Численные методы решения задачи линейного программирования

Если в стандартной математической постановке задачи оптимизации все функции ограничений и целевая функция f() линейны относительно параметров, то данная задача классифицируется как задача линейного программирования.

Моделирование экономических, управленческих и производственных систем часто приводит к задачам линейного программирования: планирование производства, формирование минимальной потребительской продовольственной корзины, расчет оптимальной загрузки оборудования, раскрой материала, транспортная задача и т.п.

Постановка задачи

Различают три постановки задачи линейного программирования (ЗЛП): каноническая ЗЛП; основная ЗЛП; общая ЗЛП.

Каноническая ЗЛП

- целевая функция,

i=1,…,m – ограничения, причем m  n,

, n – число параметров, m – число ограничений типа равенство.

Найти или в зависимости от конкретной задачи.

Основная ЗЛП

- целевая функция,

i=1,…,m – ограничения, причем m  n,

, n – число параметров, m – число ограничений типа равенство.

Найти .

Общая ЗЛП

- целевая функция,

i=1,…,l – ограничения,

i=l+1,…,m – ограничения, причем m  n,

, n – число параметров, m – число ограничений типа равенство.

Найти или в зависимости от конкретной задачи.

Система ограничений задает область допустимых значений параметров, которая очень наглядно может быть представлена в рамках задачи с двумя параметрами. При этом достаточно просто найти решение задачи, рассчитывая значение целевой функции в вершинах выпуклого многоугольника (область допустимых значений) и выбирая минимальное или максимальное из полученных значений исходя из постановки задачи.

Реализация решения задачи

1 Формулировка ЗЛП.

Для определенности будем считать, что решается задача на отыскание максимума. Рассмотрим общую постановку такой задачи.

Дано:

f(x)= c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_nx_n – целевая функция;

ограничения:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n ≤ b₁,

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n ≤ b₂,

...

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n ≤ b_m;

x_j ≥ 0, .

Найти .

2 Приведение задачи к канонической форме, то есть систему ограничений записываем в виде равенств:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n + x_n+1= b₁,

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n + x_n+2= b₂,

...

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n + x_n+m = b_m.

Все дополнительные переменные также как и основные должны быть неотрицательными.

Рассмотрим задачу об использовании сырья (производственная программа): на изготовление продукции двух видов П1 и П2 требуется четыре вида сырья S1, S2, S3 и S4. Запасы сырья ограничены. Данные о запасах сырья, количество единиц сырья, необходимое для изготовления единицы каждого из видов продукции, и доходы от реализации одной единицы продукции приведены в таблице на рисунке. Требуется составить такой план выпуска продукции каждого вида, при котором доход от реализации всей продукции оказался бы максимальным.

Исходные данные к задаче об использовании сырья

На первом листе книги MS Excel запишем математическую формулировку задачи сначала в основной, а затем в канонической формах.

Поставка задачи в основной и канонической формах

Принятые обозначения: x1, x2 – план выпуска продукции вида П1 и П2 соответственно, f – целевая функция, доход от реализации продукции. Среди неотрицательных значений x1 и x2 с учетом системы ограничений ищем такие, при которых целевая функция принимает наибольшее значение. Построим в плоскости «х1 0 х2» область допустимых решений. Каждое неравенство системы определяет в плоскости «х1 0 х2» полуплоскость, лежащую выше или ниже прямой, определяемой соответствующим уравнением. Построим прямые, ограничивающие область допустимых значений: x2=19/3-2/3x1, x2=13-2x1, x2=5, x1=6, х1=0, х2=0. Результат представлен на рисунке.

Точка, соответствующая максимуму целевой функции

Область допустимых решений задачи

В соответствии с теоремой: «Если оптимальное решение задачи существует, то оно достигается на некоторой вершине многогранника решений», исследуем вершины многогранника. Рассчитываем значение целевой функции в каждой из вершин и в качестве результата выбираем ту, в которой оно максимально, а именно: х1=5, х2=3, f=50.