Lektsia_20

Задана функція є кусково-монотонною на проміжку , тому її можна подати рядом Фур’є. Отже,

задача зводиться до знаходження коефіцієнтів Фур’є.

Підставивши знайдені коефіцієнти в ряд (4) дістанемо

∑

Ця рівність справедлива для всіх точок неперервності заданої функції, тобто

Приклад2.

Розкласти в ряд Фур’є -періодичну функцію:

{

Отже, ряд Фур’є заданої функції має вигляд

{

то знайдений у цьому прикладі ряд Фур’є був би збіжним до на всій числовій осі.

Зауваження3. Для довільної інтегровної

∫ ∫

для будь-якого числа . У зв’язку з цим коефіцієнти ряду Фур’є можна знайти, обчислюючи інтеграли (5) по довільному відрізку, довжина якого дорівнює періоду, тобто

∫ ∫

∫

У випадку, коли -періодична функція задана на проміжку , ці формули записуються в вигляді

Зауваження4. Умови, які накладаються на функцію при розкладі її в ряд Фур’є, значно простіші, ніж

при розкладі її в степеневий ряд. Дійсно, якщо функція розкладається в ряд Тейлора, то вона на всьому інтервалі збіжності є не тільки неперервною, а й скільки завгодно разів диференційовною. Для розкладу функції в ряд Фур’є у цьому зовсім немає потреби. Згідно з теоремою Діріхле достатньо щоб лише функція була неперервною або навіть мала на відрізку скінчене число точок розриву першого роду.

З цього випливає, що клас функції, які можна подати рядом Фур’є значно ширший, ніж клас функцій, які можна подати рядом Тейлора.

аналогії з многочленами Тейлора їх називають многочленами Фур’є) дають змогу знайти наближення цієї функції

∑