§ 2 Арифметическое векторное пространство.

Из школьного курса математики известно, что точки и вектора на плоскости, с заданной системой координат, однозначно определяются с помощью упорядоченных пар чисел (x, y). Именно это обстоятельство лежит в основе определения понятия n - мерного векторного пространства.

О п р е д е л е н и я. Для целого положительного числа n обозначим через Rмножество всех упорядоченных последовательностей из n вещественных чисел

x = ( x ₁ , . . . , x _n )

числа x ₁, . . . , x _nназываются компонентами элемента. Элементы множества Rназываются точками или векторами.

Замечание. Термин вектор используется в линейной алгебре, когда рассматриваются алгебраические операции над элементами пространства. Термин точка чаще используется в математическом анализе, когда элементы пространства рассматриваются с точки зрения расстояния между ними.

Мы будем обозначать вектора буквами, набранными жирным шрифтом. Вектор x можно записать в виде

x =

В этом случае x называют вектор-столбцом.

Два вектора x = ( x ₁ , . . . , x _n) и y = ( y ₁ , . . . , y _n ) называются равными, если равны их соответствующие компоненты x ₁ = y ₁ , . . . , x _n = y _n .

Если x и yэлементы из Rи - вещественное число, то положим

x + y = ( x ₁ + y₁ , . . . , x ₁ + y _n ),

x = ( x ₁ , . . . ,  x _n ),

так, что x + y и x элементы из R.

Например, если x = (3, -1, 2) и y = (2, 4, 1) вектора из R, то вектор

2x + 3y = (6 , -2, 4) + (6 , 12, 3) = (6 + 6 , -2 + 12, 4+3)=(12 , 10, 7)

принадлежит R.

Тем самым определено сложение векторов, а также умножение вектора на число.

Эти две операции подчиняются законам:

1. сложение коммутативно

x + y = y + x

2. сложение ассоциативно

(x + y) + z = x + (y + z)

3. умножение ассоциативно

() x = (x)

4. умножение дистрибутивно по отношению к сложению чисел

( + )x = x + x

5. умножение дистрибутивно по отношению к сложению векторов

(x + y) = x + y .

6. в пространстве существует 0=(0, . . . ,0)-нулевой элемент, удовлетворяющий условию

x + 0 = 0 + x = x.

7. умножение на единицу не изменяет вектор

1x = x

8. Возможно вычитание, т.е. для любых двух векторов а, b найдется такой вектор x, что

a + x = b.

Множество R, с введенными операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется арифметическим векторным пространством.

Замечание. Пространство Rявляется частным случаем более общего понятия линейного пространства. Приведем общее определение.

Произвольное непустое множество L называется линейным или векторным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

а) для любых двух элементов x, yL однозначно определен третий элемент, называемый их суммой и обозначаемый x+y;

б) для любого x L и любого числа  определен элемент xL, называемый произведением  на x;

в) операции сложения и умножения на число удовлетворяют требованиям 1) - 8).

Арифметическое векторное пространство представляет собой линейное пространство. Другим примером линейного пространства является множество многочленов степени не выше n-1 с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на числа.

О п р е д е л е н и е. Непустое подмножество X векторов пространства Rназывается линейным подпространством этого пространства, если из условияxX и yX следует, что вектор x + y принадлежит X при любых  и .

П р и м е р. Пусть X  R- подмножество векторов третья компонента которых равна нулю. Тогда X является подпространством пространства R. Действительно, еслиx = (x, x, 0) и y = (y, y, 0) вектора из X, то вектор

x + y = (x ₁ + y ₁ , x ₂ + y ₂ , 0 + 0) = (x ₁ + y ₁ ,  x ₁ + y ₂ , 0)

принадлежит X.

Введем в пространстве Rеще одну операцию.

О п р е д е л е н и е. Скалярным произведением векторов x = (x ₁ , . . . , x_n ) и y = (y ₁ , . . . , y_n ) пространства Rбудем называть число ( и обозначать его (x, y) ), вычисляемое по формуле

(x, y) = x ₁ y ₁ + . . . + x _n y _n

Непосредственно из определения следует, что имеют место равенства:

1. (x, y) = (y, x);

2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z);

3. (x, y) = (x, y) .

Два вектора a и b называются ортогональными, если (a, b) = 0.

Например, вектора

e ₁= (1, 0) и e ₂ = (0, 1)

ортогональны т. к.

(е ₁ , е ₂ ) =10 + 01 = 0 e ₂

e

Рис. 3

Система ненулевых векторов a ₁ , . . . , a _m называется ортоганальной, если (a _k, a _l ) = 0 при k l.

Введенным абстрактным понятиям и операциям можно придать конкретный экономический смысл.

Например, пусть предприятие выпускает n видов продукции. Если за рассматриваемый календарный период предприятие выпустило продукции i в количестве x _i , то вектор x = ( x ₁ , . . . , x _n ) называется вектором выпуска продукции за данный период. Если с _i -цена продукта i, то вектор c = ( c ₁ , . . . , c _n ) называют вектором цен. Скалярное произведение

(c, x) = c ₁ x ₁ + . . . + c _n x _n

в этом случае является валовой продукцией за рассматриваемый период. Если в следующий период предприятие планирует производить продукцию i в количестве y _i , то вектор y = ( y ₁ , . . . , y _n ) называется плановым вектором. Разность векторов y - x характеризует планируемый прирост продукции.