Свойства зон Френеля:

• Фазы колебаний, приходящие в точку Рот двух соседних зон, отличаются на: С учетом этого результирующее колебание, создаваемое всеми зонами запишется так:

• П

  Е = Е₁ - Е₂ + Е₃ - Е₄ +…

  ри не слишком большихmплощади зон Френеля примерно одинаковы:

• Л

  

  егко показать, радиусm-й зоны длясферических волн определяется выражением:

• Для плоскойволныа и Радиусы зонr_m зависят от расстоянияaмежду источником и препятствием, от расстоянияbмежду точкой наблюдения и препятствием, от длины волныλ.

• А

  Е₁ > Е₂ > Е₃ > …> Е_m > …

  мплитудыЕ_mзон монотонно убывают с ростом их номераm:

Разобьем все нечетные зоны пополам и найдем результирующую амплитуду:

г

де учтено, что все скобки равны нулю. Знак плюс соответствует нечетнымm, минус – четным.

Рассмотрим частные случаи прохождения волн через различные препятствия.

Открытый волновой фронт(нет препятствия)

Для открытого волнового фронта

Е_m = Е  0 иЕ = Е₁ /2,

т. е. свет в отсутствии препятствия распространяется внутри канала размером в половину первой зоны Френеля. Размер первой зоны Френеля для плоской волны имеет величину порядка r₁=0,710^-3 м. Обратите внимание на удивительный факт: амплитуда колебаний в точке наблюдения в отсутствии препятствия на пути волны вдвое меньше, чем амплитудаЕ₁ колебания, созданного отверстием в одну зону Френеля, а интенсивность вчетверо меньше.

Очевидно, в отсутствии препятствия в однородной среде свет распространяется прямолинейно, т. е. выполняются законы геометрической оптики.

При свободном распространении волны возмущение от всего волнового фронта составляет половину возмущения даваемого одной только первой зоной Френеля.

Дифракция на круглом отверстии диаметром аб

Пусть отверстие вырезает часть волнового фронтаАВ. Разделим эту часть на зоны Френеля. Амплитуда колебаний в точке Р:

Е = Е₁ – Е₂ + Е₃ – Е₄ + …… Е_k.

Пусть отверстие открывает две зоны Френеля: Е = Е₁ - Е₂, = 0, т.к. Е₁  Е₂. Всякий раз, когда в отверстие укладывается четное число зон Френеля в точке наблюдения наблюдается темное пятно. Пусть отверстие открывает три зоны Френеля: Е = Е₁ – Е₂ + Е₃ = Е₃. Всякий раз, когда в отверстии укладывается нечетное число зон Френеля, в точке наблюдения Р наблюдается светлое пятно.

Пятно Пуассона или дифракция на непрозрачном диске

Пусть на пути плоской волны расположен непрозрачный круглый диск. _{Согласно} представлениям геометрической оптики область на экране – это область геометрической тени. Т.к. первые m зон отсутствуют, результирующая амплитуда в точке Р равна

Е = Е_m+1 – Е _{m+ 2} + Е _{m+ 3} – Е _{m+ 4} + …… Е = Е_m+1/2,

Мы видим, что если число перекрытых диском зон не слишком велико, так что убыванием Е можно пренебречь, амплитуда колебаний в центре тени от диска, практически такая же, какая была бы в точке Р при отсутствии диска. Таким образом, независимо от числа перекрываемых диском зон, векторная амплитуда в осевой точке оказывается конечной, монотонно возрастая по мере уменьшения диаметра диска.

В центре геометрической тени обязательно наблюдается светлое пятно.

3.1.3. СПИРАЛЬ ФРЕНЕЛЯ – МЕТОД ГРАФИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ АМПЛИТУД. Рассмотрим графический метод сложения амплитуд. В этом методе мысленно разбивают волновую поверхность на узкие кольцевые подзоны, число которых велико. Амплитуда вторичных волн, изображается вектором, длина которого пропорциональна амплитуде, а фаза – углом наклона к оси абсцисс. В пределе при стремлении ширины кольцевых зон к нулю (количество их будет при этом неограниченно возрастать) векторная диаграмма принимает вид спирали, закручивающейся к ее центру (рис.).

Проследим за изменением получающихся диаграмм при постепенном увеличении диаметра отверстия в непрозрачном экране. Каждая зона на диаграмме представляет половину окружности. При переходе к следующее зоне

• поворот против часовой стрелки отражает фазовый сдвиг по сравнению с волнами, пришедшими от центра отверстия на ,.

• амплитуды убывают, получается не замкнутая фигура, а медленно скручивающаяся спираль.

• Результат действия одной зоны – это вектор, соединяющий начало зоны с ее концом. Колебание, возбуждаемое несколькими соседними зонами, представится геометрической суммой таких векторов.

На рисунках показаны векторные диаграммы для случая, когда размер отверстия в непрозрачном экране постепенно пропускает

• первую зону Френеля (векторЕ₁),

• вторую зону – вектор Е_2,

• первые две зоны Е=Е₁+ Е₂ 0;

• первые три зоны Е=Е₁+ Е₂ + Е₃ Е_{1 .} и т.д.

Цепочка по мере увеличения числаm закручивается в спираль и в результате действие всех зон Френеля (открытый волновой фронт) амплитуда поля в точке наблюдения вдвое меньше, чем при одной открытой первой зоне: амплитуда колебаний определяется длиной вектораЕо, проведенным из начала спирали в ее фокус.

Т. о., амплитуда колебаний в точке Р по мере увеличения радиуса отверстия меняется не монотонно: максимум сменяется минимумом и т.д. То же самое произойдет, если приближать точку наблюдения, т.е уменьшать расстояние b (рис.). Причем амплитуда (интенсивность) света максимальна в точке наблюдения на расстоянии, при котором отверстие совпадает с первой зоной Френеля.

3.1.4. ЗОННЫЕ ПЛАСТИНКИ. ИЗМЕНЕНИЕ ФАЗОВЫХ СООТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ВТОРИЧНЫМИ ВОЛНАМИ. Из теории дифракции Френеля вытекает возможность управления формой волнового фронта и распределением интенсивности посредством изменения фазовых соотношений между вторичными волнами. Две соседние зоны действуют как источники света, колеблющиеся в противофазе — посылаемые ими световые волны в значительной степени гасят друг друга за счет деструктивной интерференции. Все четные зоны Френеля дают вклад в результирующее поле одного знака. Все нечетные – противоположного знака. Если все четные (или нечетные) зоны закрыть непрозрачной маской, то, амплитуды этих зон сонаправлены и в точке Р будет наблюдаться многократное усиление света (рис. а). По закону сохранения энергии в других точках пространства интенсивность света должна уменьшиться, то есть произойдет фокусировка света в точку Р. Такая маска называется амплитудной зонной пластинкой. На спирали Френеля остаются «работающими» только полувитки, отвечающие нечетным зонам; полувитки четных зон «выбывают из игры», поскольку заполняющие их вторичные источники оказались затененными. Амплитуда результирующего колебания Е равна при этом сумме амплитуд слагаемых колебаний, а и

I= (Е₁ + Е₃ + Е₅ + …)² = (к Е₁)².

нтенсивность дляк открытых зон. Зонная пластинка Френеля обладает фокусирующими свойствами, существенно увеличивая интенсивность света в точке Р, которая является точкой фокусировки зонной пластинки.

Если вместо непрозрачной маски для четных (нечетных) зон ввести дополнительный фазовый сдвиг=л, т. е. использовать свет всех зон, интенсивность света в фокусе возрастет еще в 4 раза. Искомого фазового сдвига можно добиться, например, путем размещения в отверстии стеклянной пластины с кольцевыми ступенями равной высотыh. Вносимая ступенькой разность хода составит

г

 = h(n – 1),

деn– показатель преломления пластины. В этом случае пластинка называется фазовой.

	Что такое дифракция волн? Каким волновым процессам оно свойственно? 2 Как согласовать явление дифракции с прямолинейным распространением света? Поясните принцип Гюйгенса-Френеля. В чем состоит метод зон Френеля? К чему сводится действие всей совокупности зон Френеля? Какими будут освещенности в центральной точке экрана, если на отверстии укладываются одна, две, три и множество зон Френеля? Будем постепенно удалять точку наблюдения от диска. Число зон Френеля, перекрываемых диском, будет постепенно уменьшаться. К чему это приводит? Перечислите номера зон Френеля, которые приходят в фазе с волнами от первой зоны в области до 15 зон. Имеется круглое отверстие в непрозрачной преграде, на которую падает плоская световая волна. За отверстием расположен экран. Что будет происходить с интенсивностью в центре экрана, если экран удалять от преграды? Покажите с помощью векторной диаграммы, что освещенность в центре геометрической тени .
Волна от сферического источника S (см. рис.) интенсивнос-ти I0 падает на непрозрачный экран А, имеющий круглое отверстие, радиуса r0, которое открывает первую зону Френеля (см. рис.). При этом на экране В в точке Р отношение интенсивностей Iр/I0 равно ...
Волна от сферического источника S  интенсивности I0 падает на непрозрачный круглый диск А, радиуса r0, которое закрывает 1-ю зону Френеля (см. рис.). При этом на экране В в точке Р отношение интенсивностей Ip/I0 близко к ...