Методы математического моделирования и вычислительной математики Никитина т.П. Оглавление

Оглавление 3

Введение 5

Основы моделирования 5

Классификация математических моделей 6

Основные этапы математического моделирования 7

Математические модели аналитического типа 7

Эмпирические математические модели 9

Методы вычислительной математики 10

Решение уравнений вида f(x)=0 10

Постановка задачи 10

Этапы решения задачи 10

Локализация корня 10

Приближенные методы решения уравнения f(x) = 0 15

Метод половинного деления 15

Метод хорд 22

26

Метод касательных (Метод Ньютона) 28

31

31

32

Комбинированный метод хорд и касательных 32

Решение систем линейных уравнений (СЛАУ) 40

Приближенные методы решения систем линейных уравнений 41

Метод простой итерации ( Метод Якоби) 41

Метод Гаусса - Зейделя 45

Интерполяция 52

Постановка задачи 52

Полиномиальная (алгебраическая) интерполяция 53

Интерполяция по Лагранжу 54

Вычисление определенных интегралов вида 66

Постановка задачи 66

Метод прямоугольников 66

Метод трапеций 73

Метод Симпсона (метод парабол) 77

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 85

Постановка задачи 85

Численные методы решения задачи Коши ОДУ первого порядка 86

Метод Эйлера 87

Усовершенствованный метод Эйлера. Метод Гюна. 89

Методы прогноза и коррекции 91

Метод Рунге-Кутта 94

Решение задачи оптимизации 100

Постановка задачи 100

Численные методы решения задачи одномерной оптимизации 101

Этапы решения задачи 101

Метод двойного половинного деления 101

Метод золотого сечения 104

Численные методы решения задачи линейного программирования 108

Постановка задачи 108

Реализация симплекс метода 111

Литература 121

Введение

Необходимые для дальнейшего поступательного развития страны структурные изменения требует высокой квалификации специалистов в любой сфере профессиональной деятельности. Тому, кто хочет быть инженером - профессионалом, конечно же, в первую очередь, необходимо знать теоретические основы математики, физики, химии, сопромата, теории машин и механизмов и т.п., однако этого недостаточно для обеспечения эффективной работы производственных и организационных систем. Специалист должен уметь на практике применять математические методы решения различных конструкторских и управленческих задач и иметь навыки работы с компьютером как средством обработки данных.

Основы моделирования

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений.

Под "моделью" будем понимать такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Моделирование - процесс построения, изучения и применения моделей, иначе говоря, моделирование - это изучение объектa путем построения и исследования его модели, осуществляемое с определенной целью, состоящее в зaмене экспериментa с оригиналом экспериментом нa модели. Модель должна строится так, чтобы она наиболее полно воспроизводила те качества объекта, которые необходимо изучить в соответствии с поставленной целью. Во всех отношениях модель должна быть проще объекта и удобнее его для изучения. Для одного и того же объекта могут существовать различные модели, классы моделей, соответствующие различным целям его изучения.

Основная задача математического моделирования – выделение законов в природе, обществе и технике и запись их на языке математики.

Пример. Зависимость между массой тела m, действующей на него силой F и ускорением его движения а записывается в форме второго закона Ньютона: F = m× a;

Зависимость между напряжением в электрической цепи U, ее сопротивлением R и силой тока I записывается в виде закона Ома: I = U/R.

Математической моделью некоторого объекта, процесса или явления будем называть запись его свойств на формальном языке с целью получения нового знания (свойств) об изучаемом процессе путем применения формальных методов.

Альтернативой формальному подходу является экспериментальный подход. Недостатки экспериментального подхода:

• высокая стоимость подготовки и проведения экспериментов;

• получение частного знания (знания о конкретном объекте исследования, а не о классе объектов).