4.3.3. Интервальная оценка доли (параметра биноминального распределения).

Пусть генеральная совокупность содержит элементов, из которыхэлементов обладает признаком. Задача состоит в определении долив генеральной совокупности, если в случайной выборке объёмаоказалосьэлементов с этим признаком. Если выборка безвозвратная, то вероятность реализации такой выборки равна

Построение доверительного интервала для на основе этой формулы - достаточно трудоёмкая задача. К счастью в большинстве случаев объём выборки во много раз меньше объёма генеральной совокупности, и эту вероятность можно рассчитывать по формуле Бернулли

,

Точечная оценка доли, полученная по методу максимального правдоподобия . Границы доверительного интервала с доверительной вероятностьюнаходятся по формулам Клоппера-Пирсона:

Нижняя граница

,

Верхняя граница

.

В этих формулах - квантиль- распределения сстепенями свободы уровня.

Рассмотрим пример. Предположим, что среди =30 случайно отобранных для продажи автомобилей=8 автомобилей имеют плохую отделку. Тогда точечная оценка доли автомобилей с плохой отделкой равна. Чтобы построить 95-процентный доверительный интервал примем. Тогда

= =;==.

Соответствующие значения квантилей можно найти в таблице-распределения Фишера, или воспользоваться функциейFРАСПОБР в Excel. При этом в окно «Вероятность» следует вводить значение

Найдя значения находим

Следовательно, с вероятностью 0,95 истинное значение лежит в интервале (0,123;0,459).

При больших выборках можно пользоваться нормальной аппроксимацией биноминального распределения, которая приводит к приближённым формулам:

.

Подставляя в эти формулы данные предыдущего примера, находим ,

, ,.Эти приближённые значения достаточно близки к значениям, полученным по точным формулам.

4.4 Проверка адекватности функции распределения

Итак, мы предположили, что выборочные данные распределены по некоторому конкретному закону и нашли соответствующие параметры. Теперь надо проверить, насколько хорошо выбранное теоретическое распределение с найденными параметрами соответствует экспериментальным данным.

4.4.1. Метод Колмогорова.

Этот метод основан на сравнении выборочной функции распределения

с модельной . Простейший способ такого сравнения – нанесение на координатную плоскость точек. Если найденная модельная функция удовлетворительно описывает распределение экспериментальных данных, то эти точки должны быть близки к прямой. Приведенная ниже иллюстрация получена следующим образом. Последовательным переносом 4 столбцов исходного массива данных был сформирован один общий столбец. Затем нажатием иконки АЯ эти данные были упорядочены по возрастанию, т.е был получен ранжированный вариационный ряд. Номер варианта в этом ряду пропорционален значению выборочной функции распределения. Затем в соседнем столбце с помощью функцииНОРМРАСПР был сформирован массив значений интегральной функции нормального распределения с параметрами, найденными ранее. График был получен нажатием иконки «Диаграмма» с последующем выбором раздела «График» в выпадающем меню мастера диаграмм. Как видим, точки графика достаточно близки к прямой.