5.2. Сравнение выборок

5.2.1. Сравнение дисперсий

Предположим, что имеется две выборки и, причёмираспределены по нормальному закону. Для проверки гипотезыпротив гипотезыможно в качестве критерия использовать статистику, которую называют дисперсионным отношением. Распределение этой случайной величины носит название-распределения, или распределения Фишера с двумя числами степеней свободы, и. В таблицах приводятся квантили, соответствующие вероятности, или значения, соответствующие вероятности противоположного неравенства. Для этих квантилей справедливо соотношение

,

которым можно воспользоваться для нахождения квантилей для тех значений , которых нет в таблице. Например, если требуется найти квантиль, найдём в таблице, откуда=.

В Excel функция FРАСП (х;)в меню «Статистические» вычисляет вероятность . ФункцияFРАСПОБР(р;)в том же меню выдаёт значение , соответствующее вероятности.

Очевидно, гипотезу о равенстве дисперсий надо отвергнуть, если дисперсионное отношение или слишком большое, или слишком малое, т.е. если , или.

В меню Excel СервисАнализ данных имеется удобная для проведения сравнения дисперсий двух выборок функцияДвухвыборочный F-тест для дисперсии,

позволяющая проводить этот анализ без промежуточных вычислений. В диалоговое окно этой функции вводятся координаты массивов сравниваемых выборок и уровень значимости. Все промежуточные вычисления находятся непосредственно в ходе работы программы, и в указанное поле выводится итоговая таблица, пример которой представлен ниже:

Двухвыборочный F-тест для дисперсии
	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	309,875	311,125
Дисперсия	10,22916667	48,39583333
Наблюдения	4	4
df	3	3
F	0,211364615
P(F<=f) одностороннее	0,117039122
F критическое одностороннее	0,107797789

Так как вычисленное значение F=0,211364615 больше F критическое одностороннее=0,107797789, то гипотезу о равенстве дисперсий нельзя отвергнуть на выбранном уровне значимости 0,05.

Обратите внимание на следующую особенность действия этой программы. Если поменять порядок ввода тех же массивов, то результат будет иметь вид:

Двухвыборочный F-тест для дисперсии
	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	311,125	309,875
Дисперсия	48,39583333	10,22916667
Наблюдения	4	4
df	3	3
F	4,731160896
P(F<=f) одностороннее	0,117039122
F критическое одностороннее	9,276628154

Естественно, величина F при этом меняется на обратную, но и значение F критическое одностороннее также меняется на обратное, и знак неравенства для принятия гипотезы также надо сменить на обратный. Таким образом, если получилось значение F<1, то гипотезу мы принимаем, если F > F критическое одностороннее, а при F>1, если F< F критическое одностороннее.

Если имеется выборок объёмас выборочными дисперсиями, то для проверки гипотезыБартлет предложил критерий, который теперь называют его именем – критерий Бартлета:

,

Где - средневзвешенная выборочная дисперсия всехвыборок:

Бартлет показал, что при достаточно больших значениях распределение случайной величиныприближается к распределению хи-квадрат с числом степеней свободыи гипотезу о равенстве дисперсий следует отвергнуть на уровне значимости, если окажется, что