) имеют производные (n−1) порядка. Определитель

W(x)=Wy1,y2,…,yn(x)=∣∣∣∣∣∣y1y′1…y(n−1)1y2y′2…y(n−1)2…………yny′n…y(n−1)n∣∣∣∣∣∣

называется определителем Вронского или вронскианом для указанной системы функций.  Теорема. Если система функций y1(x),y2(x),…,yn(x) линейна зависима на отрезке [a,b], то ее определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке.  Отсюда следует, что если определитель отличен от нуля хотя бы в одной точке отрезка [a,b], то функции y1(x),y2(x),…,yn(x) будут линейно независимыми. Это свойство определителя Вронского позволяет выяснить, являются ли найденные решения однородного дифференциального уравнения линейно независимыми.

Фундаментальная система решений

Совокупность двух линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка образует его фундаментальную систему решений.  Если y1(x),y2(x) − фундаментальная система решений, то общее решение уравнения второго порядка представляется в виде y(x)=C1y1(x)+C2y2(x), где C1,C2 − произвольные постоянные.  Заметим, что по заданной фундаментальной системе решений y1(x),y2(x) можно построить соответствующее однородное дифференциальное уравнение. Для случая второго порядка такое уравнение выражается через определитель в виде:

∣∣∣∣∣y1y′1y′′1y2y′2y′′2yy′y′′∣∣∣∣∣=0. Формула Лиувилля-Остроградского Итак, как указано выше, общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка является линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y1(x),y2(x) этого уравнения. Очевидно, что частные решения зависят от коэффициентов дифференциального уравнения. Формула Лиувилля-Остроградского устанавливает связь между вронскианом W(x), построенном на базе частных решений y1(x),y2(x), и коэффициентом a1(x) в дифференциальном уравнении.  Пусть W(x) − определитель Вронского решений y1(x),y2(x) линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка

y′′+a1(x)y′+a2(x)y=0, в котором функции a1(x) и a2(x) непрерывны на отрезке [a,b]. Пусть точка x0 принадлежит отрезку [a,b].Тогда для всех x∈[a,b] справедлива формула Лиувилля-Остроградского: W(x)=W(x0)exp⎝−∫x0xa1(t)dt⎠.