Вычисление определенных интегралов вида Постановка задачи

Пусть требуется вычислить определенный интеграл , гдеf(x) – непрерывная на отрезке [a; b] функция.

Вычислить определенный интеграл можно с помощью аналитической формулы:

– формула Ньютона-Лейбница.

Однако во многих случаях не удается преобразовать f(x) к табличной функции, для которой известна аналитическая формулаF(x). В таких случаях приходится решать задачу численного интегрирования.

Задача численного интегрирования состоит в замене исходной подинтегральной функции f(x), для которой трудно или невозможно записать первообразную в аналитическом виде, некоторой простой табличной функциейφ(x). Поскольку в этом случае решение является приближенным, то в постановке задачи необходимо задавать точность.

Обзор методов численного интегрирования

Методы вычисления однократных интегралов называются квадратурными(для кратных интегралов –кубатурными).

К квадратурным методам относятся методы Ньютона-Котеса.В этих методахφ(x)– это полиномы различных степеней, к ним относятся: метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона.

Метод прямоугольников

Постановка задачи

Дан определенный интеграл , гдеf(x)– функция непрерывная на отрезке [a; b] и точность– малое положительное число. Необходимо вычислить интеграл с заданной точностью.

Графическая интерпретация метода

С геометрической точки зрения интеграл при f(x) > 0 равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривойy = f(x), осьюOx и прямымиx = a,x = b. Разобьем отрезок [a; b] наnравных частей:x₀=a, x₁=x₀+h, x₂=x₁+h, … , x_n=b, где h=(b-a)/n.Площадь всей криволинейной трапеции заменим суммой площадей «маленьких» криволинейных трапеций, образованных при проведении прямыхx=x_i. Заменим при вычислении площади каждую «маленькую» криволинейную трапецию прямоугольником, то есть заменим кривуюf(x) полиномом нулевой степени – отрезком, параллельным оси абсцисс. При этом прямоугольники можно построить тремя разными способами, взяв за одну из сторон прямоугольника ординату x_i-1, или x_i, или (x_i-1+x_i)/2. Таким образом, различают методы левых, правых и средних прямоугольников.

Алгоритм метода прямоугольников

1. Вводим исходные значения ,a,b.

2. Задаем n=1,S=0.

3. Приравниваем S₀=S, .n=2·n.

4. Расчет h=(b-a)/n.

5. Расчет приближенного значения интеграла:

Метод прямоугольников с недостатком (левые прямоугольники).

Приближенное значение интеграла равно сумме площадей прямоугольников:

Метод прямоугольников с избытком (правые прямоугольники).

Приближенное значение интеграла равно сумме площадей прямоугольников:

Метод средних прямоугольников.

Приближенное значение интеграла равно сумме площадей прямоугольников:

6. Проверка условия |S₀-S|<= ε. Если условие выполняется, то переход к пункту 7, иначе переход к пункту 3.

7. Расчет закончен. Результат равен S.

Реализация метода в MS Excel

Вычислить dxс точностью=0,001.

Заполнение клеток листа MS Excel для n=2:

Адрес клетки	Содержание	Тип
A1	n=2	Текст
C1	a=	Текст
D1	0	Число
E1	b=	Текст
F1	0,5	Число
B2	h=	Текст
C2	=(F1-D1)/2	Формула
A4	x	Текст
B4	xcp	Текст
C4	f левые прямоугольники	Текст
D4	f правые прямоугольники	Текст
E4	f средние прямоугольники	Текст
A5	=D1	Формула
B5	=(A5+A6)/2	Формула
C5	=EXP(-A5*A5/2)	Формула
D5	=EXP(-A6*A6/2)	Формула
E5	=EXP(-B5*B5/2)	Формула
A6	=A5+$C$2	Формула
B6	=(A6+A7)/2	Формула
C6	=EXP(-A6*A6/2)	Формула
D6	=EXP(-A7*A7/2)	Формула
E6	=EXP(-B6*B6/2)	Формула
B6	Результат	Текст
C6	=СУММ(C5:C6)*$C$2	Формула
D6	=СУММ(D5:D6)*$C$2	Формула
E6	=СУММ(E5:E6)*$C$2	Формула

Вид листа MS Excel:

Результаты расчета для n=2:

1. по методу левых прямоугольников 0,4923;

2. по методу правых прямоугольников 0,4629;

3. по методу средних прямоугольников 0,4811.

Заполнение клеток листа MS Excel для n=4:

Адрес клетки	Содержание	Тип
H1	n=4	Текст
J1	a=	Текст
K1	0	Число
L1	b=	Текст
M1	0,5	Число
I2	h=	Текст
J2	=(M1-K1)/4	Формула
H4	x	Текст
I4	xcp	Текст
J4	f левые прямоугольники	Текст
K4	f правые прямоугольники	Текст
L4	f средние прямоугольники	Текст
H5	=K1	Формула
I5	=(H5+H6)/2	Формула
J5	=EXP(-H5*H5/2)	Формула
K5	=EXP(-H6*H6/2)	Формула
L5	=EXP(-I5*I5/2)	Формула
I6:L8	автозаполнение формулами диапазона I5:L5	Формула
H6	=H5+$J$2	Формула
H7:H8	автозаполнение формулой из H6	Формула
I10	Результат	Формула
J5	=СУММ(J5:J8)*$J$2	Формула
K5	=СУММ(K5:K8)*$J$2	Формула
L5	=СУММ(L5:L8)*$J$2	Формула

Вид листа MS Excel:

Результаты расчета для n=4:

1. по методу левых прямоугольников 0,4867;

2. по методу левых прямоугольников 0,4720;

3. по методу левых прямоугольников 0,4802.

Далее выполняем расчеты для n=8,16,32.

Вид листа MS Excel для n=8:

Результаты расчета для n=8:

1. по методу левых прямоугольников 0,4835;

2. по методу правых прямоугольников 0,4761;

3. по методу средних прямоугольников 0,4800.

Вид листа MS Excel для n=16:

Результаты расчета для n=16:

1. по методу левых прямоугольников 0,4817;

2. по методу правых прямоугольников 0,4781;

3. по методу средних прямоугольников 0,4799.

Вид листа MS Excel для n=32:

Результаты расчета для n=32:

1. по методу левых прямоугольников 0,4808;

2. по методу правых прямоугольников 0,4790;

3. по методу средних прямоугольников 0,4799.

Вид таблицы результатов:

Проанализировав значения в этой таблице, увидим, что требуемая точность 0,001 достигнута на четвертой итерации для методов левые и правые прямоугольники и второй итерации для метода средние прямоугольники.