Теория принятия решений / pdf / Dec_make3

В зависимости от характера неопределенности операции делятся на игровые и статистически неопределенные. В игровых операциях неопределенность вносит своими сознательными действиями соперник. Для исследования таких операций используется теория игр. Условия статистически неопределенных операций зависят от объективной действительности, называемой "природой". Природа рассматривается как незаинтересованная, безразличная к операции сторона (она пассивна по отношению к ЛПР). Такие операции исследуются с применением теории статистических решений.

Неопределенность в обстановке приводит к неопределенности оценки решений, заключающейся в том, что не известно, как оценивать решения по всем состояниям обстановки. Для разрешения неопределенности может использоваться только один путь - введение некоторых субъективных вероятностей. По этой причине единого критерия оценки эффективности для неопределенных операций не существует. Разработаны лишь общие требования к критериям и процедурам оценки и выбора оптимальных решений. Общими требованиями являются следующие:

1.оптимальное решение не должно меняться с перестановкой строк и столбцов матрицы эффективности;

2.оптимальное решение не должно меняться при добавлении тождественной строки или тождественного столбца к матрице эффективности;

3.оптимальное решение не должно меняться от добавления постоянного числа к значению каждого элемента матрицы эффективности;

4.оптимальное решение не должно становиться неоптимальным, а неоптимальное - оптимальным в случае добавления новых решений, среди которых нет ни одного более эффективного;

5.если решения xi и xj оптимальны, то вероятностная смесь этих решений тоже должна быть оптимальна.

Оценка и выбор решения проводятся применительно к условиям конкретной операции на основе неформальных соображений.

В зависимости от характера предпочтений ЛПР в неопределенных операциях используются следующие критерии:

•среднего выигрыша;

•Лапласа;

•Вальда (максимина, осторожного наблюдателя);

•Максимакса;

•Гурвица (обобщенного максимина);

•Сэвиджа ( минимального риска, минимаксных потерь).

Рассмотрим некоторые из получивших широкое распространение критериев оценки эффективности.

Критерий среднего выигрыша. Он предполагает задание (хотя бы ориентировочное) вероятностей состояния обстановки pj (j = 1,...,n). Эффективность решения оценивается как среднее ожидаемое значение (математическое ожидание) оценок эффективности по всем состояниям обстановки:

n

U (xi ) = ∑p juij , i =1,..., m.

j=1

Оптимальному решению будет соответствовать эффективность

Для применения критерия среднего выигрыша по существу необходим перевод операции из неопределенной в вероятностную, причем произвольным образом.

90

Критерий Лапласа. В основе критерия лежит следующее предположение: поскольку о состояниях обстановки ничего не известно, то их можно считать равновероятными. Исходя из этого

Критерий Лапласа представляет собой частный случай критерия среднего выигрыша.

Критерий максимина (Вальда). Основывается на том, что если состояние обстановки не известно, нужно поступать самым осторожным образом, ориентируясь на минимальное значение эффективности каждого решения. В каждой строке матрицы эффективности находится минимальная из оценок решения по различным состояниям

Оптимальным решением считается решение из строки с максимальным

Максиминный критерий ориентирует на решение, не содержащее элементов риска - при любом из возможных состояний обстановки результат операции оказывается не хуже найденного максимина. В ряде случаев такая осторожность является недостатком критерия.

Критерий максимакса. Этим критерием предписывается оценивать решения по максимальному значению эффективности и выбирать в качестве оптимального решение, обладающее эффективностью с наибольшим из максимумов:

Критерий максимакса - самый оптимистический критерий. Те, кто предпочитает им пользоваться, всегда надеются на лучшее состояние обстановки и в большей степени рискуют.

Критерий обобщенного максимина (Гурвица). Согласно данному критерию при оценке и выборе решений неразумно проявлять как осторожность, так и азарт, а следует, учитывая самое высокое и самое низкое значение эффективности, занимать промежуточную позицию. Для этого вводится коэффициент оптимизма α (0 ≤α ≤1), характеризующий отношение ЛПР к риску. Эффективность решения находится как взвешенная с помощью коэффициента α сумма максимальной и минимальной оценок:

При α = 0 критерий Гурвица сводится к критерию максимина, при α =1 - к критерию максимакса. На практике используются значениями этого коэффициента в пределах 0,3 -0,7.

91

Критерию Гурвица присущ следующий недостаток: неизвестно, как выбирать для конкретной операции значение коэффициента оптимизма α;

Критерий минимаксных потерь. Для оценки решений на основе данного критерия матрица эффективности должна быть преобразована в матрицу потерь (риска). Каждый элемент матрицы потерь определяется как разность между максимальным и текущим значениями оценок в столбце:

uij = max uij −uij , i =1,..., m, j =1,..., n.

i

Критерий минимаксных потерь отражает сожаление по поводу того, что выбранное решение не оказалось наилучшим при определенном состоянии обстановки. Этот критерий, как и критерий Вальда относится к числу осторожных критериев. По сравнению с критерием Вальда в нем придается несколько большее значение выигрышу, чем проигрышу.

Таким образом, эффективность решений в неопределенных операциях может оцениваться по целому ряду критериев. На выбор того или иного критерия оказывают влияние следующие факторы:

•природа конкретной операции и ее цель (в одних операциях допустим риск, в других - гарантированный результат);

•причины неопределенности;

•характер ЛПР (склонность или несклонность к риску).

Выбор какого-то одного критерия приводит к принятию решения, которое может быть совершенно отличным от решений, диктуемых другими критериями.

Тип критерия для выбора рационального варианта должен оговариваться на этапе анализа системы, согласован с заказчиком и в последующих задачах синтеза систем предполагается заданным. Процесс выбора вида критерия для учета неопределенности является довольно сложным. Устойчивость выбранного рационального варианта можно оценить на основе анализа по нескольким критериям. Если существует совпадение, то имеется большая уверенность в правильности выбора варианта.

В случаях, когда решения, выбранные по различным критериям, конкурируют между собой за право быть окончательно выбранным, могут применяться процедуры, основанные на мажоритарной обработке результатов оценки по простому большинству голосов. Однако при группировке альтернатив в коалиции имеется опасность выбора системы, не являющейся лучшей.

Из существования нескольких критериев оценки эффективности решений для неопределенных операций вытекает необходимость поиска еще одного критерия (метакритерия), с помощью которого можно было бы определить, какой критерий является лучшим в каждой конкретной операции. Однако такой метакритерий пока не найден и вряд ли появится в ближайшем будущем.

Рассчитывать на высокую точность решения в неопределенной операции нельзя. В связи с этим практические задачи оценки и выбора решений с элементами неопределенности стремятся свести к вероятностным. В задачах, которые сохраняют неопределенную постановку, оценка и выбор решений осуществляются, как правило, на основе использования нескольких критериев. Рассмотрим два способа такой оценки.

92

1 этап

2 этап

•задается система ограничений, выделяющая область допустимых значений критериев эффективности DU ;

•определяется вектор или область наиболее предпочтительных значений критериев эффективности дU DU ;

•находится решение или множество решений, соответствующих области дU . Область дU может определяться с помощью алгоритмов направленного

перебора на основе использования свойств области DU .Основную трудность при реализации этого способа представляет нахождение решения (множества решений), соответствующего области с наиболее предпочтительными оценками дU .

При выделении множества решений окончательный выбор решения должен осуществляться лицом, принимающим решение.

8. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПТИМИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ

8.1. Классическая задача оптимизации

Обычная постановка задачи оптимизации состоит в следующем. В некотором пространстве S тем или иным способом выделяется некоторое непустое множество M точек этого пространства, называемое допустимым множеством. Далее фиксируется некоторая вещественная функция f(x), заданная во всех точках x допустимого множества M. Она называется целевой функцией. Задача оптимизации состоит в том, чтобы найти точку x0 в множестве M, для которой функция f(x) принимает

93

экстремальное (максимальное или минимальное) значение. В первом случае для всех точек x множества M удовлетворяется неравенство f(x0) ≥ f(x), во втором случае -

неравенство f(x0) ≤ f(x).

Заметим, что как при максимизации, так и при минимизации задача оптимизации может не иметь решения. Например, если допустимое множество M состоит из всех положительных вещественных чисел (x>0), то для целевой функции f(x)

=x2 в множестве M не существует ни точки максимума, ни точки минимума.

Действительно, для любого x0>0 всегда найдутся положительные числа x1 и x2, удовлетворяющие неравенству x1<x0 и x2>x0. Тогда, очевидно, f(x1) = x12 < x02 = f(x0) и f(x2)

=x22>x02 = f(x0).

Наоборот, может оказаться, что экстремум достигается не в одной, а в целом множестве точек. Например, в области, заданной неравенствами -1 ≤ x ≤ 1 и -1 ≤ y ≤1, функция f(x,y) = x2 + y2 достигает максимума (равного двум) в четырех точках с координатами (-1,-1), (-1,1), (1,-1), (1,1). Функция f(x), заданная соотношениями f(x) = 1 при x ≤ 1/2 и f(x) = 2x при x > 1/2, в области, определяемой неравенством x ≥ 0, принимает минимальное значение (равное единице) во всех точках отрезка [0,1/2].

Следует различать абсолютный (глобальный) и локальный экстремумы. В случае достижения функцией f(x) в точке x0 абсолютного экстремума (допустим максимума) неравенство f(x0) ≥ f(x) имеет место для всех точек допустимой области M. В случае же локального экстремума (в данном случае максимума) это неравенство выполняется для всех достаточно близких к точке x0 точек области M. Например f(x0) ≥ f(x) для всех x таких, что расстояние r(x,x0) от точки x до точки x0 меньше некоторого (обычно довольно малого) положительного числа ε.

При перемене знака целевой функции f(x) все точки ее максимума превращаются в точки минимума и наоборот. Поэтому в теории достаточно рассматривать лишь какой-нибудь один из видов оптимума (максимум или минимум) .

Оптимизация функций и оптимизация функционалов. В практических оптимизационных задачах приходится иметь дело с двумя основными видами их постановок. В первом случае задача ставится в обычном (евклидовом) пространстве конечной размерности. Точками x допустимого множества будут кортежи x = <x1,x2,...,xn> вещественных чисел, целевой же функцией f(x) = F(x1,x2,...,xn) будет обычная вещественная функция от n вещественных аргументов (n - размерность пространства). Такую задачу называют задачей оптимизации функций. Во втором случае постановки оптимизационной задачи в качестве допустимого множества выступает некоторое множество M функций вещественных переменных y(x1,x2,...,xm), а целевая функция есть некоторый функционал F, сопоставляющий каждой функции y = y(x1,x2,...,xm) некоторое вещественное число F(y). Такую задачу называют задачей оптимизации функционалов или вариационной задачей.

С абстрактной точки зрения обе указанные постановки идентичны: в обоих случаях речь идет о выборе точки в некотором пространстве, оптимизирующей значение целевой функции. Различие состоит в природе самого пространства, однако этого достаточно, чтобы вызвать существенные различия в практических методах оптимизации, применяемых в этих двух случаях. В принципе вторая постановка может быть с определенными допусками сведена к первой. Это возможно, если каждая функция y(x1,x2,...,xm), составляющая допустимое множество, может быть с достаточной для практики степенью точности аппроксимирована множеством своих значений на некотором конечном множестве точек. Впрочем, в большинстве случаев число таких точек должно быть настолько велико, что сведение вариационной задачи к задаче оптимизации функций становится малопрактичным.

94

Стандартные формы задач оптимизации функций. В стандартных формах объектом оптимизации является непрерывная функция f(x) вещественных переменных <x1,x2,...,xn>, допустимая область M задается конечной системой равенств и неравенств вида p(x) = 0, q(x) ≥ 0, r(x) ≤ 0 с непрерывными левыми частями. Если при этом область M ограничена, то в ней обязательно существует по крайней мере одна точка абсолютного максимума и по крайней мере одна точка абсолютного минимума.

Поскольку перемена знака у левых частей неравенств q(x) ≥ 0 и r(x) ≤ 0 меняет знаки этих неравенств на противоположные, можно ограничится одним из этих типов неравенств. Обычно при максимизации пользуются неравенствами вида q(x)≥0, а при минимизации - r(x)≤0. Таким образом возникают две стандартные постановки задачи оптимизации функций.

Взадаче максимизации требуется найти максимум функции f(x) в области M, заданной системой равенств pi(x) = 0 (i = 1,...,l) и неравенств pi(x) ≥ 0 (i = l + 1,...,m).

Взадаче минимизации требуется найти минимум функции f(x) в области M,

заданной системой равенств pi(x) = 0 (i = 1,...,l) и неравенств pi(x) ≤ 0 (i = l+1,...,m). Легко видеть, что при одновременной перемене знаков у функций f(x) и

pi(x) (i = 1,...,m) задача максимизации переходит в задачу минимизации и наоборот. Поэтому разработку методов оптимизации достаточно вести применительно лишь к одной из этих постановок.

Следует заметить, что ограничения типа неравенств можно заменить ограничениями типа равенств и простыми координатными неравенствами, введя дополнительные (вещественные) переменные zi. При этом ограничения вида pi(x) ≥ 0 заменятся парой ограничений pi(x)-zi = 0, zi ≥ 0, а ограничение pi(x) ≤ 0 - парой ограничений pi(x) + zi = 0, zi ≥ 0. Этот прием называется элиминацией нетривиальных неравенств. Его особенно удобно применять, когда по смыслу задачи все точки допустимой области имеют неотрицательные координаты. В результате его применения при этих условиях возникает третья стандартная форма постановки задачи

оптимизации функций:

Найти оптимум (максимум или минимум) функции f(x) в области M, заданной системой равенств pi(x) = 0 (i = 1,...,m) и простых (координатных) неравенств xj ≥ 0 (j = 1,...,n).

Во всех перечисленных постановках может присутствовать дополнительное требование о том, чтобы все координаты точки оптимума были целыми числами. Это требование превращает задачу непрерывной оптимизации в задачу целочисленной

оптимизации.

В зависимости от того, является целевая функция (критерий эффективности) скалярной или векторной, различают две разновидности оптимизационных задач - задачи скалярной и задачи векторной оптимизации. Для каждого из выделенных классов задач характерны и свои методы оптимизации.

8.2. Скалярная оптимизация

Универсальным методом оптимизации является метод простого перебора. При его реализации последовательно просматриваются все допустимые решения и для каждого подсчитывается значение целевой функции с выбором того, для которого это значение экстремально. Недостаток метода очевиден – число допустимых решений велико даже при небольшом числе переменных. На практике обычно используют методы направленного перебора – математические и эвристические.

95

По точности получаемых решений методы делятся на точные (обеспечивают нахождение оптимального решения за конечное число шагов) и приближенные (после любого конечного числа шагов приводят к решению, в какой-то степени отличному от оптимального).

По виду получаемых решений выделяют две группы методов: аналитические и численные.

Аналитические методы обеспечивают отыскание решений в виде функции параметров, известных непосредственно из постановки задачи, причем безотносительно к конкретным значениям. К данной группе методов относятся методы классические методы дифференциального и вариационного исчислений.

Численные методы позволяют найти решение только для конкретных значений параметров. К ним относятся методы линейного, нелинейного, дискретного (целочисленного), стохастического и динамического программирования, методы регулярного, случайного и эвристического поиска.

Если целевая функция и ограничения линейны, а операция одноэтапная, то можно использовать один из известных методов линейного программирования. Данные методы используют одну идею – оптимальное решение находится путем последовательных приближений, для чего задаются некоторым начальным решением (планом), которое затем улучшается в направлении приближения к оптимальному. Линейное программирование является в настоящее время наиболее разработанной и применяемой ветвью математического программирования.

На практике встречается много задач, в которых целевая функция и/или система ограничений содержат выражения, не линейны относительно переменных. Для решения таких задач применяются методы нелинейного программирования. Общих методов решения этого типа задач пока не существует, за исключением случаев квадратичной зависимости между критерием и параметрами при линейных ограничениях.

Некоторые задачи могут содержать условие дискретности значений параметров (например, по своей физической сущности параметры должны быть только целыми числами). Решение таких задач осуществляется специальными методами дискретного

(целочисленного) программирования.

Отыскание решений значительно усложняется, если приходится иметь дело со случайными величинами и функциями. Для подобных задач разрабатываются методы

стохастического программирования.

Если операция носит многоэтапный характер, то для ее исследования может применяться метод динамического программирования (см. п.1.5). Его сущность состоит в том, оптимальное решение отыскивается не за все этапы одновременно, а последовательно от этапа к этапу. Оптимизация каждого этапа проводится с учетом всех последующих. В основе выбора решений на каждом этапе лежит принцип оптимальности, утверждающий, что если не выбирать наилучшее решение сейчас, то последствий этого нельзя исправить в будущем.

Перечисленные методы относятся к числу точных. Их использование не всегда возможно или целесообразно. Поэтому приходится прибегать к услугам приближенных методов – регулярного, случайного и эвристического поиска.

Методы регулярного поиска – это численные методы поиска экстремума функции одной или многих переменных при наличии ограничений на область их изменения. В этих методах используются строго определенные процедуры. В зависимости от того, учитываются результаты предыдущих шагов поиска или нет, различают активный и пассивный поиск. Теория и алгоритмы поисковых методов хорошо разработаны лишь применительно к унимодальным функциям с одной

96

переменной. Универсальных эффективных методов, гарантирующих отыскание глобального экстремума для других функций, пока не разработано Наибольшее распространение в этих случаях находят градиентные методы.

В методах случайного поиска для поисковых процедур характерно наличие случайности. Случайный поиск может быть ненаправленным и направленным. При ненаправленном случайном поиске строится последовательность независимых случайных решений, равномерно распределенных в области существования, и находится наилучшее из них. Для получения решения, достаточно близкого к оптимальному, ненаправленный поиск требует большой последовательности решений. В методах направленного поиска при получении каждого последующего решения используются результаты анализа предыдущих решений. Методы случайного поиска отличаются универсальностью и незаменимы при решении сложных оптимизационных задач приближенного характера.

Эвристические методы представляют собой набор правил конструирования, сравнения, анализа и отбора вариантов возможных решений, значительно упрощающих и улучшающих процедуру поиска по сравнению с полным перебором. Эти правила называют эвристиками. Эвристики строят по результатам изучения опыта специалистов в той или иной сфере деятельности. Характерная область применения эвристических методов – задачи с нечеткой формальной постановкой и большой размерностью. Недостаток эвристических методов – невысокая точность и невозможность построения оценок близости получаемых решений к оптимальным.

8.3. Векторная оптимизация

Впрактике оптимизации часто приходится встречаться со случаем, когда вместо

одной целевой функции f(x) задано несколько целевых функций (критериев) f1(x),..., fk(x). Возникающая при этом задача многокритериальной (векторной) оптимизации

имеет несколько постановок.

Водной из них требуется оптимизировать один из критериев, например f1(x),

удерживая остальные критерии в заданных границах: ai ≤ fi(x) ≤ bi (i = 2,3,...,k). В этом случае фактически речь идет об обычной однокритериальной оптимизации. Что же касается неравенств, ограничивающих другие критерии, то их можно рассматривать как дополнительные ограничения на допустимую область M. Правда на практике в ряде случаев подобная задача решается несколько иными методами, чем обычная однокритериальная задача.

Вторая постановка состоит в упорядочении заданного множества критериев и в последовательной оптимизации по каждому из них. Иными словами, проведя оптимизацию по первому критерию f1(x), получаем некоторое множество M1 M, на котором функция f1(x) принимает оптимальное (экстремальное) значение. Принимая его за новое допустимое множество, проводим оптимизацию по второму критерию, получая в результате новое допустимое множество M2 M1. Продолжая этот процесс, получим после оптимизации по последнему критерию fk(x) множество Mk, которое и будет конечным результатом многокритериальной оптимизации. Ясно, что если на некотором шаге i (i < k) множество Mi сведется к одной точке, то процесс оптимизации можно закончить, поскольку Mi = Mi+1 =...= Mk. Не исключено, что, как и в случае обычной однокритериальной оптимизации, задача может вообще не иметь решения.

Третья постановка применяет процесс сведения многих критериев к одному за счет введения весовых коэффициентов αi для каждого из критериев fi(x). В качестве таких коэффициентов в общем случае могут быть выбраны любые вещественные

97

числа. Их значения выбираются из интуитивного представления о степени важности различных критериев: более важные критерии получают веса с большими значениями. После установления весов и нормирования значений целевых функций многокритериальная задача сводится к однокритериальной с целевой функцией α1 f1(x)

+...+ αk fk(x).

Вместо простой линейной комбинации исходных критериев могут использоваться и более сложные способы формирования из них нового критерия для однокритериальной оптимизации.

8.4. Линейное программирование

Линейное программирование послужило основой для разработки других математических методов, например целочисленного, стохастического и нелинейного программирования. После нескольких десятилетий глубоких разработок, практической реализации и критического анализа результатов применение методов линейного программирования привело к значительным успехам в решении широкого круга задач, относящихся к таким сферам, как промышленное производство, военное дело, сельское хозяйство, экономические исследования, транспорт, здравоохранение, а также психология и социальные науки.

8.4.1. Постановка задачи линейного программирования

Общая задача линейного программирования (ОЗЛП) математически может быть сформулирована следующим образом:

r

максимизировать (или минимизировать) x0 = ∑c j x j

j=1

при ограничениях

r

∑aij x j (≤, =или ≥) bi i =1,..., m,

j=1

x j ≥ 0, j =1,..., r.

Экономическая интерпретация задачи, охватывающая широкий круг приложений, состоит в следующем. Моделируемая система характеризуется наличием нескольких видов "производственной деятельности" j (j = 1,...,r), для осуществления которых требуются имеющиеся в ограниченном количестве ресурсы bii, i = 1,...,m. Расход i-го ресурса на единицу продукта производственной деятельности равен aij. В свою очередь при таком потреблении результат j-го вида производственной деятельности для единицы соответствующего продукта (удельная стоимость или прибыль) характеризуется величиной cj.

Цель построения модели состоит в определении уровней (объемов производства) каждого вида производственной деятельности xj, при которых оптимизируется (максимизируется или минимизируется) общий результат производственной деятельности системы в целом без нарушения ограничений, накладываемых на использование ресурсов. Функцию x0 называют целевой функцией, а лимиты потребления ресурсов - ограничениями.

Пример. Предприятие изготавливает два вида красок: для внутренних (1) и наружных (2) работ. Продукция поступает в оптовую продажу. Для производства

98

красок используются два исходных продукта A и B. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов - 6 и 8 т соответственно. Расходы A и B на 1 т краски каждого типа приведены в таблице.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 1 не превышает спроса на краску 2 более чем на 1 тонну. Также установлено, что спрос на краску 1 не превышает 2 тонн в сутки. Оптовые цены красок: краска 1 - $2000, краска 2 - $3000.

Какое количество краски каждого вида необходимо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построение математической модели. Первоначально необходимо определить следующие важные компоненты модели:

1.переменные (искомые величины) модели;

2.ограничения, налагаемые на переменные;

3.цель, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному решению.

Словесно это можно выразить так Требуется определить объемы производства каждой из красок,

максимизирующие доход от реализации продукции, с учетом ограничений на спрос и расход исходных материалов.

Переменные:

x1 - суточный объем производства краски 1, x2 - суточный объем производства краски 2. Целевая функция:

Максимизировать суммарный доход от продажи краски1 и 2

max z = 2x1 + 3x2.

Ограничения:

Ограничение на расход исходных продуктов: 2x1 + x2 ≤ 6 (для А);

x1 + 2x2 ≤ 8 (для В).

Ограничения на величину спроса на продукцию: x1 - x2 ≤ 1;

x1 ≤ 2.

Ограничения на знак переменных (условие неотрицательности): x1 ≥ 0;

x2 ≥ 0.

Таким образом, необходимо определить суточные объемы производства краски 1 (x1) и краски 2 (x2), при которых достигается

99