Lektsia_1
.pdf
де - відповідно найменше і найбільше значення підінтегральної функції в області
60 (Середнє значення функції).
Якщо функція ( ) неперервна в області |
, то в цій області існує точка |
||
( |
), така що |
|
|
|
( ) |
( |
) |
Величину
( ) ( )
називають середнім значенням функції ( |
) в області . |
|
|
|
|
|
|
Пр. 1 Обчислити повторний інтеграл |
∫ |
∫ ( |
√ ) |
||
Обчислимо внутрішній інтеграл ( |
|
) |
|
|
|
|
|
∫ ( |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) | |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
√ ) |
|
|
√ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Тоді |
∫ |
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
∫ |
∫ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Пр. 2. Обчислити повторний інтеграл |
|
|
|
|||||||||||||||
|
∫ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∫ |
∫ |
∫ |
( |
|
|
| ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
∫ |
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
∫( |
) ( |
) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) | |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
( |
) |
|
|
) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пр.3. Вирахувати інтеграл, де область |
|
|
|
- прямокутник |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
∫ |
|
|
∫ ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вирахуємо спочатку внутрішній інтеграл
∫ ( )
Тоді
|
|
∫ [ |
|
|
|
] |
( ) |
|
|
Пр. 4. Обчислити інтеграл
( )
y
|
x |
|
|
= |
|
|
y |
|
2 |
|
|
1 |
D |
1 |
|
|
y = x |
1 |
2 |
x |
{ |
( |
) |
|
|
|
|
|
В напрямку осі |
область |
правильна. |
|
|
|
|||
∫ |
∫ |
( |
) |
∫( |
) ∫ |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫( |
) | | | ⁄ |
∫( |
) |
|
|
|
| |
| |
|||
( )
( |
) | ∫( |
) |
( ) |
Пр. 5. Обчислити інтеграл
|
де : |
√ |
|
{ |
√ |
|
|
|
|
||
√ |
|||
|
|||
∫√ ∫√
Проінтегрувати цей інтеграл складно. Тому, поміняємо порядок інтегрування
{ √
|
|
∫√ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
||||
∫ |
|
∫ |
∫ ( |
|
| ) |
||||
|
|
||||||||
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
∫ ( |
|
) |
∫ |
|
( |
|
) |
||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||
√ |
|
|
∫ |
|√ |
|√ |