Приближенные методы решения систем линейных уравнений Метод простой итерации ( Метод Якоби)

Дана система nлинейных уравнений:

a₁₁·x₁ +a₁₂·x₂+…+a_1n·x_n=b₁

a₂₁·x₁ +a₂₂·x₂+…+a_2n·x_n=b₂

……

a_n1·x₁ +a_n2·x₂+…+a_nn·x_n=b_n

и начальное приближение

Найти решение этой системы с точностью . Выполняются условия существования единственного решения СЛАУ.

Достаточное условие сходимости. Если выполнено условие диагонального преобладания

то итерационный процесс сходится при любом выборе начального приближения. Если исходная система уравнений не удовлетворяет условию сходимости, то ее приводят к виду с диагональным преобладанием. Условие сходимости является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс сходится. Однако процесс может сходиться и при отсутствии диагонального преобладания.

Выбор начального приближения влияет на количество итераций, необходимых для получения приближенного решения. Наиболее часто в качестве начального приближения берут или .

Описание метода простой итерации

Из первого уравнения системы

a₁₁·x₁ +a₁₂·x₂+…+a_1n·x_n=b₁

a₂₁·x₁ +a₂₂·x₂+…+a_2n·x_n=b₂

……

a_n1·x₁ +a_n2·x₂+…+a_nn·x_n=b_n

выражаем х₁, из второго – х₂ и так далее. Получим:

x₁= b₁/a₁₁ – (a₁₂·x₂+ a₁₃·x₃+…+a_1n·x_n)/ a₁₁

x₂= b₂/a₂₂ – (a₂₁·x₁+ a₂₃·x₃+…+a_2n·x_n)/ a₂₂

_……..

x_j= b_j /a_jj – (a_j1·x₁+ a_j2·x₂+…+a_jj-1·x_j-1+a_jj+1·x_j+1+…+a_jn·x_n)/ a_jj

_……..

x_n= b_n /a_nn – (a_n1·x₁+ a_n2·x₂+…+a_nn-1·x_n-1)/ a_nn

Подставим в правую часть этой системы значения и получим . Первая итерация закончена и переходим к второй итерации. Подставим значения и рассчитаем и так далее. Расчетная формула пересчета значений х в общем виде:

Условие окончания итерационного процесса при достижении точности в упрощённой форме имеет вид:

Существует более точное условие окончания итерационного процесса, которое более сложно и требует дополнительных вычислений.

Алгоритм метода

1. Ввод исходных данных: А, b, .

2. Задание начального приближения .

3. Присваиваем .

4. Расчет . Расчетная формула:

5. Вычисляем наибольшую из разностей ||.

6. Проверяем условие max||Если оно выполняется, то переход к пункту 7, иначе переход к новой итерации к пункту 3.

7. Расчет закончен. Результат – значения

Реализация метода в MS Excel

Постановка задачи. Дано СЛАУ:

5·х₁ + х₂ + х₃ = 7

х₁ + 5·х₂ + х₃ = 7

х₁ + х₂ + 5·х₃ = 7

и точность =0,0001. Найти решение этой системы.

Решение. 5 1 1 7

А = 1 5 1 , b = 7

1 1 5 7

Определитель матрицы А = 112 ≠0, следовательно эта СЛАУ имеет единственное решение. Проверяем достаточное условие сходимости. Для первого уравнения |5|>|1|+|1| - выполняется. Легко убедиться, чтоусловие диагонального преобладания выполняется и для остальных двух уравнений. Выбираем начальное приближение х⁰={ b₁/a₁₁, b₂/a₂₂ b₃/a₃₃}.

Заполнение клеток листа MS Excel:

Адрес клетки	Содержание	Тип
A3:A5	j=	Текст
C1:E1	i=	Текст
B2	aij	Текст
B3:B5	Арифметическая последовательность 1,2,3	Число
C2:E2	Арифметическая последовательность 1,2,3	Число
F2	b	Текст
H1:J1	Начальное приближение	Текст
H2:J2	Арифметическая последовательность 1,2,3	Число
C3:E5	Коэффициенты при неизвестных - матрица A	Число
F3:F5	Значения правых частей - b	Число
H3	=F3/C3	Формула
I3	=F4/D4	Формула
J3	=F5/E5	Формула
C7:I7	x01 x02 x03 x11 x12 x13 max(x1-x0)	Текст
A9:A22	Итерация	Текст
B9:B22	Арифметическая последовательность 1,2,3, …,14	Число
C9	=H3	Формула
D9	=I3	Формула
E9	=J3	Формула
F9	=$F$3/$C$3-($D$3*D9+$E$3*E9)/$C$3	Формула
G9	=$F$4/$D$4-($C$4*C9+$E$4*E9)/$D$4	Формула
H9	=$F$5/$E$5-($C$5*C9+$D$5*D9)/$E$5	Формула
I9	=МАКС(ABS(F9-C9);ABS(G9-D9);ABS(H9-E9))	Формула
C10	=F9	Формула
D10	=G9	Формула
E10	=H9	Формула
F10:I10	Копирование диапазона F9:I9	Формула
C11:I11и далее	Копирование диапазона C10:I10	Формула

Параметры формата ячеек по выравниванию для диапазона A9:A22 показаны на рисунке:

Решение задачи на листе MS Excel:

На одиннадцатой итерации требуемая точность достигнута.

Ответ: х* ={ 0,99998;0,99998;0,99998}