5.1.2. Проверка значения дисперсии нормального распределения.

Для проверки гипотезы надо вычислить критерий, который распределён по закону хи-квадрат с числом степеней свободы. При альтернативной гипотезенулевая гипотеза принимается, если, при- если, а при, - если. Здесь под символомпонимается квантиль уровня:. В то же время в ряде таблиц под тем же символом приводятся значения, соответствующие неравенству. Так как, то при,.

В Excel значения , соответствующие неравенствунаходятся функциейХИ2ОБР, в меню Статистические.

В качестве примера снова рассмотрим результаты студенческих измерений. Известно, что используемый студентами метод анализа характеризуется стандартом =3,5. Выборочное отклонение оказалось, как рассчитано ранее функциейСТАНДОТКЛ, около 4 единиц. Естественно, возникает вопрос, случайно ли это расхождение, или вызвано дополнительными случайными ошибками студентов. Результаты расчётов, представленные в таблице, не позволяют отвергнуть гипотезу на уровне значимости 0,05.

(ДИСП)	15,71542929
(СЧЁТ)	100
	3,5
	127,0063265
ХИ2ОБР(0,025;99)	128,422
ХИ2ОБР(0,975;99)	73,36108

5.1.3. Проверка значения доли (параметра биноминального распределения).

При малом объёме выборки проверку гипотезы можно сделать путём непосредственного анализа функции распределения. Проведём такой анализ на следующем примере. Предположим, 20 раз бросается игральная кость, и мы хотим проверить гипотезу, по которой вероятность выпадения шестёрки равно 1/6 (как это должно быть, если выпадение всех граней равновероятны). Для этого сформируем столбец (строку) возможных значений выпадения шестёрки (от 0 до 20), и, используя функциюExcel БИНОМРАСПРЕД c параметрами 1/6, ИСТИНА, находим вероятности . Соответствующие значения вероятностейполучаем, вычитая полученные значенияиз единицы. Для удобства представления данных выбран формат чисел с тремя десятичными знаками после запятой. При этом оказалось, что данные, начиная сk=10 при выбранной точности представления не меняются, в связи с чем ниже приведена только половина итоговой таблицы результатов:

k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
F(k,20,1/6)	0,026	0,130	0,329	0,567	0,769	0,898	0,963	0,989	0,997	0,999	1,000
p(x>k)	0,974	0,870	0,671	0,433	0,231	0,102	0,037	0,011	0,003	0,001	0,000

Теперь рассуждаем следующим образом. При наиболее вероятное число выпадения шестёрки при 20 бросаниях равно трём. Поэтому при выпадении большего числа шестёрок возникает подозрение, что кубик «неправильный», и появляется альтернативная гипотеза. Очевидно, чем большее значениебудет получено, тем больше оснований отклонить нулевую гипотезу. Поэтому в качестве критической области следует принять множество. Поскольку в дискретном случае функция распределения имеет ступенчатый характер, то нельзя подобрать значениедля произвольного уровня значимости. Так, при=5 получаем=0,102, при=6 -=0,037, а при=7 -=0,011. Таким образом, если приемлемым считается значение=0,05, то при альтернативной гипотезепридётся отклонить основную гипотезу, еслиk>6. При противоположной альтернативной гипотезе основную гипотезу при том же=0,05 придётся отклонить только в том случае, если шестёрок вообще не выпадет, поскольку при справедливостиуже при=1>0,05 . Если же , то критическая область должна быть двусторонней:, и при выпадении шестёрки от одного до шести раз из 20 не следует отбрасывать гипотезу(уровень значимости при этом будет равен 0,026+0,011<0,05).

При больших объёмах выборки, когда и , идостаточно велики, распределение Бернулли аппроксимируется нормальным с параметрами, поэтому для проверки гипотезыможно использовать критерий=, имеющий стандартное нормальное распределение. При альтернативегипотезане отвергается, если, при, если, а при- если