5.2.2. Сравнение средних двух независимых выборок

Предположим, что имеется две выборки и, причёмираспределены по нормальному закону с одинаковой (проверено двухвыборочным F-тестом для дисперсии), но неизвестной дисперсией . Требуется проверить гипотезу о равенстве математических ожиданийи. Разностьраспределена тоже по нормальному закону с математическим ожиданием, и дисперсией.

Оценкой может служить средневзвешенное значениедвух выборок:

Случайная величина

,

имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Поэтому в качестве критерия для проверки гипотезыможно взять статистку

При альтернативной гипотезе гипотезуможно принять, если. Если альтернативная гипотеза, то нулевая гипотеза принимается при условии, а при- при условии.

Если же дисперсии различны, то значение вычисляется по формуле

,

а число степеней свободы – наибольшее целое, не превосходящее значения

Конечно, все величины для вычисления можно находить отдельно. Но стоит обратить внимание на то, что вExcel в меню СервисАнализ данныхесть функции Двухвыборочный -тест с одинаковыми дисперсиями и Двухвыборочный -тест с разными дисперсиями для работы которых достаточно ввести просто координаты массивов и. Различия в этих функциях целиком описаны в их названиях, и, если выборочные дисперсии различаются не слишком сильно, то результаты оказываются идентичными. В качестве примера приведём результат действия функции « Двухвыборочный -тест с одинаковыми дисперсиями (B2:E2;B18:E18;0;0,05;G2)».

В ячейках находились результаты измерения концентрации первым студентов,-вторым, число 0 показывает, что мы проверяем гипотезу, 0,05 – установленный уровень значимости, и , наконец- номер ячейки, которую решено сделать левым верхним углом таблицы вывода результатов:

Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями
	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	309,875	311,125
Дисперсия	10,22916667	48,39583333
Наблюдения	4	4
Объединенная дисперсия	29,3125
Гипотетическая разность средних	0
df	6
t-статистика	-0,326511574
P(T<=t) одностороннее	0,377563115
t критическое одностороннее	1,943180274
P(T<=t) двухстороннее	0,755126229
t критическое двухстороннее	2,446911846

Как видим, программа определила объёмы каждой выборки (Наблюдения), их средние и дисперсии, оценку дисперсии генеральной совокупности (Объединенная дисперсия) число степеней свободы (df), и, наконец искомое значение ,соответствующее этим данным (t-статистика). Для проверки гипотезы надо сопоставить значение «t-статистика» с значением «t критическое одностороннее» в случае односторонних альтернативных гипотез, и со значением «t критическое двухстороннее» - при . Как видим, гипотезунет оснований отбрасывать, и различие средних результатов двух студентов можно считать случайным.

Кроме этого, в меню «статистические» имеется функция ТТЕСТ, которой тоже можно воспользоваться для сравнения средних двух выборок. Для этого в окна массивов вводятся их координаты. В окно «Хвосты» вводится 1 в случае односторонних альтернативных гипотез, и 2- при . В окно «Тип» вводится 1, если проводится сравнение пар, 2 – для теста с равными дисперсиями, и 3, - с неравными.