Lektsia_19

Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів.

Якщо інтегрування диференціального рівняння не зводиться до квадратур, то для наближеного інтегрування можна скористатись рядом Тейлора.

Нехай треба знайти частинний розв’язок рівняння

(1)

Припустимо, що шуканий розв’язок рівняння (1) в околі точки , в якій задані початкові умови, можна розкласти в ряд

(2)

диференціюванням рівняння (1) по :

(3)

Продиференціювавши рівняння (3) і поклавши

, , , , дістанемо і т.д.

Процес або обривається на деякому коефіцієнті, або завершується знаходженням загального закону побудови коефіцієнтів.

Зауваження 1.

За формулою (2) можна знаходити наближений розв’язок рівняння будь-якого порядку:

Зауваження 2.

Питання про те, за яких умов розв’язок диференціального рівняння можна шукати у вигляді ряду Тейлора (2), а також яка похибка цього розв’язку, ми не розглядаємо.

Приклад5.

Знайти три перших (відмінних від нуля) члени розкладу в ряд розв’язку рівняння

Послідовно диференціюючи дане рівняння, дістанемо

Підставляючи знайдені похідні в ряд Маклорена, дістанемо шуканий розв’язок

Приклад6.

Знайти три перших (відмінних від нуля) члени розкладу в ряд розв’язку рівняння

.

Маємо

,

, .

Отже