Теория принятия решений / pdf / Dec_make3

проводимых в форме анкетирования. Ответы обобщаются и вместе с новой дополнительной информацией поступают в распоряжение экспертов, после чего они уточняют свои первоначальные ответы. Такая процедура повторяется несколько раз до достижения приемлемой сходимости совокупности высказанных мнений. Результаты экспериментов показывают хорошую сходимость оценок экспертов после пяти туров опроса.

Основные этапы реализации Дельфи-процедуры:

1.организуется последовательность циклов «мозговой атаки»;

2.разрабатывается программа последовательных индивидуальных опросов с помощью вопросников. Опросы исключают контакты между экспертами, Предусматривается их ознакомление с мнениями коллег между турами. Вопросники могут уточняться от тура к туру;

3.в ряде случаев экспертам присваиваются весовые коэффициенты значимости их мнений. Эти коэффициенты вычисляются на основе предыдущих опросов,

могут уточняться от тура к туру и учитываются при получении обобщенных результатов оценок.

Достоинства метода Дельфи. Метод является основным средством повышения объективности экспертных опросов с получением количественных оценок за счет использования обратной связи, ознакомления экспертов с результатами предшествующих туров опросов и учета этих результатов при оценке значимости мнений.

Недостатки метода:

1.значительный расход времени на проведение экспертизы, что связано с большим количеством последовательных повторений;

2.необходимость неоднократного пересмотра экспертом своих ответов. Это

вызывает у него отрицательную реакцию, что сказывается на результатах экспертизы.

Существуют и другие методы качественной оценки эффективности решений. Например, в число методов экспертной оценки входят: метод фон-Неймана- Моргенштерна, метод Терстоуна. Известны методы типа дерева целей, морфологические методы, такие как метод систематического покрытия поля, метод отрицания и конструирования, метод морфологического ящика и другие, однако их рассмотрение требует дополнительного времени и выходит за рамки дисциплины.

7.5. Количественная оценка эффективности решений

7.5.1.Сущность функции полезности

При проведении оценки эффективности критерий эффективности решения является некоторой функцией или функционалом от показателей исхода операции. Прямой переход от ПИО к критерию эффективности во многих случаях затруднителен. По своей сути критерий эффективности предназначен для того, чтобы выявить порядок предпочтения на множестве решений и обеспечить обоснованный выбор решения. Предпочтения на решениях зависят от предпочтений на исходах операции. Следовательно, необходимо знать предпочтительность исходов операции. Было бы очень удобно иметь для оценки исходов какую-то единую меру.

В практике нет универсальной меры, обладающей физическим смыслом и позволяющей соизмерять исходы операций, тем более по неравномерной шкале. Поскольку же потребность в подобной мере существует, то остается ввести некую

80

искусственную меру. Определить некоторую универсальную меру можно через полезность исхода операции. Заметим, что никакой исход операции не обладает полезностью сам по себе - полезности исходов могут выявляться только лицом, принимающим решение (ЛПР) на операцию в виде последовательности предпочтений.

Большинство людей использует сравнительно простой подход к оценке исходов - упорядочение по возрастанию полезности: от наименее полезных до наиболее полезных. Свое отношение к исходам человек может выразить и количественно, приписав каждому исходу некоторое число, определяющее его относительную предпочтительность. Например, наименее предпочтительный исход может быть выражен числом 1, следующий - числом 2 и т.д. до наиболее полезного исхода. Таким образом, полезность исхода операции - это действительное число, приписываемое исходу операции и характеризующее его предпочтительность по сравнению с другими исходами относительно цели операции.

Зная возможные исходы с их полезностями, можно построить функцию полезности, которая дает приемлемую основу для сравнения и выбора решений. Функция полезности представляет собой числовую ограниченную функцию F(r), определенную на множестве исходов R = {rk}(k = 1,...,l), так что F(ri) > F(rj), когда исход ri предпочтительнее исхода rj (ri rj), а F(ri) = F(rj), когда исходы ri и rj неразличимы - нельзя отдать предпочтение ни тому, ни другому исходу (ri rj).

С математической точки зрения функцию полезности можно рассматривать как отображение упорядоченного множества исходов R в множество действительных чисел с естественным упорядочением по величине. Доказывается, что при вполне естественных допущениях относительно поведения ЛПР такая функция существует. Рассмотрим некоторые допущения.

Допущение 1(допущение измеримости). Каждому исходу ri может быть поставлено в соответствие неотрицательное действительное число pi, рассматриваемое как мера относительной полезности исхода ri (i =1,...,l).

Допущение 2 (допущение сравнимости). Любые два исхода ri и rj сравнимы: либо один исход предпочтительнее другого, либо исходы одинаково предпочтительны (эквивалентны). Другими словами, при сравнении двух исходов и rj возможен один из трех выводов: предпочтительней исход ri, в исходах и rj нет предпочтительности, предпочтительней исход rj.

Допущение 3 (допущение транзитивности). Отношения предпочтения и эквивалентности исходов транзитивны. Если исход ri предпочтительнее исхода rj, а исход rj предпочтительнее исхода rk, то исход ri также предпочтительнее исхода rk. Аналогично, если исход ri эквивалентен исходу rj, а исход rj эквивалентен исходу rk, то исход ri также эквивалентен исходу rk.

Допущение 4 (допущение коммутативности). Предпочтение исхода ri исходу rj не зависит от порядка, в котором они названы и представлены.

Допущение 5. Если исход ri предпочтительнее исхода rj и, кроме того, существует исход rk, который не оценивается относительно исходов ri и rj, то смесь исходов ri и rk предпочтительнее смеси исходов rj и rk. (Под смесью исходов rm и rn понимается исход, заключающейся в появлении одного из них с некоторой вероятностью, например исхода rm с вероятностью p, а исхода rn с дополнительной вероятностью 1-p.)

Для функции полезности справедливо следующее утверждение. Пусть на множестве исходов R = {rk}(k=1,...,l) задана функция F(rk). Тогда, если a и b - произвольные постоянные величины, такие, что a>0, а b -действительное число, то функция F’(rk) = aF(rk)+b является также функцией полезности. Это означает, что любое положительное линейное преобразование функции полезности не меняет

81

отношения предпочтительности на исходах R = {rk}(k = 1,...,l). Так как функция полезности ограничена, то всегда можно подобрать такие коэффициенты a и b, с помощью которых область ее изменения приведется к интервалу [0,1]. Таким образом, функция полезности не является единственной. Причина в том, что отсутствует определение нулевой полезности, единицы полезности и шкалы полезности (их можно выбирать произвольно).

Важно подчеркнуть, что функция полезности характеризует лишь относительную, а не абсолютную предпочтительность исходов. Так, если F’(r1) = 2, а F’(r2) = 1, то отнюдь не следует, что исход r1 всегда в два раза или на единицу предпочтительнее исхода r2. Стоит провести линейное преобразование функции полезности, и эти значения оценок будут другими.

В зависимости от типа показателей исходов операции функция полезности может быть либо непрерывной, либо дискретной. Функцию полезности называют прямой в том случае, если чем больше значение показателя исхода операции, тем он полезнее и обратной, если чем больше значение показателя исхода операции, тем менее он полезен.

Наиболее простой вид функция полезности имеет в случае, когда исход операции характеризуется одним (скалярным) показателем. В случае векторного показателя исхода операции функция полезности становится многомерной и ее построение и использование усложняются.

Функция полезности является универсальным и весьма удобным средством математического выражения предпочтений на множестве исходов операции.

7.5.2. Способы построения функции полезности

Процедура определения функции полезности включает три основных этапа:

1.выявление показателей исходов операции;

2.определение множества допустимых исходов операции;

3.определение полезностей исходов операции.

Определение полезности как меры оценки того или иного исхода операции представляет сложную задачу, точные методы решения которой пока не найдены. Все известные способы определения функции полезности носят приближенный характер и строятся на следующих основах:

1.анализ влияния исходов исследуемой операции на операцию более высокого уровня иерархии;

2.экспертных оценок;

3.аппроксимации.

Первая группа способов основывается на моделировании и предполагает включение системы, с помощью которой реализуется исследуемая операция, как элемента в систему на один уровень выше и рассмотрение влияния на ее функционирование исходов исследуемой операции. Показатель исхода исследуемой операции будет выступать одним из управляемых параметров, описывающих вышестоящую операцию. В результате должна быть получена некоторая зависимость эффективности функционирования вышестоящей системы от интересующего нас показателя. Она и принимается в качестве функции полезности для исходов исследуемой операции.

Достоинством способа является относительно высокая объективность. Основной недостаток состоит в трудностях реализации.

82

Способы определения функции полезности с использованием экспертных оценок предполагают привлечение экспертов. Эксперт - это специалист, обладающий необходимыми и достаточными знаниями, опытом, интуицией и беспристрастностью для представления объективных заключений об исходах исследуемой операции (само слово "эксперт" имеет латинское происхождение и означает "опытный"). Известно, что практический опыт и знания людей трудно заменить дедуктивными построениями формального характера. В силу этого способам на экспертной основе присущи преимущества по сравнению с другими. Принципиально любой экспертный способ представляет собой систему непротиворечивых правил, позволяющих использовать мнения экспертов для оценки предпочтительности исходов операции.

При выполнении экспертиз в ней можно выделить следующие основные этапы:

• упорядочение множества исходов операции по их предпочтительности

(r1 r2 ... rl );

•определение полезности каждого исхода F{rk} (k = 1,...,l);

•проверку полученных оценок на непротиворечивость путем сравнения оценок предпочтительности полезностей исходов;

•устранение противоречий в оценках путем корректировки либо варианта

упорядочения исходов, либо полезностей, либо того и другого вместе. Экспертные способы различаются числом привлекаемых экспертов

(индивидуальные и групповые), степенью учета качеств экспертов (с учетом или без учета), методикой проведения опроса (путем анкетирования, путем интервьюирования, комбинированным путем, с контактами и без контактов между экспертами, с обоснованием и без обоснования генерируемых оценок), формой получаемых оценок (с порядковыми оценками, с ранговыми оценками, с оценками в виде парных сравнений), методикой обработки оценок (с усреднением, на основе голосования и др.).

Наиболее просто реализуется индивидуальная экспертиза, но ей присущ серьезный недостаток - субъективизм получаемых оценок. Групповые экспертизы значительно сложнее индивидуальных.

Экспертные способы не являются строго формальными: любая экспертиза неизбежно содержит отпечаток субъективизма, вносимого как самими экспертами, так и организаторами. Это является платой за возможность получения количественных оценок там, где раньше ограничивались лишь качественным описанием. Теоретические основы экспертных способов еще недостаточно разработаны. Экспертные способы рекомендуются к использованию там, где применить моделирование не представляется возможным.

Определение функции полезности на основе аппроксимации заключается в следующем. При рассмотрении исходов конкретной операции отыскиваются характерные точки, соответствующие, например, экстремумам функции полезности, значения между ними определяются какой-то известной зависимостью. Вид зависимости выбирается на основании имеющихся сведений или качественных соображений о полезностях исходов.

7.5.3. Типовые функции полезности

Мерой количественной оценки соответствия результатов операции (решения на операцию) цели является функция эффективности (ФЭ) U(X), обладающая следующим свойством:

83

Из двух решений X1 и X2 предпочтительным является то, при котором значение функции эффективности больше, т.е. X1 X 2 (X1 предпочтительнее X2),

тогда и только тогда, когда U(X1) > U(X2).

Переход от ПИО и распределения вероятностей к функции эффективности осуществляется с помощью функции полезности (ФП), являющейся моделью предпочтений ЛПР к различным исходам операции (вариантам построения системы).

В общем виде функция эффективности определяется следующим образом:

а) для дискретных ПИО:

U ( X ) = ∑F(R)P(R / X );

R

б) для непрерывных ПИО:

U ( X ) = ∫F(R) f (R / X )dR,

R

где F(R) - функция полезности, заданная на множестве значений ПИО R. Определение функции эффективности в представленном виде практически

невозможно, т.к. для этого необходимо построить многомерную функцию полезности, а также найти либо многомерное распределение вероятностей на множестве составляющих ПИО, либо многомерную функцию плотности.

Поэтому используется соотношение вида U(X) = Ψ {Ui (X)}, где Ui(X) - функция эффективности по i-му свойству, которая является показателем эффективности (ПЭ) системы.

Таким образом, показатель эффективности отражает:

1.исход реализуемой операции (через значение ПИО);

2.тип операции (через распределение вероятностей на множестве значений ПИО);

3.систему предпочтений ЛПР (через функцию полезности).

В вероятностных операциях в качестве показателя эффективности принимается

математическое ожидание функции полезности: a) для дискретных составляющих ПИО

Ui (X ) = ∑F(ri )P(ri / X );

ri

б) для непрерывных составляющих ПИО

Ui ( X ) = ∫F(ri ) f (ri / X )dri .

ri

Наибольшее практическое применение при задании ФП нашел способ аппроксимации пороговой (одноступенчатой) и линейной зависимостями (рис.7.1. и 7.2 соответственно).

РисРис.7..17..1Пороговаяр. говаяфункцияфункцияполезности. .

84

Значение показателя эффективности для вероятностной операции с пороговой функцией полезности определяется как вероятность попадания значения составляющей r в область допустимых R (r ≥ rтр или r≤ rтр соответственно). Для варианта (рис.7.1.а) аналитическое выражение функции полезности определяется как:

а показатель эффективности будет равен:

можно показать, что

U ( X ) = P(r ≤ rmp ) .

Пример. Предполагается, что для принятия решения по управлению подчиненными объектами должностному лицу необходимо проанализировать результаты решения нескольких вариантов задачи на ЭВМ. Время решения задачи tp выступает одной из составляющих показателя исхода операции, зависит от многих факторов и является случайной величиной. Допустим, что оно не должно превышать 3 мин. Любая задержка в выдаче результата может привести к несвоевременной выработке управляющего воздействия. Получение результата за меньшее время не является определяющим, т.к. должностное лицо не сможет начать его анализ до завершения рассмотрения предыдущего. Таким образом, превышение заданного времени решения приводит к нулевой полезности получения результата, в то время как полезность других исходов максимальна. Функция полезности считается пороговой. Поэтому в качестве показателя эффективности следует принять вероятность решения задачи за 3 мин P(tp ≤ 3мин).

В вероятностной операции с линейной функцией полезности показатель эффективности определяется как математическое ожидание составляющей r.

Рис.7.2. Линейная функция полезности

Рис. 7.2. Линейная функция полезности.

Например, в случае (рис.7.2.а) аналитическое выражение функции полезности имеет вид:

85

При переходе к выражению для определения показателя эффективности следует преобразовать исходную функцию полезности к виду:

линейное положительное преобразование функции полезности не изменяет предпочтений на множестве значений r.

Тогда показатель эффективности определяется соотношением:

Соотношение для определения показателя эффективности останется прежним. Пример. Изменим характер отношения к времени выдачи результатов решения

задачи (см. предыдущий пример). Считается, что чем раньше получено решение, тем выше его значимость. В этом случае функция полезности может быть аппроксимирована линейно-убывающей зависимостью. Тогда показатель эффективности необходимо определить как среднее время решения задачи (М [tр]).

Нормирование математического ожидания относительно максимального (минимального) значения составляющей ПИО позволяет перейти к коэффициентному исчислению соответствующего показателя эффективности.

7.5.4. Оценка эффективности решений в детерминированных операциях

Полезность является универсальной и объективной мерой оценки исходов операций. Знание функции полезности дает общую основу для оценки эффективности и в детерминированных, и в вероятностных, и в неопределенных операциях. Однако сами критерии для каждого типа операции строятся на этой основе по-разному. Наиболее просто эффективность решений оценивается в случае детерминированных операций, наиболее сложно - в случае неопределенных операций.

Рассмотрим критерии и процедуры оценки эффективности решений применительно к каждому типу операций.

86

Детерминированные операции являются наиболее простым типом операций. Информация, требуемая для принятия решений, известна полностью. Решения и исходы операции связаны однозначно - каждому решению соответствует один вполне определенный исход. В этом случае безразлично, что выбирать - решения или исходы операций, и данные понятия здесь могут отождествляться.

Простой характер связи между решениями на операцию и ее исходами определяет и простоту оценки эффективности решений. Так как каждое решение связано с одним исходом, то полезность исхода может служить одновременно и мерой оценки решения с точки зрения достижения поставленной цели - его критерием эффективности (табл.7.1).

Таблица 7.1.

Заметим, что выбор оптимального решения в детерминированных операциях возможен и без определения самой функции полезности - достаточно установить

относительную предпочтительность исходов (r1 r2 ... rm ). Очевидно, решение,

которому соответствует наиболее предпочтительный исход, и будет оптимальным.

В реальных условиях трудно найти детерминированные операции. Однако сложности исследования вероятностных и неопределенных операций вынуждают искусственно вводить в них детерминизм. Например, можно заменить случайные величины их математическими ожиданиями и оперировать ими как детерминированными. Детерминированным операциям соответствуют более простые модели и для них разработан мощный математический аппарат. Поэтому нередко выгоднее проводить исследование операции на упрощенной детерминированной модели с использованием точных математических методов, чем на более адекватной вероятностной (неопределенной) модели, но с использованием приближенных математических методов.

7.5.5. Оценка эффективности решений в вероятностных операциях

Вероятностные операции выполняются в условиях с элементами случайности. Однозначность соответствия между решениями и исходами операций нарушается. Каждому решению ставится в соответствие не один, а множество исходов с известными вероятностями появления p(rk/xi). Очевидно, что оценивать решения в операциях данного типа так, как в детерминированных операциях, нельзя.

Эффективность решений в вероятностных операциях находится через математическое ожидание функции полезности на множестве исходов

U(x) = Mx[F(r)].

87

При исходах rk (k = 1,...,l) с дискретными значениями показателей, каждый из которых появляется с условной вероятностью p(rk/xi) и имеет полезность F(rk), выражение для определения математического ожидания функции полезности записывается в виде

l

U (xi ) = ∑p(rk / xi )F(rk ), i =1,..., m.

k =1

Из этого выражения как частный случай может быть получена оценка эффективности решений для детерминированных операций, если принять, что исход, соответствующий решению, наступает с вероятностью, равной единице, а вероятности остальных исходов равны нулю.

Условия оценки решений в случае, когда показатели исхода операции являются дискретными величинами, удобно задавать таблично (табл.7.2).

Таблица 7.2.

пространства исходов.

Таким образом, для оценки эффективности решений в вероятностной операции необходимо:

•определить исходы операции по каждому решению;

•построить функцию полезности на множестве исходов операции;

•найти распределение вероятностей на множестве исходов операции;

•рассчитать математическое ожидание функции полезности на множестве исходов операции для каждого решения.

Оптимальное решение - это решение с максимальным значением математического ожидания функции полезности на множестве исходов операции:

Оптимизация в условиях вероятностной операции - это оптимизация в среднем. Она не исключает случаи неоптимального решения на конкретную реализацию операции. Однако если операция будет многократно повторяться, то оптимальное в среднем решение приведет к наибольшему эффекту.

88

Сведение задачи оценки к вероятностной применимо для операций, имеющих массовый характер, для которых имеется возможность определить объективные показатели исходов, вероятностные характеристики по параметрам обстановки и законы распределения вероятностей на множестве исходов операций.

Кроме оптимизации "в среднем" в вероятностных операциях используются и другие критерии оценки:

•максимум вероятности случайного события;

•максимум степени вероятной гарантии достижения результата не ниже требуемого уровня;

•минимум среднего квадрата отклонения результата от требуемого;

•минимум дисперсии результата и др.

Рассмотрение этих критериев составляет один из разделов теории принятия решений.

7.5.6. Оценка эффективности решений в неопределенных операциях

По сравнению с вероятностными операциями для неопределенных операций характерно отсутствие вероятностных характеристик по параметрам обстановки. В силу этого нельзя определить и законы распределения вероятностей на множестве исходов операции. Недостаточность сведений об обстановке порождает ситуацию неопределенности. На практике обычно стремятся к тому, чтобы снять неопределенность. Если это удается сделать, то операция становится либо детерминированной, либо вероятностной. Однако добиться полного снятия неопределенности во многих операциях не представляется возможным. Какие-то данные обстановки будут все-таки отсутствовать.

Условия оценки эффективности для неопределенных операций можно представить в виде табл.7.3.

В этой таблице:

xi - вектор управляемых параметров, определяющий решение (i = 1,...,m);

yj - вектор неуправляемых параметров, определяющий состояние обстановки (i =

1,...,n);

uij - значение эффективности решения xi для состояния обстановки yj; U(xi) - эффективность решения xi.

Каждая строка таблицы содержит значения эффективности одного решения для всех условий обстановки, а каждый столбец - значения эффективности для всех решений при одном и том же состоянии обстановки.

В неопределенной операции известно множество состояний обстановки и эффективность решений для каждого из них, но нет данных, с какой вероятностью появится то или иное состояние. Неопределенная операция распадается на ряд из n операций, которые могут быть либо детерминированными, либо вероятностными, а порядок оценки эффективности этих решений известен.

89