Метод касательных (Метод Ньютона)
Пусть корень уравнения f(x) = 0 локализован на отрезке [a;b]. Функцияf(x) на отрезке [a;b] должна быть дважды дифференцируема. Требуется найти значение корня с точностью ε.
Для метода касательных в качестве начального приближения достаточно одной точки x0.Обычно выбирают тот конец отрезка [a, b], для которого выполняется условие f(x0)f(x0).
Графическая интерпретация метода
Строим исходную функцию y= f(x). Выберем в качестве начального приближения точкуМ1(a, f((a)). Проведем касательную к графика функции в точке М1, находим точку пересечения этой касательной с осьюOXэто и есть приближенный корень x1. Далее находим точку M2(х1, f(x1)),строим следующую касательную в этой точке, находим второй приближенный кореньx2и так далее.
Алгоритм метода
Ввод исходных данных: a, b, ε.
Расчет значений функции f(a), f(b) на концах отрезка и значения второй производной от функции f'' (a) и f'' (b).
Проверяем условие f(a)·f''(a)>0. Если условие выполняется, то c=a, x=b, иначе проверяем условие f(b)·f''(b)>0 c= b, x=a. Если условие «быстрой» сходимости не выполняется, то принимаем c=a, x=b.
x0=x.
Рассчитываем абсциссу точки пересечения хорды с осью ОХ по формуле
Проверка условия |x-x0|<= ε. Если условие выполняется, то переход к пункту 7, иначе переход к пункту 4.
Расчет закончен. Корень х*=x.
Реализация метода в MS Excel
Постановка задачи. Дано ecos2(x)-3·sin(0,8·x)+0,5=0, корень локализован на отрезке [0,5;1,5] с точностью ε=0,0001.
1 Формирование заголовка таблицы и расчеты по пунктам 1, 2, 3 и 4 алгоритма. Выбор начальной точки.
|
Адрес клетки |
Содержание |
Тип |
|
А1 |
a |
Текст |
|
В1 |
b |
Текст |
|
C1 |
f(a) |
Текст |
|
D1 |
f(b) |
Текст |
|
E1 |
f'' (a) |
Текст |
|
F1 |
f'' (b) |
Текст |
|
А2 |
0,5 |
Число |
|
В2 |
1,5 |
Число |
|
С2 |
=EXP(COS(A2)^2)-3*SIN(0,8*A2)+0,5 |
Формула |
|
D2 |
=EXP(COS(B2)^2)-3*SIN(0,8*B2)+0,5 |
Формула |
|
Е2 |
=EXP(COS(A2)^2)*(SIN(2*A2)^2-2*COS(2*A2))+ 1,92*SIN(0,8*A2) |
Формула |
|
F2 |
=EXP(COS(B2)^2)*(SIN(2*B2)^2-2*COS(2*B2)) +1,92*SIN(0,8*B2) |
Формула |
|
А3 |
х0 |
Текст |
|
А4 |
=ЕСЛИ(D2*F2>0;B2;A2) |
Формула |
Вид листа MS Excel:
2 Заполнение клеток для подготовки к первой итерации:
|
Адрес клетки |
Содержание |
Тип |
|
В3 |
х |
Текст |
|
C3 |
f(x0) |
Текст |
|
D3 |
f´(x0) |
Текст |
|
E3 |
|x-x0| |
Текст |
|
В4 |
|
Формула |
|
C4 |
=EXP(COS(A4)^2)-3*SIN(0,8*A4)+0,5 |
Формула |
|
D4 |
=-EXP(COS(A2)^2)*SIN(2*A4)-2,4*COS(0,8*A2) |
Формула |
Вид листа MS Excel:
3 Выполнение пункта 5 алгоритма.
|
Адрес клетки |
Содержание |
Тип |
|
А5 |
=B4 |
Формула |
|
В5 |
=A5-C4/D4 |
Формула |
|
C5 |
=EXP(COS(B5)^2)-3*SIN(0,8*B5)+0,5 |
Формула |
|
D5 |
=-EXP(COS(B5)^2)*SIN(2*B5)-2,4*COS(0,8*B5) |
Формула |
|
E5 |
=ABS(B5-A5) |
Формула |
Вид листа MS Excel:
Первая итерация завершена.
4 Для выполнения второй и последующих итераций выделим диапазон клеток A5:E5. Установим указатель мыши на маркер заполнения, нажмем левую кнопку и переместим мышь на десятую строку.
Вид листа MS Excel после выполнения этих действий:
Требуемая точность достигнута в восьмой строке, так как именно начиная с этой строки, соблюдается условие |x-x0|<= ε.
5 Выполняем пункт 7 алгоритма, рассчитаем искомый корень х* и значение f(x*).
|
Адрес клетки |
Содержание |
Тип |
|
В12 |
х* |
Текст |
|
В13 |
=B10 |
Формула |
|
C12 |
f(x*) |
Текст |
|
С13 |
=EXP(COS(C17)^2)-3*SIN(0,8*C17)+0,5 |
Формула |
Вид листа MS Excel:
Решение получено за четыре итерации. Окончательно имеем х*=0,8980, f(x*)=0,0000 и n=4.