Rozrakhunkovi_roboti_VM1
.pdfВаріант 23
1. Побудувати графіки функцій:
1) y = 2sin(3x + 23π). 4) y = tg(13x − π4).
2)y = 21arcsin(x −1). 5) y = (13)1−x .
3)y = 13arcctg(x −1). 6) y = −ln(2x − 3).
2. Знайти:
а) алгебричну форму |
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z1 |
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+ 2z |
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+i5 |
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z |
2 |
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б) тригонометричну форму z3; |
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в), г) (z1z2)8 та ( |
z1 |
)10 ; |
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z |
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||||
д), е) всі значення 3 |
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та 4 |
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, якщо: |
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z |
1 |
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z |
2 |
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z1 = 6 + 6i,z2 = −3 + 3 |
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i,z3 = 3 − 4i. |
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3 |
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3. Зобразити множину точок z : |
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1) 2 < |
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z −i |
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< 3, |
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π |
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< argz < |
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3π. |
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3 |
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2 |
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2) |
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z −1 |
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< |
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z + 3i |
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, |
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Rez |
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< 1. |
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3) z3 + 6z2 + 24z + 32 = 0. |
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Знайти границі (4—7): |
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3 |
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5 |
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1 + 2n |
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|||||||||||||||||||||
4.1) lim |
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+ |
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+... + |
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16 |
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n |
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n→∞ 4 |
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4 |
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n7 |
+ 5 − |
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2) lim |
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n −5 |
. |
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+ 5 + |
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7 n7 |
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n→∞ |
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n − |
5 |
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3) lim |
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(n4 |
+1)(n2 −1) − |
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n6 −1 |
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n |
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n→∞ |
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5.1)lim |
−5x |
2 +11x −2 |
.6.1)lim |
1− cos2 2x |
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3x |
2 −x −10 |
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x arcsinx |
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x→2 |
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x→0 |
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2)lim |
x3 + 3x −28 |
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2)lim |
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sin3x |
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x2 − |
4x |
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x |
→4 |
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x |
→0 ln(1+ 2x) |
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3) lim |
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2x3 + 7x2 −2 |
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3)lim |
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e4x −1 |
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x |
→∞ 6x3 − |
4x + |
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3 |
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x→0 sin(π(x2 +1)) |
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4) |
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lim |
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5x4 |
−2x3 + 3 |
. |
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4) lim |
tgπx |
. |
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x |
→−∞ 2x2 + 3x − 7 |
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x→−2 x + 2 |
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5) lim |
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3x +1 |
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. |
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5)lim |
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(x3 − π3)sin5x |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 − |
5x2 + 4x |
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esin2 x − |
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x |
→∞ x |
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x→π |
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1 |
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− 5 |
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52x −23x |
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6)lim |
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2x + 7 |
. |
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6)lim |
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3 − |
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x |
→9 |
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x |
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x→0 sinx + sinx2 |
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7)xlim→∞( |
4x −1 |
)2x . |
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7)limx→1( |
2 −x |
) |
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1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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ln(2−x) |
. |
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4x +1 |
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x |
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5x − 7 2x−1 |
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3 |
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|
−2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
8) |
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lim |
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|
. |
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8)lim |
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5 + x |
. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||
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(x + |
6 ) |
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sinπx |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
→−∞ |
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x→3 |
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7.1)lim(1−x)tg |
πx . |
3)lim |
ex2 −1−x3 |
. |
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||||||
x→1 |
2 |
|
x→0 sinx −x |
|||
1 |
|
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2) lim(x −1) |
ln(2x−2) |
. |
4)lim(arcsinx)x. |
|||
x→∞ |
|
|
x→0 |
8.Визначити порядок і головну частину розкладу α(x) відносно β(x) :
1)α(x) = ex10 − cos2 3x9,β(x) = arctgx,x → 0.
2)α(x) = 31− x,β(x) = x −1,x → 1.
3)α(x) = ln(1 + x9 tgx),β(x) = arcsinx,x → 0.
9.Дослідити функцію на неперервність:
1)f(x) = arcsinsin2xx .
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||
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+ 2, |
x |
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≤ −1, |
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||||||||||
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x |
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|||||||||||||
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||
2) f(x) = |
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−x, |
−1 < x ≤ 1, |
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|||||||||||||||||||||
1 |
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||
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x |
> 1. |
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||||||||
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lnx, |
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||||||||||||
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3) f(x) = |
3 |
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+1 у точках x |
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= 5,x |
|
= −4. |
||||||||||||||||||||||||||
5 |
x+4 |
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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Знайти похідні функцій (10—13): |
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(3x +1)4 |
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|
+ |
8 |
. |
|
|
|
|
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|||||||||||
10.1) y = |
− 5 x4 |
|
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|||||||||||||||||||||||
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e4x |
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|
x3 |
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||||||
2) y = |
|
7x3 − lncos1 |
+ |
|
ctg |
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|
x −2 |
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. |
|
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||||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||||||||||||||
|
|
|
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3 |
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|
|
lg(3x + 5) |
|
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|||||||||||
3) y = tg6 2x cos7x |
2 − |
|
arcctg3 x |
. |
|
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|||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||
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|
|
sh(2x − 5) |
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|||||||||||||
4) y = 4−sinx arctg3x + |
8lg(4x + 5) |
. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
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|
||||||||||||||||||||||||||
|
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|
(x −1)5 |
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||||||||||
5) y = ch2 5x arctgx4 −(ctg2x3)sin |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ch(2x−1) |
|
|
|
(x −1)4(x − 7)2 |
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|||||||||||||||||||||
6) y = (tg2x) |
|
+ |
|
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. |
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|||||||||
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|
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||||||||||||
|
(x |
|
+1)2 3 (x + |
2)5 |
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||
11.1) x2y2 + x = 5y3. 2) x2 siny + y2 |
= r2. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
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|
|
|
t |
|
|
||||||
|
? |
|
|
|
x = |
|
|
|
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|
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|
x = e , |
|
|
|||||||||||||||||
|
yx = |
|
|
|
|
|
t +1 |
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|
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|
|
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||||||||||||||||||||
12. |
|
|
|
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|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
′′ |
|
|
|
|
: 1) |
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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||||||||
|
|
|
|
|
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|
t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|||||||||
|
yxx = |
? |
|
|
|
y = |
( |
|
) . |
|
|
y |
= arcsine |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t +1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
13.1) y = (x2 −x)lnx,y(5) |
= ? |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
2) y = xe6x,y(n) = ?
14. Скласти рівняння дотичної та норма- лі до кривої в заданій точці:
2x
1) y = x2 +1,x0 = 1.
π
2) x = 3cost,y = 4sint,t0 = 4.
48
3) x = 2sint,y = 2cost,z = tgt,M0(2;2;1).
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = 1 |
(16 −6x2 −x3). |
|||
8 |
|
|
|
|
16.max f(x) = |
1) y = e6x−x2,[−3;3]. |
|||
? |
|
|
||
min |
|
2) y = 2 x −1 −x,[1;5]. |
||
[a,b] |
|
17. Дослідити функцію і побудувати її графік:
1) y = 3 |
|
|
|
|
. |
|
5) y = x3 + 4. |
|||
x(x −2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
||
2) y = x3 + x2 − 3x −1 |
.6) y = x − ln(1+ x2). |
|||||||||
|
|
2x2 −2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
7) y = x2 + 2x − 7. |
|||||
3) y = 3 (x −6)x2. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2x − 3 |
|||
4) y = ln(− |
|
sinx). |
8) y = |
ex+3 |
. |
|||||
2 |
||||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
Знайти інтеграли (18—22):
18.1)∫ |
|
|
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|
|
7)∫ cos(7x + 3)dx. |
|||||||||||||||||||||||||
5 − 4xdx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
||||
2)∫ |
|
|
|
|
dx |
8)∫ |
|
|
|
|
ln3(x + 3) |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
dx. |
|||||||||||
1+ 6x |
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
9)∫ sin6 3x cos3xdx. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4x2 + 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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|||||||
4)∫ |
|
|
|
|
xdx |
10)∫ |
|
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|
5 tg2 3x |
|
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|
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|||||||||||||||||
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|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2x2 − 7 |
|
|
|
cos2 3x |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
5)∫e2−4xdx. |
11)∫ |
|
|
|
|
arccos2x |
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1− 4x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
6)∫ |
|
|
|
|
dx |
12)∫e1−6x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2x2 + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x −7 |
|
|
|
|
|
|
(2x2 +12x − 6)dx |
|||||||||||||||||||||||||
19.1)∫ |
|
|
dx. |
5)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
x2 − 5 |
(x +1)(x2 + 8x +15) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
2x2 + 5 |
6)∫ |
|
|
|
x3 − 4x + 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x +1 |
(x2 −1)(x −1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
dx |
7)∫ |
|
|
|
|
(2x2 + 4x + 20)dx |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
x2 + 7x + 6 |
(x +1)(x2 − 4x +13) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x − 5)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4)∫ |
|
|
|
|
. 8)∫ |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x2 + x +1 |
x4 + 5x2 + 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
20.1)∫ tg4 3xdx. |
4)∫ sin2 x cos4 xdx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ sin3 5xdx. |
5)∫ |
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3 −2sin |
2 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ cosx cos7xdx. |
6)∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3cosx − 4sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
21.1)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. 5)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2x2 + 5 |
2x2 −x + 6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
.6)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5 −7x − 3x2 |
1−x −x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ x3 |
|
|
|
|
dx. 7)∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1−x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
1+ 5 x4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4)∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
8)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
(x −1) |
|
|
|
|
x215 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
4)∫ x arctg2xdx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
22.1)∫ arcsin 5dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ x2 cos2 xdx. |
|
5)∫ (x +1)cos7xdx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ (x + 3)e−xdx. |
|
6)∫ x ln(x2 +1)dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23. Обчислити інтеграли: |
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1)∫ arctg |
|
dx. |
|
4)∫ |
24 sin4 |
|
cos4 |
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
223
2)∫0 |
|
|
dx |
. 5)∫2 |
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
(x +1)(x2 + 4) |
x4 |
|
|
|
|
||||||||
x2 − 3 |
|||||||||||||
10 |
|
|
x3dx |
e4 |
|
|
dx |
||||||
3)∫ |
|
6)∫ |
|
|
|||||||||
|
|
. |
|
|
|
. |
|||||||
x2 |
− 3x + 2 |
x |
|
|
|||||||||
1+ lnx |
|||||||||||||
7 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:
∞ |
1 |
|
x4dx |
|
|
1)∫e−3xxdx. |
2)∫ |
|
|
. |
|
3 |
|
|
|||
1−x5 |
|||||
0 |
0 |
|
|
|
|
25. Обчислити площі фігур, обмежених кривими:
1) y = |
|
x |
|
|
,y = 0,x = 1. |
|
+ |
1)2 |
|||
(x2 |
|
||||
x = 9cost, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 (y ≥ 2). |
||
2) |
|
|
|||
y = 4sint, |
|
|
3) ρ = sin6ϕ.
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривими y = 2 −x2,y = x2, навколо осі Ox.
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої ρ = 23cosϕ навко-
ло полярної осі.
49
Варіант 24
1. Побудувати графіки функцій:
1) y = 2cos(2x − π3). 4) y = ctg(21x + π4).
2)y = 13arccos(x + 2). 5) y = (21)x+1 .
3)y = 13arctg(x − 21). 6) y = 3ln(5 −x). 2. Знайти:
а) алгебричну форму zz1 + 2z3 −i6;
2
б) тригонометричну форму z3;
в), г) (z1z2)8 та (zz21 )10 ;
д), е) всі значення 3z1 та 4z2 , якщо:
z1 = −7 + 7i,z2 = −23 −2i,z3 = 4 + 5i. 3. Зобразити множину точок z :
1) 2 < |
|
z |
|
+i |
|
< 3,0 < argz < π. |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
2) |
|
z +1 |
|
> |
|
z − 3i |
|
, |
|
Imz |
|
< 2. |
||||
|
|
|
|
|
|
3) z3 −7z2 + 24z −18 = 0.
Знайти границі (4—7):
4.1) lim |
|
|
2 + 4 +... + 2n |
. |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
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|
||||||||||||
n→∞1+ 3 +... +(2n −1) |
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) lim |
|
|
|
|
3 n2 + 2 − 5n2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n→∞ n − |
n4 −n + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3) lim(n − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n(n −1)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.1)lim |
x2 −5x −14 |
|
. 6.1)lim |
1− cos4x |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2x2 −9x − |
35 |
|
|
x sinx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→7 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2) lim |
|
|
3x2 +11x +10 |
. 2)lim |
arcsin8x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 − 5x −14 |
|
|
|
|
|
|
|
tg4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x→−2 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3) lim |
|
|
|
|
|
|
14x2 + 3x |
|
|
|
|
. |
|
|
3)lim |
|
|
1− cosx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+ 2x + 7x2 |
|
|
(e |
3x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x→−∞ |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
8x3 + x2 −7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1− sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4) lim |
|
. |
|
|
|
4)lim |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π −x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→∞ 2x2 − 5x + 3 |
|
|
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
5) lim |
|
|
|
|
2 −x − 3x |
2 |
|
. |
|
|
|
|
5)lim |
|
|
|
|
|
ex −e3x |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 −16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 sin3x − tg2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 − |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg(x + |
1) |
|
. |
|||||||||||||||
6)lim |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
6) lim |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→4 |
|
|
|
|
6x +1 −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−1 |
|
|
3 x3−4x |
2+6 |
|
−e |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
( |
|
3x + 4 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7)lim(2 −ex2 ) |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
7) lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
1−cos |
πx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 − 4x |
|
6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
8) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
8)lim |
|
|
ctg |
|
cosx |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
( |
|
2 −x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln(x +1)−x2 |
|
1 |
|
1 |
|
||
7.1)lim |
|
.3)lim |
|
|
− |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x→0 |
tgx −x |
x→0 |
x arctgx |
|
x |
|
||
|
|
|||||||
2) lim (1−x)log2 x. |
4) lim (ctgπx)sinπx. |
|
||||||
x→1−0 |
|
x→1+0 |
|
|
|
|
8. Визначити порядок і головну частину розкладу α(x) відносно β(x) :
1) α(x) = 31 + x6 −1,β(x) = ex2 −1,x → 0.
2)α(x) = 1−2x − 31− 3x,β(x) = x, x → 0.
3)α(x) = lncos2x2,β(x) = sinx,x → 0.
9.Дослідити функцію на неперервність:
1)f(x) = lg1x .
|
|
|
|
|
|
|
x < 0, |
|
−1, |
||
|
|
|
|
2) |
|
|
0 ≤ x ≤ π, |
f(x) = cosx, |
|||
|
|
|
|
|
|
−x, |
x > π. |
|
1 |
||
|
|
|
|
x− 4
3)f(x) = x + 2 у точках x1 = −2,x2 = 1.
Знайти похідні функцій (10—13):
10.1) y = x74 + 7x2 − 5x2 +e−4xx −2.
|
|
|
|
|
|
+ |
tg(3x −5) |
. |
|
||
2) y = 3 8x4 − ctgsin |
|
1 |
|
||||||||
13 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ln2(x + 3) |
||||||
3) y = ctg3 4x arcsin |
|
|
|
− |
|
2log3(4x −7) |
. |
||||
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 3)4 |
4) y = 2cosx arcctg3 x + arccos3 5x . th(x −2)
5) y = th4 7x arccos3x3 −(tg7x5)x+2.
6) y = (ctg7x)sh3x + (x + 7)2(x − 3)5 . (x +1)2 x2 + 3x −1
11.1) x4 + x2y2 + y3 = 4. 2) xy − lny = 1.
′ |
|
x |
= cost, |
|
|
3 |
|
yx |
= ? |
|
|
x = 5sin |
t, |
||
|
|
||||||
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
: 1) |
= sin4 t . |
2) |
|
|
|
|
yxx′′ |
= ? |
y |
y |
= 3cos3 t. |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
13.1) y = x2 ln(1− 3x),y(5) |
= ? |
|
|
|
2) y = 11 +12x ,y(n) = ? 6x + 5
14. Скласти рівняння дотичної та норма- лі до кривої в заданій точці:
1)y = −2(3x + 3x),x0 = 1.
2)x = t −t4,y = t2 −t3,t0 = 1.
50
3) x = t2,y = 3t2,z = 1−2t,M0(1;−3;3).
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = − |
1 |
|
(x2 |
− 4)2. |
||||
|
|
|||||||
16 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1) y = |
lnx |
,[1;4]. |
|
||
|
|
|
|
|
||||
16.max f(x) = |
? |
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
||||
min |
|
2) y = 3 (x + 2)2(1−x),[−3;4]. |
||||||
[a,b] |
|
17. Дослідити функцію і побудувати її графік.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
(x − 5). |
|||||
1) y = 3 x2 − 4x + 3. |
5) y = |
x2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) y = x2 + 6x + 9. |
6) y = 1− ln3 x. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|||||
3) y = 3 x2 − 3 (x −1)2.7) y = |
|
|
|
||||||||||||||
x4 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
||||||
4) y = |
|
. |
8) y = ln |
|
|
x |
|
−1. |
|||||||||
cosx |
|
|
|||||||||||||||
|
x + 5 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайти інтеграли (18—22):
18.1)∫ |
dx |
. |
|
|
|
|
7)∫ sin(7 − 4x)dx. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 + 7x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9xdx |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2)∫ 5 (6 −5x)2dx. 8)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1−9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
9)∫ |
|
|
|
|
3 ln4(x − 5) |
dx. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 − 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4)∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
10)∫ |
|
|
|
|
|
ctg3 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
4x2 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 5x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5)∫e3−6xdx. |
|
|
|
|
|
|
11)∫ex3+1x2dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6)∫ |
|
cos6x |
|
|
|
|
|
|
12)∫ |
|
|
|
|
arcctg4 5x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
sin3 6x |
|
|
|
|
1+ 25x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
19.1)∫ |
3x − 3 |
|
dx. |
5)∫ |
|
|
|
|
(5x2 + 5x − 58)dx |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||
1−x2 |
|
|
|
|
|
(x2 + 2x − 3)(x − 4) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 + 3x +1 |
|
|
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|
|
3x2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
2)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx.6)∫ |
|
dx. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 + 2 |
|
|
|
x(x +1)2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
7)∫ |
|
|
|
|
|
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|
(5x +13)dx |
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
2x2 − 3x + 4 |
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|
(x +1)(x2 + 6x +13) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(2x + 3)dx |
|
|
|
|
|
2x4 + 8x2 − 8x + 2 |
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|||||||||||||||||||||||
4)∫ |
|
|
|
. 8)∫ |
|
|
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|
|
|
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|
|
dx. |
|||||||||||||||||||||
|
|
3x2 + 2x − 8 |
|
|
|
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|
x4 + 4x2 |
|||||||||||||||||||||||||
20.1)∫ tg3 4xdx. |
4)∫ sin4 x cos2 xdx. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ sin4 xdx. |
|
|
|
|
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|
5)∫ |
|
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|
(3tgx −1)dx |
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|||||||||||||||||||||
|
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|
. |
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
sin2 x + 4cos2 x |
|
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|
3)∫ sin2x sin3xdx. 6)∫ 5 +dx3cosx.
21.1)∫ |
7x −2 |
5)∫ |
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|
x −9 |
|
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|||||||||||||||||||
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dx. |
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|
dx. |
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|
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|
x2 −1 |
4 + 2x −x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. 6)∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
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|
|
|
|
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|
|
|
|
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. |
|||||||||
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|
(x −1) |
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||||||||||||
3x2 −x + 5 |
|
1−x −x2 |
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3)∫ |
|
|
(4 −x |
2)3 |
|
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dx. 7)∫ |
|
|
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|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
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|
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|
x4 |
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3 |
|
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+ 6 |
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|||||||||||||||||
|
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|
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|
x |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
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|
4)∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
8)∫ |
|
|
3 (1+ 5 x4)2 |
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|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||||
1+ |
|
|
|
|
|
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|
x2 3 |
|
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|||||||||||||||||||
x −2 |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
22.1)∫ x ln2 xdx. |
4)∫ arctg(x + 5)dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫(x2 + x)sinxdx. 5)∫ |
(x + 2)sin |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ arccosxdx. |
6)∫ ln(2x −1)dx. |
23. Обчислити інтеграли:
00
1)∫ x ln(1−x)dx. |
|
|
4)∫ |
||||||
−1 |
|
|
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|
|
|
|
−π |
|
|
|
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|
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|
2 |
9 |
x2 −x + 2 |
|
|
4 |
|||||
|
|
|
|
||||||
2)∫ |
|
|
|
|
|
dx. 5)∫ |
|||
x4 |
−5x2 |
|
+ 4 |
||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4,5 |
|
|
x2dx |
|
|
ln3 |
|||
3)∫ |
|
|
|
. |
6)∫ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
8x −x |
2 |
−15 |
||||||
4 |
|
|
|
|
ln2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
28 sin2 x cos6 xdx.
16 −x2 |
|
x4 |
dx. |
dx
1 +ex .
24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:
|
0 |
|
x2 |
|
x |
|
|
2 |
|
x2dx |
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|||
|
∫ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
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|
1) |
|
3 |
|
|
|
2 |
dx. 2) |
|
|
. |
||||||
|
|
−1 |
|
1 + x |
|
∫ |
64 −x |
6 |
|
|
||||||
−∞ |
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
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|
25. Обчислити площі фігур, обмежених кривими:
1) x = 4 −y2,x = y2 −2y.
x = 8(t − sint),
2)
y = 8(1− cost),
y= 12 (0 < x < 16π,y ≥ 12).
3)ρ = 2cosϕ,ρ = 3cosϕ.
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривими y = 8 −x2,y = x2, навколо осі Ox.
27. Обчислити площу поверхні, утворе- ної обертанням кривої x = 3cos3 t, y = 3sin3 t навколо осі Ox.
51
Варіант 25
1. Побудувати графіки функцій:
1) y = 21sin(2x − π4 ). 4) y = tg(13x − π6). 2) y = 2arcsin(x −2). 5) y = −3x+2.
3) y = 21arcctg(x + 21).6) y = −2lg(x + 3). 2. Знайти:
а) алгебричну форму zz1 + 2z3 +i7;
2
б) тригонометричну форму z3; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в), г) (z1z2)8 та ( |
z1 |
)10 ; |
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z |
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2 |
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||
д), е) всі значення 3 |
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та 4 |
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, якщо: |
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z |
1 |
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z |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||
z1 = −8 − 8i,z2 = |
|
|
−i,z3 = −5 + 6i. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Зобразити множину точок z : |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) 1 < |
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|
z −2 |
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< 3, |
π |
|
< argz < |
|
π. |
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|
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4 |
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|
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|
|
2 |
|
|
|
|
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|
||||||
2) |
|
z −2i |
|
< |
|
z +1 |
|
|
, |
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Rez |
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> 3. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) z3 − 4z2 + 4z − 3 = 0. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайти границі (4—7): |
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1 + 5 +...+(4n − 3) |
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4n +1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.1) lim |
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|
|
− |
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|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
− 3 n3 |
|
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|
|
+ 2 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2) lim |
|
|
|
|
|
|
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
− 5 n5 |
|
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|
+ 2 |
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||||||||||||||||||
n→∞ 7 |
n + 2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) lim n3(3 n2(n6 + 4) − 3 (n8 −1)). |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
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|||
5.1)lim |
3x2 −6x − 45 |
. 6.1)lim |
cos5x − cosx |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x2 − 3x − 35 |
|
|
|
|
|
4x2 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→5 |
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|
|
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|
x→0 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) lim |
|
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|
x2 − 4 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
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|
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2)lim |
e5x −1 |
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
tg2x |
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|||||||||||||||||||||||
x→−2 3x2 + x −10 |
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|
x |
|
→0 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) lim |
|
x −2x2 + 5x4 |
. |
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3)lim |
|
sin2 x − tg2 x |
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x4 |
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|||||||||||||||||||
x→∞ 2 + 3x2 + x4 |
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|
x |
|
→0 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) lim |
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3x4 + 2x2 − 8 |
. 4)lim |
|
1−2cosx |
. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
π − 3x |
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|||||||||||||||||||||||
x→−∞ 8x3 − 4x + 5 |
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|
x→ |
π |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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5) lim |
|
4x2 −10x + 7 |
. |
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|
5)lim |
|
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|
9x −23x |
|
|
|
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
2x3 − |
3x |
|
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7x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
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x |
→0 arctg2x − |
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6)lim |
|
x |
3 −27 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) lim |
|
|
|
|
|
|
lgx −1 |
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. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|||||||||||||||
x→3 |
|
|
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|
3x −x |
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|
|
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|
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x→10 |
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x − 9 − |
1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1−x |
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πx |
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2x −1 |
|
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|
7)lim(2 −x) |
sin 2 |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(2−x) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
2x + 4) |
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
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x→1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
8) lim |
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|
|
1−2x |
|
|
−2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
8)lim |
|
lncos2x |
. |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|||||||||||||||
( |
|
3 −x ) |
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x→∞ |
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|
x→π lncos4x |
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|
tgx −x |
|
|
|
2 |
|
|||
7.1)lim |
|
|
|
|
|
|
. 3) lim |
xne−x |
. |
|
|
− ln(1 |
+ x) |
||||||
x→0 arcsinx |
x→∞ |
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
4)limx2tgx. |
|
||
2)lim(ctg2x ) |
lnx |
. |
|
|
|
||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
8.Визначити порядок і головну частину розкладу α(x) відносно β(x) :
1)α(x) = ex3 − cos4x,β(x) = arcsinx,x → 0.
2)α(x) = 1 + xx+5 2x2 ,β(x) = sinx1,x → ∞.
3)α(x) = ln(1+ x sin5 x),β(x) = tgx;x → 0.
9.Дослідити функцію на неперервність:
x
|
|
|
|
|
|
|
1) f(x) = 41−x2. |
|
|||||
|
|
0, |
|
|
x ≤ −1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2) |
|
|
−1, |
−1 < x ≤ 2, |
||
f(x) = x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x, |
|
|
x ≥ 2. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x− 4
3)f(x) = x + 3 у точках x1 = −3,x2 = 2.
Знайти похідні функцій (10—13):
10.1) y = 5x2e−3xx +1 − x54 + 5x4.
|
|
|
cos2 x |
. |
|
2) y = 4x5 + sinln1 |
− |
||||
|
|||||
2 |
|
lg(x2 −2x +1) |
3) y = lg(x − 3)arcsin2 5x + |
|
arccos3x |
. |
|
|
||
|
|
sh2 2x |
4) y = tg3 x arcctg3x − 3log4(2x +2 9). (x −7)
5) y = cth4x5 arccos2x +(arccosx)cosx .
6) y = (ch3x)cos(x+4) − 3x − 3(x + 7)25 . (x +1)(x − 4)
11.1) siny = xy2 + 5. 2) y = 1+exy.
|
′ |
= ? |
|
x = e |
−3t |
, |
|
|
x = ch2 t, |
||||
|
yx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
′′ |
|
: 1) |
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
). |
|
|
3 |
2 |
t. |
||
|
yxx = ? |
|
y = ln(1+e |
y = |
|
sh |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.1) y = (x2 + 3x +1)e3x+2,y(5) |
= ? |
|
|
|
|
2) y = lg(2x + 7),y(n) = ?
14. Скласти рівняння дотичної та норма- лі до кривої в заданій точці:
1 + 3x2
1) y = 3 + x2 ,x0 = 1.
2) x = t3 +1,y = t2 +t +1,t0 = 1.
52
3) x = 3cost,y = 4sint,z = et,M0(3;0;1).
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = 16x3 − 36x2 + 24x −9.
|
1) y = 3x4 −16x3 + 2,[−3;1]. |
|||||
16.max |
f(x) = ? |
|
2 |
|
|
|
min |
2) y = 2x − |
2 |
+ x −2,[−2;1]. |
|||
[a,b] |
|
x |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
17. Дослідити функцію і побудувати її графік:
1) y = 93(x +1)2 −6x. 5) y = 3x(x − 3)2.
2) y = |
3x2 −10 |
. |
|
|
|
|
|
6) y = |
|
|
x3 |
. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
4x2 −1 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
x |
4 − |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3) y = (x −1)e4x+2. |
|
|
|
7) y = −( |
|
x |
)2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) y = −(2x + 3)e2(x+2). 8) y = ecosx−sinx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайти інтеграли (18—22): |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
18.1)∫ |
dx |
. |
|
|
|
|
7)∫ cos(3x − 7)dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 − 3x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
3xdx |
|
|
|
|
|
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|
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|||||
2)∫ 4 2 −5xdx. |
|
8)∫ |
|
|
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|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
9x2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
dx |
|
9)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 3)ln4(x + 3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
9 − 8x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
earctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4)∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
10)∫ |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3x2 + 4 |
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
5)∫e4−5xdx. |
11)∫ |
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos3 2x sin2xdx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
arcsin2 5x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
6)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. 12)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||
sin2 x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ctg4 x |
|
|
|
|
|
1−25x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19.1)∫ |
5x + 2 |
|
5)∫ |
|
|
|
|
(x3 −12x +13)dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + 9 |
|
(x2 − 5x + 6)(x +1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
x2 + x |
|
6)∫ |
|
|
|
(x + 5)dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 −x |
x3 −x2 −x +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
dx |
|
.7)∫ |
|
|
|
4x2 + x +10 |
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
5x2 −10x + 25 |
|
|
|
|
|
|
x3 + 8 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x − 3)dx |
|
|
|
|
|
x3 −x2 + 4x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4)∫ |
|
|
|
|
. 8)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
4x2 + 2x − 6 |
|
|
|
|
|
|
x4 −1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
20.1)∫ tg4 |
x |
dx. |
|
4)∫ sin3 x cos8 xdx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ cos4 xdx. |
|
5)∫ |
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 + 3sin |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
dx
3)∫ sin2x cos3xdx. 6)∫ 4sinx −6cosx.
21.1)∫ |
1+ 3x |
5)∫ |
|
|
|
|
2x + 7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x2 +1 |
|
x2 + 5x − 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
6)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1−x −x2 |
1−x −x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
7)∫ |
|
|
xdx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− 3 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||
(4 + x2)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4)∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8)∫ |
|
4 |
(1+ 5 x |
4)3 |
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
x −2 |
|
|
|
x2 5 x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22.1)∫ x2 lnxdx. |
4)∫ x2 arctgxdx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫(x2 + x)cosxdx. |
5)∫ x sin |
x |
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫(x2 − 3)exdx. |
6)∫ ln(2x + 3)dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23. Обчислити інтеграли: |
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||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
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|
|
|
x |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||
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||||||||||||
1)∫ arcsin |
|
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. |
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4)∫π |
28 cos8 xdx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 −x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
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|
2 |
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||||
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6 |
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7 |
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xdx |
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3 |
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||||||||||||||||||
2)∫ |
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. 5)∫ x3 7 + x2dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 |
−6x2 +16x −16 |
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4 |
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0 |
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1 |
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dx |
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e3 |
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lnxdx |
||||||||||||||||||
3)∫ |
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6)∫ |
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. |
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|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
+ 4x + 5 |
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x(1− ln2 x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
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e2 |
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24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:
∞ |
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dx |
1 |
|
dx |
|||
1)∫ |
|
2)∫ |
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|||||
|
|
. |
|
|
|
. |
||
2x2 |
−2x +1 |
9 |
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||||
1−2x |
||||||||
0 |
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1 |
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2 |
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25. Обчислити площі фігур, які обмежені кривими:
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1 |
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||
1) x = |
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,x = 0,y = 1. |
|||||||
y |
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|||||||
1+ lny |
|||||||||||
|
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|
3 |
t, |
|
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x = 24cos |
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||||
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x = 9 3 (x ≥ 9 3). |
|||||
2) |
= 2sin3 t, |
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|||||||||
y |
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|||||
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3) ρ = cosϕ + sinϕ.
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривими y2 = (x + 4)3,x = 0, навколо осі Ox.
27. Обчислити площу поверхні, утворе- ної обертанням кривої x = 2cost, y = 3 + 2sint навколо осі Ox.
53
Варіант 26
1.Побудувати графіки функцій:
1)y = 3cos(3x + 4π3 ). 4) y = ctg(14x + π4 ).
2)y = 3arccos(x − 3). 5) y = 4x−1.
3)y = −2arctg(x + 3). 6) y = −lg(6 −2x).
2.Знайти:
а) алгебричну форму |
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z1 |
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+ 2z |
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−i5; |
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3 |
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z |
2 |
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б) тригонометричну форму z3; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в), г) (z1z2)8 та ( |
z1 |
)10 ; |
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z |
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2 |
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||
д), е) всі значення |
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3 |
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та 4 |
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|
, якщо: |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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z |
1 |
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z |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||
z1 = 2 −2i,z2 = 2 + 2 |
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i,z3 = −6 −7i. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Зобразити множину точок z : |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) 2 < |
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z + 2 |
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< 4, |
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π < argz < π. |
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3 |
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||||
2) |
|
z + 2i |
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> |
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z −1 |
|
, |
|
Imz |
|
> 1. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) z3 + 6z2 +18z + 27 = 0. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайти границі (4—7): |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.1) lim |
1+ |
2 + 3 +... + |
n |
. |
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||
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|
n→∞ 3 n6 + 2n4 + 2 |
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|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
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|
− 3 64n6 + 9 |
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) lim |
71n |
. |
|
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|
||||||
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|
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|
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|
− 3 |
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|
+ n2 |
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|
|
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||||||||||||||||||||||||
n→∞ (n |
|
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|
) 11 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
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|
|
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|
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|
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|
− |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) lim(n |
|
|
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|
n(n +1)(n + 2)). |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
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|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.1)lim |
|
|
|
|
|
|
3x2 + x |
|
|
|
|
|
|
|
. 6.1)lim |
sin5x + sinx |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4x |
2 − 5x +1 |
|
|
|
|
|
arcsinx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) lim |
|
|
4x2 + 7x −15 |
.2)lim |
|
ln(1 + 4x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
−6x −27 |
|
|
|
|
|
|
sin2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
→−3 |
|
|
|
|
|
|
x |
→0 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) lim |
|
3x4 |
|
−2x2 − 7 |
. 3)lim |
|
|
|
|
|
arcsin2x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||
x |
→∞ 3x4 + 3x + 5 |
|
|
|
|
|
x |
→0 ln(e −x)− |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) lim |
|
3x4 |
|
+ 2x − 4 |
. |
|
|
|
4)lim |
arctg(x2 −2x) |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3πx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
→∞ 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
2x3 − 3x +1 |
. 5)lim |
|
ex −e−2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 + 4x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ sinx2 |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
3x+1 − 3 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
6)lim |
|
|
|
|
|
1+ 3x2 −1 |
. |
|
|
|
|
|
6)lim |
|
|
|
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. |
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x3 + x2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
→0 |
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x→0 ln(1 + x 1 + xex ) |
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x+1 |
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1 |
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||||||
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3x + 4 |
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1+ tgx cos2x |
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x3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) lim |
( |
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|
) |
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. |
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7)lim |
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. |
|||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
→∞ |
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3x |
+ 5 |
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x |
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→0 1 + tgx cos5x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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||
8)x→−∞lim ( |
4 + 3x |
)7x . |
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|
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|
8)limx→3( |
sinx |
) |
|
. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x−3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 + x |
|
|
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|
|
|
sin3 |
|
|
|
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|
|
7.1)lim |
ln2x |
. |
3) lim ex2x−5. |
||
|
|||||
x→0 lntgx |
x→∞ |
||||
|
|
|
1 |
|
|
2)lim ln2x ln(2x −1). 4) lim x |
x+1 |
. |
|||
1 |
|
|
x→∞ |
||
x→2 |
|
|
|
8. Визначити порядок і головну частину розкладу α(x) відносно β(x) :
1) α(x) = 31+ x2 −1,β(x) = sinx,x → 0.
2)α(x) = x4 +1x +1,β(x) = tgx1,x → ∞.
3)α(x) = lncos2x,β(x) = tg2 x,x → 0.
9.Дослідити функцію на неперервність:
1)f(x) = 2−x3+x1.
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x ≤ −2, |
|
x, |
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||
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2) |
|
−x, |
−2 < x ≤ 1, |
|
f(x) = 1 |
||||
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|
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|
2 |
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|
−1, |
x ≥ 1. |
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|
x |
|
||
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|
x+ 5
3)f(x) = x − 3 у точках x1 = 3,x2 = 4.
Знайти похідні функцій (10—13):
10.1) y = 4 |
|
|
− |
4 |
|
+ |
|
|
e−x2 |
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||||||||||||
x3 |
|
|
. |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
|
(2x −5)7 |
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||||||||||||||||||||
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x5 |
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|||||||||||
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|
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|
|
|
log2(3x + 7) |
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|||||||
|
6 |
|
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|
2 |
5 |
|
|
3 |
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|
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|
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|||||||||
|
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|
|
|
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|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||
2) y = |
|
(2x |
|
|
−1) |
− |
|
cos 2 − |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
tg3x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|||
3) y = tg |
|
arcctg3x5 + arcsin2 3x . |
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|
|
|||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
thx |
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|
||
4) y = log |
(x + 3) arccos2 x − |
lg(x2 + 2x) |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
(x |
+ 8)4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
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|
|
|
|
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|||
5) y = cth3x arcsin4 2x +(ctg7x)sh(2x+3). |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6) y = (ch2x)tg(x+5) − |
|
|
x +10(x − 8)3 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)2(x −1)5 |
|
|
|
||||||||||||||
11.1) x3 + y3 |
|
= 5xy. 2) y = cos(x +y). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
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|
|
|
|
|
x = arctgt, |
|
||||||||||
yx = ? |
|
|
|
|
|
x = |
t −1, |
|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
12. |
|
|
|
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|
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|
|
||||
|
|
|
: 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
= 1t2. |
|
|
|
|||||||||||||
yxx′′ = ? |
|
|
|
|
|
y = 3 |
t −1. |
|
|
|
y |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
2 |
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|||||
13.1) y = (5x − 8) 2−x,y(5) |
= ? |
|
|
|
|
|
|
2) y = ln(5 + 2x),y(n) = ?
14. Скласти рівняння дотичної та норма- лі до кривої в заданій точці:
1) y = 14 |
|
−153 |
|
+ 2,x |
|
= 1. |
||
x |
x |
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) x = 2cost,y = sint,t |
0 |
= −π. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54
3) x = e−t cost,y = e−t sint,z = e−t,M0(1;0;1).
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = 1 |
(6x2 |
−x3 −16). |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) y = x5 − 5x4 + 5x3,[−1;2]. |
|||||
16.max f(x) = ? |
|
4 |
, |
1;2 |
. |
||
min |
|
2) y = 8x + |
|||||
[a,b] |
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
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|
17. Дослідити функцію і побудувати її графік:
|
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1) y = |
|
63 6(x + 3)2 |
|
|
. 5) y = x2 −2x + 2. |
|||||||||||||
x2 +10x + 33 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x + 3 |
||||||||||||||
2) y = |
2x2 + 4x + 2 |
. 6) y = x lnx. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 −x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) y = |
x3 − 32 |
. |
|
|||||
3) y = 3 x(x + 3)2. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||
|
|
|
|
|
|
e2(x−1) |
. |
|||||||||||
4) y = 3 |
sinx + |
cosx |
|
. 8) y = − |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2(x −1) |
Знайти інтеграли (18—22):
18. 1)∫ |
dx |
. |
|
|
7)∫ sin(8x − 5)dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
5 −2x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5xdx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) |
4 −2xdx. |
8) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
7x2 − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3)∫ |
|
|
dx |
9)∫ |
|
|
ln5(x − 8) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|||||||||||||
|
4x2 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
x − 8 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4)∫ |
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
10)∫ sin4 8x cos8xdx. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
8x2 − 9 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5)∫e5−2xdx. |
11)∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
cos2 x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
tg2 x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||
6)∫e3x x2dx. |
12)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin5x |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1−25x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
19.1)∫ |
|
x − 5 |
5)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
(9x2 + 3x)dx |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x2 + 7 |
(x2 + x −2)(x +1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
2x2 + 5 |
6)∫ |
|
|
|
|
|
3x2 − 7x + 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x − 7 |
|
(x2 −x)(x −1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
dx |
7)∫ |
|
|
|
|
|
(4x2 + 7x + 5)dx |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2x2 + 6x + 7 |
(x −1)(x2 + 2x + 5) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4)∫ |
|
(x + 2)dx |
8)∫ |
|
|
|
2x3 + 8x − 3x2 −27 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||
|
3x2 −x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
x4 +13x2 + 36 |
||||||||||||||||||||||||||||
20.1)∫ tg4(x + 5)dx.4)∫ |
|
|
|
|
3cos2 x |
dx. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin4 x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ cos3 4xdx. |
5)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
dx. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+ sin2 x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ sin5x cosxdx. |
6)∫ |
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 + 5sinx + 3cosx |
|
21.1)∫ |
3 −2x |
|
|
5)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x − 4 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x2 − 8 |
2x2 −6x +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. 6)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1−2x −x2 |
x2 + x − 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
|
|
7)∫ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||
|
|
x4 |
|
|
|
3 |
|
|
− |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
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|
|
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||||||||||||||
|
|
|
|
|
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1 + 4 |
|
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|
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|
|
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||||||||||||||||||
4)∫ |
|
|
|
|
|
8)∫ |
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x |
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
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dx. |
|||||||||||||||
|
|
|
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x3 |
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||||||||||||||||
|
x −2 |
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
x |
|
|||||||||||||||||||||||
22.1)∫ x ln(x +1)dx. 4)∫ x arctg2 xdx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫(x2 +1)exdx. |
|
|
5)∫ |
|
|
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x |
||||||||||||||||
|
|
(x + 4)cos |
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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|
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|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3)∫ xe−4xdx. |
|
|
|
|
|
6)∫ arccos |
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
23. Обчислити інтеграли:
2π
1)∫ ln(3x + 2)dx. 4)∫ 24 sin8 xdx.
10
2 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
||
dx |
|
|
x2 − 8 |
|
|||||||
2)∫ |
. |
5) ∫ |
|
|
|
. |
|||||
x3 +1 |
x4 |
||||||||||
1 |
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
09
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)∫ |
|
|
|
. 6)∫ |
|
|
xdx |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
||||||||||
1 |
|
2 − 6x − 9x |
4 |
|
x |
−1 |
|||||
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:
∞ |
dx |
|
5 |
|
x2dx |
|
|
1) |
. |
2) |
|
|
. |
||
|
|
|
|
||||
∫1 |
x2(x +1) |
∫1 |
31(x3 −1) |
25. Обчислити площі фігур, обмежених кривими:
1) y = x−2ex1,y = 0,x = 2,x = 1.
x = 3cost, |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
y = 4 3 (y ≥ 4 3). |
||||
2) |
|||||
y = 8sint, |
|
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3) ρ = 2sin4ϕ. |
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26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривими y = x3,x = 0,y = 8, навколо осі Oy.
27. Обчислити площу поверхні, утворе- ної обертанням кривої ρ2 = 9cos2ϕ на- вколо полярної осі.
55
Варіант 27
1.Побудувати графіки функцій:
1)y = −2sin(21x − π8). 4) y = tg(2x − π4).
2)y = 3arcsin(x + 12). 5) y = 5x−2.
3)y = 21arcctg(x −1). 6) y = 2ln(2x − 5).
2. Знайти:
а) алгебричну форму |
|
z1 |
+ 2z |
|
|
−i3; |
|||||||
|
|
|
3 |
||||||||||
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) тригонометричну форму z3; |
|||||||||||||
в), г) (z1z2)8 та ( |
z1 |
)10 ; |
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|
|
|
|
|
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|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||
2 |
|
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|
д), е) всі значення 3 |
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та 4 |
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, якщо: |
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z |
1 |
|
z |
2 |
|
||||||||
|
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|
z1 = −4 + 4i,z2 = −1− 3i,z3 = 7 − 8i. |
|
3. Зобразити множину точок z : |
|
1) 2 < z −2i < 3,π < argz < 2π. |
|
2 |
3 |
2) z −2 < z −i , Rez < 2. c)z3 −z2 − 4z − 6 = 0.
Знайти границі (4—7):
4.1) lim n(2n)!−(2n +1)!. n→∞ n(2n −1)!+(2n)!
2) lim |
|
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|
n + 6 |
|
|
− |
|
n2 −5 |
|
. |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n→∞ |
|
3 n3 + 3 + 4 n3 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3) lim |
3 |
|
|
|
|
n(n −1)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.1) lim |
|
|
x2 |
|
−2x − 35 |
. 6.1)lim |
|
1− sinx |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 −x)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
x→−5 2x2 +11x + 5 |
|
|
|
x |
→π2 |
( |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)lim |
|
2x2 −11x − 6 |
. |
2)lim |
|
sin(x − 3) |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
20x + |
12 |
|
|
|
|
|
|
−27 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x→6 3x2 − |
|
|
x→3 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) lim |
|
4 −5x2 − 3x |
5 |
. |
3)lim |
|
tgx − sinx |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→∞ x5 + 6x + |
8 |
|
|
|
|
|
x→0 x(1− cos2x) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) lim |
|
|
|
7x3 |
−2x + 4 |
. |
4)lim |
1−x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x −5 |
|
|
|
|
|
|
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→−∞ 2x2 |
|
|
|
|
x→1 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
5) lim |
|
|
|
|
|
|
2x −13 |
|
|
|
|
|
. |
5)lim |
ax2−a2 −1 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7 − |
3x5 − |
4x |
|
|
|
tglnx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ x |
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
35x |
−2−7x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6) lim |
|
|
|
|
x + 20 |
. |
|
|
6)lim |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x3 |
+ 64 |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
− tgx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x→−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1+ 2x 1−2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
7) lim |
|
|
|
. |
|
|
7)lim |
|
|
|
cosx |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(3 + |
2x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 2x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x −1 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x3x ctg2 x |
|||||||||||||||||||||||||
8) lim |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
. |
|
|
|
8)lim |
|
|
|
|
|
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|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||
x→−∞ |
|
2x |
+ 5 |
|
|
|
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|
x→0 |
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x |
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||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
|
1+ x7 |
|
|
|
|
|
|
|
7.1)lim |
|
x2x |
−1 |
|
. |
|
3) lim |
ln(x + 7) |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→1 lnx +1−x |
x→+∞ |
7 x − 3 |
|
||||||||||||
|
3 |
− |
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||
2)lim |
|
|
. 4)limx |
5+2lnx |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→1( |
3x −1 ln3x ) |
x→0 |
|
|
|
|
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|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
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8.Визначити порядок і головну частину розкладу α(x) відносно β(x) :
1)α(x) = ex5 − cosx3,β(x) = sinx,x → 0.
2)α(x) = ln(2x2 −2x − 3),β(x) = x −2, x → 2.
3)α(x) = ln(x8 +1),β(x) = sinx,x → 0.
9.Дослідити функцію на неперервність:
1)f(x) = sin2x x .
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||||
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x |
< 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
sinx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) f(x) = |
|
0 |
≤ x ≤ 2, |
|
|
|
|
|||||||||||||
x, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
> 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) f(x) = 3 |
1−x |
у точках x |
1 |
= 1,x |
2 |
= 2. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Знайти похідні функцій (10—13): |
|
|||||||||||||||||||
10.1) y = |
|
|
ecos3x |
|
|
− 3 |
|
|
|
− |
2 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
||||||||||||
(2x + 4)5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ln3 x |
|
|
|
|||||||||||
2) y = 3 4x5 + 7 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||||||||
tgcos2 |
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
ctg(x − 3) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) y = tg3 2x arccos2x3 + arctg2 5x .
4) y = 2−x arctg3 4x − 3ln(x2 +25). (x −7)
5) y = th5 3x arcctgx +(sh5x)arctg(x+2).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) y = |
(th7x)sin(3x+2) − |
5 (x −2)3(x −1)3 |
. |
|||||||||
(x + |
1)2(x + 3)4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11.1) 3 |
|
|
= exy. 2) x3 +y3 |
= arcsinxy. |
|
|||||||
y |
|
|||||||||||
y′ = ? |
x = 2(t − sint), |
|
2 |
t, |
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
x = ln |
||||
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
: 1) |
|
2) |
|
|
||||||
y′′ |
|
|
|
|
y = 4(2 + cost). |
y = t + lnt. |
||||||
xx = ? |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13.1) y = x2 ln(x −1),y(5) |
= ? |
|
|
|||||||||
2) y = |
|
|
x |
|
,y(n) = ? |
|
|
|
|
|||
x +1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Скласти рівняння дотичної та норма- лі до кривої у заданій точці:
1) y = 34x − x,x0 = 1.
56
2) x = 2tgt,y = 2sin2 t + sin2t,t0 = π4.
3) x = 3cost,y = 3sint,z = 5t,M0(−3;0;5π).
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = − |
1 |
(x −2)2(x −6)2. |
||
|
||||
16 |
1) y = (3 −x)e−x,[0;5]. |
|||
|
|
|||
16.max f(x) = ? |
|
|
||
min |
2) y = 3 (x + 2)2(x − 4),[−4;2]. |
|||
[a,b] |
17. Дослідити функцію і побудувати її |
||||||
графік: |
|
|
|
|
||
1) y = 8x − 6 −123 |
|
. 5) y = x2 + |
1 |
. |
||
(x −2)2 |
||||||
|
||||||
|
|
|
x2 |
|||
2) y = 2x3 + 2x2 − 9x − 3 |
. 6) y = −x ln2 x. |
|||||
2x2 − 3 |
|
|
|
|
3) y = 3 |
|
− 3 |
|
.7) y = |
4(x +1)2 |
. |
|
(x + 2)2 |
(x + 3)2 |
||||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
x2 + 2x + 4 |
||
4) y = ln(cosx − sinx). |
8) y = lnx −5 + 2. |
||||||
|
|
|
|
|
x |
Знайти інтеграли (18—22):
18.1)∫ |
|
dx |
. |
|
7)∫ cos(8x − 4)dx. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2x + 7 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
8)∫ |
|
|
|
|
|
|
3xdx |
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|
|
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|
||||||
|
|
|
3 − 4xdx. |
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|
|
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|
|
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|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x2 + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
9)∫ |
|
|
|
|
|
ln3(x + 6) |
dx. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
8x2 − 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x + 6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4)∫e7+3xdx. |
|
10)∫ |
|
tg6 2x |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
cos2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5)∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
11)∫ sin5 4x cos4xdx. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 − 4x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg8 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6)∫ x4e−x |
−1dx. |
|
12)∫ |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1+ 9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 −7x |
|
|
|
|
|
|
(3x2 −13x − 38)dx |
|||||||||||||||||||||||||
19.1)∫ |
|
dx. 5)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
1+ x2 |
|
|
(x2 −5x + 4)(x + 3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
2x2 + 3 |
dx. |
|
6)∫ |
|
|
|
2x3 + 3x2 + x + 2 |
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + x2 |
|||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. 7)∫ |
|
|
3x2 + 2x +1 |
dx. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x2 −6x + 8 |
|
|
|
|
|
|
x3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4)∫ |
(3x −2)dx |
|
. 8)∫ |
|
|
|
5x3 −x2 + 21x −9 |
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + 5x + 7 |
|
|
|
|
|
|
x4 +10x2 + 9 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
20.1)∫ tg3 3xdx. |
|
4)∫ sin5 x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
cos3 xdx. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ cos2 7xdx. |
|
5)∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin2 x − sin2x +1 |
|
|
3)∫ sinx cos4xdx. 6)∫ dx . cosx − 3sinx
21.1)∫ |
|
x −5 |
|
dx. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
8 − 4x2 |
||||||||||||||
2)∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 − 3x −x2 |
|||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(9 + x2)3 |
|
|
|
|
|||||||||||
4)∫ |
|
x −1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x −2 |
|
|
|
|
22.1)∫ sin(lnx)dx.
2)∫(x2 −1)e−xdx.
3)∫ (x +1)e2xdx.
5)∫ |
|
|
|
|
2x + 5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3x2 + 9x − 4 |
|||||||||||
6)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
(x +1) |
|
|
|
|
|||||||||
x2 + x −2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7)∫ |
|
|
|
xdx |
|||||||||
|
|
|
. |
||||||||||
|
1+ 4 |
|
|
||||||||||
x |
8)∫ 3(1 + 4x)2 dx.
x12x5
4)∫ x2 cosx3dx. 5)∫ (x +1)sinx3dx. 6)∫ arctgx4dx.
23. Обчислити інтеграли:
42π
1)∫ x3x2 + 9dx. 4)∫ sin6 x cos2 xdx.
0
3 x5 +1
2)∫1 x6 + x4 dx
π
2
3)∫ cos5 xdx.
0
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
|
x5 |
x2 −1 |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
26 |
|
x3 |
||||||||
|
∫ |
|
|
|
|||||||
6) |
|
|
|
|
dx. |
||||||
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
(x2 |
+1)3 |
|
|
|
|||||
|
|
7 |
|
|
|
24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:
∞ |
3 |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|||
|
dx |
|
dx |
||||
1)∫2 |
2)∫1 |
|
|||||
|
. |
|
|
|
. |
||
x(lnx −1)2 |
|
|
|
||||
3x −x2 −2 |
|||||||
e |
|
|
|
|
|
25. Обчислити площі фігур, обмежених кривими:
1) y = x216 −x2,y = 0 (0 ≤ x ≤ 4).
x = 2(t − sint),
2)
y = 2(1− cost),
y= 2 (0 < x < 4π,y ≥ 2).
3)ρ = 2cos6ϕ.
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривою x = cos3 t,y = sin3 t, навколо осі Ox.
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої y = x3,x = ± |
2 |
|
3 |
||
|
навколо осі Ox.
57