4.3. Интервальные оценки параметров

Поскольку оценка параметра является функцией случайных величин, то она также является случайной величиной. Очевидно, что в этих условиях нельзя однозначно определить истинное значение искомого параметра. Решение проблемы заключается в изучении распределения вспомогательной случайной величины – некоторой функции искомого параметра и его точечной оценки, монотонной относительно. Эту функцию подбирают таким образом, чтобы плотность её распределенияне зависела от искомого параметра. Интегрируя мы можем определить вероятность её попадания в любой заданный интервал:

.

Поскольку монотонна, то

,

где и- нижняя и верхняя границы интервала, соответствующего интервалу

Задав определённое значение, мы можем построить соответствующие этому значению интервалы. Вероятностьназываетсядоверительной, а соответствующий интервал – доверительным. Выбор значения доверительной вероятности зависит от цены риска выхода за границы соответствующего доверительного интервала. Обычно доверительную вероятность принимают равной 0,95, или 0,99, но в ответственных случаях принимают ещё более высокие значения. Часто доверительную вероятность записывают в виде. Очевидно,- это вероятность того, что искомая величина не входит в доверительный интервал; она называетсяуровнем значимости.

При заданной доверительной вероятности доверительный интервал определяется неоднозначно, и для его окончательного выбора нужны добавочные условия, которые определяются целями его построения. В одних задачах выбирают интервал, симметричный относительно точечной оценки, и записывают его в виде. Для других задач бывает важной только верхняя или только нижняя границы интервалов, и тогда другую границу полагают равной. Очень часто к доверительному интервалу предъявляют требованиенесмещённости. Несмещённым относительно доверительным интервалом при данном значенииназывается такой, для которого вероятность накрытия значенияменьше.

4.3.1. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределённой случайной величины.

4.3.1.1. Стандарт известен.

……Как известно, среднее значение случайных статистически независимых величин, распределённых по нормальному закону с одинаковыми значениями параметров и, распределено тоже по нормальному закону с параметрамии. Поэтому величина

распределена по стандартному нормальному закону с =0 и=1. Следовательно,

,

Чаще всего строят симметричные относительно интервалы, для которых.

В этом случае интервал, накрывающий искомое математическое ожидание с вероятностью часто записывают в виде :

,

где называют полушириной доверительного интервала.

Если вы пользуетесь таблицей интеграла , то значениесоответствует значению, а при применении таблицы- значению. Для удобства ниже приведена таблица значенийдля нескольких значений.

Таблица 4.1

	0,85	0,90	0,95	0,99	0,999
	1,44	1,64	1,96	2,58	3,29

В Excel в меню Статистические есть функция Доверит, которая по заданным уровню значимости, значению и объёму выборкивыдаёт значение.