Усовершенствованный метод Эйлера. Метод Гюна.

Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования – формулой трапеций:

Данная формула оказывается неявной относительно y_i+1, это значение y_i+1 есть и в левой и в правой части выражения. Можно вычислить это значение приблизительно с помощью обычной формулы Эйлера: _i+1= Окончательно, имеем:

Эта формула реализует метод Гюна или метод Эйлера с пересчетом. Для каждого узла интегрирования производится следующая цепочка вычислений. Благодаря более точной формуле интегрирования, погрешность метода Гюна пропорциональна уже квадрату шага интегрирования.

Алгоритм метода Гюна

1. Вводим исходные значения x₀, y₀, x_n.

2. Задаем значение n, например, 10.

3. Рассчитываем значение h=( x_n- x₀)/n.

4. Последовательно определяем:

y₁=y₀+F(x₀,y₀)·h, x₁=x₀+h, ₁= y₁=y₀+h/2·[+(x₁,₁)],

y₂=y₁+F(x₁,y₁)·h, x₂=x₁+h, ₂= y₂=y₁+h/2·[+(x₂,₂)],

……

y_n=y_n-1+F(x_n-1,y_n-1)·h, x_n=x_n-1+h, _n=y_n= y_n-1+ h/2·[+(x_n,_n)].

5. Получаем таблицу значений.

Реализация метода в MS Excel

Дано: , начальные условия y(0)=0,1. Найти у от х=2 при n=10.

Заполнение клеток листа MS Excel для n=10:

Адрес клетки	Содержание	Тип
А1	x0=	Текст
А2	y(x0)=	Текст
B1	0	Число
B2	0,1	Число
D1	n=	Текст
D2	x=	Текст
E1	10	Число
E2	2	Число
G1	h=	Текст
H1	=(E2-B1)/E1	Формула
A5	x	Текст
B5	F(xi-1,yi-1)	Текст
C5	ŷ	Текст
D5	F(xi,ŷ)	Текст
E5	y	Текст
A6	=B1	Формула
E6	=B2	Формула
A7	=A6+$H$1	Формула
B7	=EXP(COS(A6)^2)+1,5*SIN(E6)-2,3/(A6*A6+0,2)	Формула
C7	=E6+B7*$H$1	Формула
D7	=EXP(COS(A7)^2)+1,5*SIN(C7)-2,3/(A7*A7+0,2)	Формула
E7	=E6+$H$1/2*(B7+D7)	Формула
A8: A16	Автозаполнение формулой из клетки A7	Формула
B8: B16	Автозаполнение формулой из клетки B7	Формула
C8: C16	Автозаполнение формулой из клетки C7	Формула
D8: D16	Автозаполнение формулой из клетки D7	Формула
E8: E16	Автозаполнение формулой из клетки E7	Формула

Вид листа MS Excel для n=10:

Ответ:х=2 у= -3,15

Методы прогноза и коррекции

Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования – формулой трапеций:

Данная формула оказывается неявной относительно y_i+1, это значение есть и в левой и в правой части выражения. Для расчета y_i+1 используем двух шаговый метод прогноза и коррекции. Пусть дано ДУ для которого известно значение функции в двух соседних узлах сетки:

Сначала строится прогноз значения в (i+1)-ом узле интегрирования, например, по формуле метода Эйлера по предыдущему узлу.

p_i+1 = y_i-1+2·h·y´_i, где y´_i=F(x_i,y_i).

Далее это значение корректируется по более точной формуле, в данном случае – по формуле трапеций:

В качестве решения в узле x_i+1 берется y_i+1 = c_i+1+E_c, где E_c - ошибка коррекции:

Для того чтобы начать расчет методом прогноза и коррекции, необходимо знать значения функции в двух первых узлах сетки - x₀ и x₁ - . Обычно значение в узле x₁ определяется каким-либо одношаговым методом, например методом Гюна.

На каждом шаге построения решения методом прогноза и коррекции требуется вычислить всего одно значение функции, а одно берется из предыдущего узла сетки, поэтому этот метод достаточно экономичен по затратам времени вычислений. Погрешность описываемого метода пропорциональна кубу шага интегрирования.

Алгоритм метода прогноза и коррекции

1. Вводим исходные значения x₀, y₀, x_n.

2. Задаем значение n, например, 10.

3. Рассчитываем значение h=( x_n- x₀)/n.

4. Рассчитываем по методу Гюна x₁, y_1.

5. Последовательно определяем:

x₂=x₁+h, y'₁=F(x₁,y₁), p₂=y₀+2h y'₁, p´₂= F(x₂,p₂), c₂=y₁+h/2( p´₂+ y'₁), E_c=(p´₂-c₂)/5, y₂=c₂+E_c,

x₃=x₂+h, y'₂=F(x₂,y₂), p₃=y₁+2h y'₂, p´₃= F(x₃,p₃), c₃=y₂+h/2( p´₃+ y'₂), E_c=(p´₃-c₃)/5, y₃=c₃+E_c,

……

x_n=x_n-1+h, y'_n-1=F(x_n-1,y_n-1), p_n=y_n-2+2h y'_n-1, p´_n= F(x_n,p_n), c_n=y_n-1+h/2( p´_n+ y'_n-1), E_c=(p´_n-c_n)/5, y_n=c_n+E_c.

6. Получаем таблицу значений.

Реализация метода в MS Excel

Дано: , начальные условия y(0)=0,1. Найти у от х=2 при n=10.

Заполнение клеток листа MS Excel для n=10:

Адрес клетки	Содержание	Тип
А1	x0=	Текст
А2	y(x0)=	Текст
B1	0	Число
B2	0,1	Число
D1	n=	Текст
D2	x=	Текст
E1	10	Число
E2	2	Число
G1	h=	Текст
H1	=(E2-B1)/E1	Формула
A5	x	Текст
B5	F(xi-1,yi-1)	Текст
C5	ŷ	Текст
E5	F(xi,ŷ)	Текст
F5	y	Текст
A6	=B1	Формула
F6	=B2	Формула
A7	=A6+$H$1	Формула
B7	=EXP(COS(A6)^2)+1,5*SIN(E6)-2,3/(A6*A6+0,2)	Формула
C7	=E6+B7*$H$1	Формула
E7	=EXP(COS(A7)^2)+1,5*SIN(C7)-2,3/(A7*A7+0,2)	Формула
F7	=E6+$H$1/2*(B7+D7)	Формула
A9	x	Текст
B9	F(x,y)	Текст
C9	p	Текст
D9	F(x,p)	Текст
E9	c	Текст
F9	E	Текст
G9	y	Текст
A10	=A6	Формула
G10	=F6	Формула
A11	=A7	Формула
B11	=EXP(COS(A11)^2)+1,5*SIN(G11) -2,3/(A11*A11+0,2)	Формула
G11	-1,60999	Число
A12	=A11+$I$1	Формула
B12	=EXP(COS(A12)^2)+1,5*SIN(G12) -2,3/(A12*A12+0,2)	Формула
C12	=G10+2*$I$1*B11	Формула
D12	=EXP(COS(A12)^2)+1,5*SIN(C12) -2,3/(A12*A12+0,2)	Формула
E12	=G11+$I$1/2*(D12+B11)	Формула
F12	=(C12-E12)/5	Формула
G12	=E12+F12	Формула
A13:A20	Автозаполнение формулой из клетки A12	Формула
B13:B20	Автозаполнение формулой из клетки B12	Формула
C13:C20	Автозаполнение формулой из клетки C12	Формула
D13:D20	Автозаполнение формулой из клетки D12	Формула
E13:E20	Автозаполнение формулой из клетки E12	Формула
F13:F20	Автозаполнение формулой из клетки F12	Формула
G13:G20	Автозаполнение формулой из клетки G12	Формула

Вид листа MS Excel для n=10:

Ответ:х=2 у= -3,168