Комбинированный метод хорд и касательных

Комбинированный метод, сочетающий метод хорд и метод касательных, является наиболее эффективным по числу итераций, необходимых для достижения заданной точности. На каждой итерации, начиная с первой, находим x по методу хорд и z по методу касательных. Исходные данные для первой итерации определяются так, как это делается в каждом из составляющих методов.

Расчетные формулы:

Метод хорд	Метод касательных	Оценка точности
		|x-z|

Процесс нахождения приближенного корня прекращается, когда выполняется условие:

Приближенное значение корня вычисляют по формуле:

Реализация метода в MS Excel

Порядок заполнения клеток листа:

Адрес клетки	Содержание	Тип
A3:F11	A1:F9 - метод хорд	Копия
H3:M11	A1:F9– метод касательных	Копия
A1	Комбинированный метод	Текст
A2	Метод хорд	Текст
H2	Метод касательных	Текст
N3	|x-z|	Текст
N4:N11	=ЕСЛИ(ABS(B7-I7)<=2*0,0001; "|x-z|<=2ε";ABS(B7-I7))	Формула
L13	x*=	Текст
M13	=(B11+I11)/2	Текст
L14	f(x*)=	Текст
M14	=EXP(COS(M13)^2)-3*SIN(0,8*M13)+0,5	Формула

Вид листа MS Excel:

Графическая интерпретация выполненных действий приведена на рисунке:

Реализация метода в MS Excel с использованием функции Поиск решения

Порядок заполнения клеток листа:

Адрес клетки	Содержание	Тип
A1	x	Текст
A3	f(x)	Текст
B1	0	Число
B3	=EXP(COS(В1)^2)-3*SIN(0,8*В1)+0,5	Формула

Вид листа MS Excel:

Переходим на страницу «Данные». Активизируем команду «Поиск решения».

После открытия диалогового окна «Поиск решения» устанавливаем значения параметров:

Выполняем щелчок по кнопке Выполнить. Открывается диалоговое окно «Результаты поиска решения»:

Щелкаем по кнопке ОК.

Вид листа MS Excel

Решение получено. Окончательно имеем х=0,8980, f(x)=-0,0000001.

Реализация решения задачи в MatLab

Для решения данной задачи можно использовать функции:

fzero– значение действительного корня уравнения;

roots – значения действительных и комплексных корней многочлена.

Решим уравнение e^cos2(x)-3·sin(0,8·x)+0,5=0. Сначала введем функцию, используяinline. Затем вызовемfzero, указав в качестве начального значения 0. Для правильного выбора начального приближения целесообразно сначала построить график соответствующей функции. Для этого можно воспользоваться функциейfplot(f,[-1,3]).

Задаем функцию: >> f=inline('exp(cos(x)*cos(x))-3*sin(0.8*x)+0.5','x').

Строим график: >> fplot(f,[-1,3]).

Вызываем функцию решения уравнения: >> x=fzero(f,0).

Результаты решения приведены на рисунке:

Решение систем линейных уравнений (слау)

Постановка задачи

Требуется найти решение системыnлинейных уравнений:

a₁₁·x₁ +a₁₂·x₂+…+a_1n·x_n=b₁

a₂₁·x₁ +a₂₂·x₂+…+a_2n·x_n=b₂

……

a_n1·x₁ +a_n2·x₂+…+a_nn·x_n=b_n

Эту систему уравнений можно записать также в матричном виде:

где A– матрица системы,– вектор правых частей,– вектор неизвестных.

При известных Aитребуется найти значенияx, при подстановке которых в систему уравнений она превращается в тождество.

Необходимым и достаточным условием существования единственного решения СЛАУ является условие det A≠0, т.е. определитель матрицыAне равен нулю. В случае равенства нулю определителя матрицаAназываетсявырожденнойи при этом СЛАУ либо не имеет решения, либо имеет их бесчисленное множество. В дальнейшем будем предполагать наличие единственного решения.

Системы линейных алгебраических уравнений можно решать как с помощью прямых, так и итерационных методов. Для систем уравнений средней размерности чаще используют прямые методы. Итерационные методы обычно применяют для решения задач большой размерности, когда использование прямых методов затруднено ограничениями по доступной оперативной памяти ЭВМ и вычислительной ошибкой, которая накапливается при большом количестве арифметических операций. Вычислительная ошибка возникает из-за ограничений разрядной сетки компьютера при представлении вещественных чисел. Большие системы уравнений, возникающие в основном в приложениях, как правило, являются разреженными. Прямые методы исключения для систем с разреженными матрицами неудобны, например, тем, что при их использовании большое число нулевых элементов превращается в ненулевые и матрица теряет свойство разреженности. В противоположность им при использовании итерационных методов в ходе итерационного процесса матрица не меняется, и она, естественно, остается разреженной.

Часто для решения линейных задач алгебры используют приближенные методы, позволяющие найти корни системы с заданной точностью. Эти методы представляют собой сходящийся итерационный процесс. Они не дают точного решения задачи, однако отличаются несколько большим быстродействием.