Rozrakhunkovi_roboti_VM1
.pdfВаріант 8
1. Побудувати графіки функцій:
1) y = 2cos(2x + π). |
4) y = ctg(3x − 4π). |
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3 |
3 |
2) y = |
1 |
x−1 |
2arccos(x + 2).5) y = 2 2. |
||
3) y = 1arctg(x + 2). |
6) y = −ln(2x − 3). |
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3 |
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2. Знайти: |
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а) алгебричну форму zz1 + 2z3 −i3; |
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б) тригонометричну форму z3; |
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в), г) (z1z2)8 та (zz1 )10 ; |
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д), е) всі значення 3 |
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та 4 |
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, якщо: |
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z |
1 |
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z |
2 |
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||
z1 = −4 − 4i,z2 = 1− |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3i,z3 = 4 + 5i. |
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3. Зобразити множину точок z : |
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1) 2 < |
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z + 2i |
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≤ 3, |
π |
< argz |
≤ 4π. |
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z + 2 |
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< |
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z −i |
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3 |
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< 2 |
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3 |
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||||||||||||||||||||||||||
2) |
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, |
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Rez |
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3) z3 − 3z2 + 3z −2 = 0. |
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Знайти границі: |
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4.1) lim |
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1 + 4 |
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+... +(3n −2) |
. |
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n→∞ |
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5n4 +n +1 |
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n4 |
+ 2 + |
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||||||||||||||||||
2) lim |
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n −2 |
. |
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+ 2 + |
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|||||||||
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4 n |
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n→∞ |
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4 |
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n − |
2 |
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− |
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n2 −2n + 3). |
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3) lim( |
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n(n + 2) |
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n→∞ |
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5.1) lim |
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x2 |
− 4x − 5 |
. 6.1)lim |
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1− sinx |
. |
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−2x − |
3 |
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π −2x |
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x→−1 x |
2 |
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x→ |
π |
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2 |
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2) lim |
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x2 |
+ 2x |
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2)lim |
ln(1+ 3x) |
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+ 4x + 4 |
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sin2x |
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x |
→−2 x2 |
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x→0 |
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3) lim |
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2x2 |
+ 7x + 3 |
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3)lim |
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arcsin3x |
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x |
→∞ 5x2 − 3x + 4 |
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x→0 |
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2 + x − |
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2 |
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4) lim |
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x7 |
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+ 5x2 |
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.4)lim |
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x2 −x +1 −1 |
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tgπx |
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x |
→∞ 3x2 +11x − 7 |
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x→1 |
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5) |
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lim |
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5x2 |
− 4x + 2 |
. 5)lim |
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e |
4x −e−2x |
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+ 2x −5 |
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x |
→−∞ 4x3 |
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x→0 2arctgx − sinx |
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6)lim |
2x2 |
−9x + 4 |
. |
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6)lim |
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x2(ex −e−x ) |
. |
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|||||||||||||||||||
x |
→4 |
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5 |
−x −1 |
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x→0 ex3 |
+1 −e |
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x + 3 x−4 . |
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7)lim(2 −earcsin2 |
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)x3. |
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7) lim |
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x |
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x |
→∞ |
(x −1) |
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x |
→0 |
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8)xlim→∞( |
x +1 |
)5x . |
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8)limx→a(2 − ax )tgπ2ax . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x −1 |
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7.1)limxx −1. |
3)lim(π −x)tgx . |
||
x→1 lnx |
x→π |
2 |
|
2) lim (arctgx)tgx. |
4) lim (ctgx) |
2 |
. |
lnx |
|||
x→+0 |
x→+0 |
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8. Визначити порядок і головну частину розкладу α(x) відносно β(x) :
1) α(x) = sinx + sin5x,β(x) = 2x,x → 0.
2) α(x) = |
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1 |
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,β(x) = |
1 |
,x → ∞. |
|||
x3 |
+ 2 |
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||||||
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3 x10 + x |
|||||
3) α(x) = ln(1+ |
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||||||
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x +1),β(x) = x +1, |
||||||||
x → −1. |
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9. Дослідити функцію на неперервність:
1)f(x) = tg2x − sin2x . x3
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−x, |
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x |
< 0, |
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||||||||||||
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1 |
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||||||||||||||||||
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+1, 0 |
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≤ x ≤ 4, |
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2) f(x) = x |
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|||||||||||||||||||||||||
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+ 3, |
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x |
> 4. |
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|||||||||||||
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|
x |
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|
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|||||||||||||||||||
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1 |
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3) f(x) = 5 |
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−2 у точках x |
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= 3,x |
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= 4. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x−4 |
1 |
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2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||
Знайти похідні функцій (10—13): |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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4 |
|
+ |
ln(7x − 3) |
. |
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||||||||||||||||||||
10.1) y = 3 x7 |
+ |
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
|
x5 |
|
|
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|
3tg2 4x |
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|
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|
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||||||||||
|
|
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|
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|
arcsin3 |
4x |
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2) y = 5 x6 + ctg 3 5 − |
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. |
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sh(3x + |
1) |
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3) y = 3sinx arctg3 4x + |
arcsin(3x + 8) |
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(x − 7)3 |
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4) y = log |
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x arccos3x − |
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e2x |
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. |
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3 |
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3 2x2 − 3x |
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5) y = sh3 x arcctg5x2 |
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+(lnx)sin |
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x |
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(x − 7)10 |
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arcctg(x+1) |
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3x −1 |
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6) y = (sin7x) |
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− |
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(x + |
1)2(x + |
3)5 |
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y |
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11.1) ln(x2 + y) = arctgx |
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; 2) 3x + siny = 5y. |
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1 |
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yx′ = ? |
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x |
= |
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, |
x = sint, |
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t |
2 |
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−1 |
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12. |
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: 1) |
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t + |
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2) |
|
= sect. |
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|
y′′ |
= ? |
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1 |
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y |
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xx |
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y |
= |
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t |
2 |
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−1 |
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13.1)y = (x −1)2 ln(x −2),y(5) |
= ? |
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2)y = |
4x + 7 |
,y(n) = ? |
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2x + 3 |
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14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:
1)y = x + 4,x0 = −3.
2)x = 2t −t2,y = 3t −t3,t0 = 1.
18
3) x = t3 −t2 − 5,y = 3t2 +1,z = 2t3 −16,
M0(−1;13;0).
15. Знайти проміжки монотонності фун- кції y = 3x2 −x3 −2.
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1) y = |
4x −x3,[−2;2]. |
||||
16.minmax f(x) = ? |
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10x |
,[0;3]. |
||
[a,b] |
2) y = x2 +1 |
|||||
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17. Дослідити функцію і побудувати її графік:
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x + 2 |
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|||||||||||
1) y = 1− 3 x2 + 4x + 3. 5) y = |
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. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x +1)2 |
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||||||||||
2) y = |
2x3 + 2x2 |
− 3x −1 |
.6) y = x + |
lnx |
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. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 − 4x2 |
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|
x |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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3) y = |
|
x2 − 4x +1 |
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7) y = |
|
e2x−2 |
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. |
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. |
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||||||||||||||
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|
x − 4 |
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2x − |
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2 |
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||||||||||||||||||
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|
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|
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1 |
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||||
4) y = |
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. |
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8) y = 3 x2(x + 2)2. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
sinx − cosx |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайти інтеграли (18—22): |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
18.1)∫ |
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|
dx |
. |
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|
7)∫ cos(7x + 3)dx. |
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|||||||||||||||||||||||||||||
2x + 3 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ (1+ 4x)5dx. |
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|
8)∫ |
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|
dx |
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. |
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|
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|||||||||||||||||||||||
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|
5x2 + 3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
xdx |
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|
dx |
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||||||||
3)∫ |
|
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|
3 |
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|
9)∫ |
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||||||||||
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. |
|
|
|
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|
. |
|
|
|
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|||||||||||||
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|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
3x2 −2 |
|
|
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|
9 −2x2 |
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||||
4)∫e7−2xdx. |
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10)∫ |
|
3 arctg2 x |
dx. |
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
1+ x2 |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||
5)∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
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|
|
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|
11)∫ |
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cosxdx |
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|
|
|
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|||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
sin2 x ctg3 x |
|
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|
3 − sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6)∫e3−x |
xdx. |
12)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
3sin2 x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19.1)∫ |
|
|
2x − 5 |
|
|
5)∫ |
|
|
|
(x2 + 22x + 45)dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7x2 + 3 |
|
(x2 + 4x + 3)(x + 5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
|
|
|
x5 |
|
dx. |
|
|
6)∫ |
x3 + x2 −2x −1 |
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1−x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −x3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
7)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
(9x − 9)dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x2 + x + 2 |
|
|
(x +1)(x2 − 4x +13) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4)∫ |
|
|
|
(x + 4)dx |
. 8)∫ |
|
|
x3 −x − 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x2 −7x + 3 |
x4 + 3x2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20.1)∫ tg2 x2dx. |
|
|
4)∫ |
|
|
|
|
|
sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ (cosx + 3)2dx. |
|
5)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7cos2 x + 2sin2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ sin |
|
x |
|
|
|
3x |
|
|
6)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 cos |
|
2 dx. |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 − 4sinx + 7cosx |
21.1)∫ |
1+ x |
|
dx. |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
2 −x2 |
||||||||||
2)∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1+ x −x2 |
|||||||||
3)∫ |
|
4 −x |
2 |
dx. |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
x4 |
|
|||||||
4)∫ |
|
x + 2 |
dx. |
|
|
|
|
|||
x − 3 |
|
|
|
|
22.1)∫ lnxx dx.
2)∫ arctg4xdx.
3)∫ (x − 3)cosxdx.
5) |
|
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ x x2 −x +1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
6 |
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|||
6)∫ |
x −1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||
6 |
|
|
|
|
+ 2 |
||||||||
|
x −1 |
||||||||||||
7)∫ |
|
|
|
|
(3x + 4)dx |
|
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. |
||||
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||||||||
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||
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x2 + 6x +13 |
8)∫ 3(1x+6x5x)2 dx.
4)∫ x arcsinx dx.
1−x2
5)∫ (x2 −x +1)e−xdx. 6)∫ x sin(x + 3)dx.
23. Обчислити інтеграли:
ππ
1)∫ x sinx cosxdx.
−π
5 |
dx |
||
2)∫ |
|||
|
. |
||
(x −1)(x + 2) |
|||
4 |
|
|
2
dx
3)∫1 x2 + 5x + 4.
4)∫ 24 sin4 x cos4 xdx.
0
5)∫1 1x−6 x2 dx.
1
2 ln2
6)∫ ex −1dx.
0
24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:
∞ |
xdx |
1 |
|
2xdx |
|||||
1)∫ |
|
|
|
. |
2)∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
x2 − 4x +1 |
1−x4 |
||||||||
4 |
|
|
|
|
0 |
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25. Обчислити площу фігури, обмеженої кривими:
1) y = |
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ex −1,y = 0,x = ln2. |
||||||
x = 6cost, |
||||||
|
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y = 3(y ≥ 3). |
||||
2) |
|
|||||
y = 2sint, |
3) ρ = cos3ϕ.
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривими x = 2,y2 = (x −1)3, навколо осі Ox.
27. Обчислити площу поверхні, утворену обертанням кривої x = cost,y = 3 + sint навколо осі Ox.
19
Варіант 9
1. Побудувати графіки функцій:
1) y = −3sin(2x − π4). 4) y = tg(21x + π8).
2)y = 2arcsin(x − 3). 5) y = 3x−3;
3)y = 2arcctg(x −2). 6) y = ln(5 −x).
2. Знайти:
а) алгебричну формуzz1 + 2z3 −i3;
2
б) тригонометричну форму z3;
в), г) (z1z2)8 та (zz21 )10 ;
д), е) всі значення 3z1 та 4z2 , якщо: z1 = 5 − 5i,z2 = 3 + i,z3 = −5 + 6i.
3. Зобразити множину точок z :
1) 1 < z −1+i ≤ 2,0 < argz ≤ π2. 2) z − 3i > z + 2 , Rez > 3.
3) z3 + 4z2 +12z + 9 = 0.
Знайти границі (4—7):
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(n + 4)!−(n + 2)! |
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||||||||||||||||||
4.1) lim |
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. |
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(n + 3)! |
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||||||||||||||||||
n→∞ |
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|||
2) lim |
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6n3 − |
|
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|
n5 +1 |
. |
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|||||||||||
|
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|
|
|
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|||
n→∞ |
|
4n6 + 3 −n |
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|||||||||||||
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( |
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|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
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|||||||||||
3) lim |
(n + 2)(n +1) |
(n −1)(n + 3) |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
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||||
5.1) lim |
3x2 |
+ 2x −1 |
.6.1)lim |
tg2x − sin2x |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
−x2 |
+ x + 2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x→−1 |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2) lim |
|
x2 −1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
2)lim |
e3x −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
tg3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→−1x2 + 3x + |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3) lim |
|
−x2 + 3x +1 |
. |
|
|
3)lim |
|
|
2x |
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|||||||||
|
3x2 + x − 5 |
|
|
|
|
|
|
+ |
2x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
x→0 ln(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4) lim |
|
7x2 + 5x + 9 |
. 4)lim |
|
cos5x − cos3x |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→−∞ 1+ 4x −x3 |
|
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5) lim |
|
2x3 − 3x2 + 2x |
.5)lim |
|
12x − 5−3x |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + 7x +1 |
|
|
|
|
2arcsinx −x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
1−2cosx |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6)lim |
|
|
2x +1 |
11 |
|
. 6)lim |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2x2 −7x −15 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
x→5 |
|
|
|
|
|
x→π sin(π − 3x) |
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2x |
|
|
|
3x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7) lim |
|
|
|
|
|
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|
. |
|
|
|
|
7)lim(cosπx) |
x sinπx |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
( |
2x − |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
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|
|
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|
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|||||||||||
|
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|
x + 3 x |
|
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|
ctg2x |
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|||||||||||
8) lim |
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. |
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|
|
8) lim (cosx)sin3x . |
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|||||||||||||||
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|
|
|
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|
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||||||||||||||||||
x→−∞(2x − 4) |
|
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|
|
x→2π |
|
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|
|
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|
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|
7.1)lim |
x − arctgx |
. 3) lim x ln(π2 arctgx ). |
||||
|
x |
3 |
||||
x→0 |
|
|
x→+∞ |
|||
2)limx |
1 |
|
|
|
4)lim(x1)tgx . |
|
ln(ex |
−1). |
|
||||
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
8. Визначити порядок і головну частину розкладу α(x) відносно β(x) :
1)α(x) = 13−xx ,β(x) = 4 +x x ,x → 0.
2)α(x) = sin(x − x),β(x) = 2x,x → 0.
3) α(x) = 3x − |
1 |
|
+ cosx,β(x) = |
|
, |
|
|
x |
|||||
x +1 |
||||||
|
|
|
|
x → 0.
9. Дослідити функцію на неперервність:
1) f(x) = tgx − sinx . |
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x3 |
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|||
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||
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|
|||
|
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|
|
|
−x, |
|
x |
|
≤ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||
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|
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|
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|
|
|
|
|
|||||
2) f(x) = |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
< x ≤ 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
0, |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
> 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x −2, |
|
|
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|
|
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|
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|
|||||||||||||||||||
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||
3) f(x) = |
1 |
|
|
|
+ 3 у точках x |
|
= 3,x |
|
|
= 4. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
x−3 |
|
|
1 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
Знайти похідні функцій (10—13): |
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|||||||||||||||||
10.1) y = 3 |
|
|
|
− |
2 |
|
− |
|
|
|
|
|
x3 + 4x − 5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
+ |
|
tg(11x + 3) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2) y = |
|
5x2 + ctgcos2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) y = 2cosx arcctg5x3 − |
th4 |
(2x + 5) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
arccos3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4) y = arccosx2 ctg2 7x3 + |
arctg(4x +1) |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7(x − 4)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5) y = th5 3x arcsin |
|
−(log |
|
x)ctg7x. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(x+3) |
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)8(x − 3)2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6) y = (arcsin2x) |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x |
+ 4)3 |
(x + 2)5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
11.1) tgy = 3x + 5y. |
|
|
|
|
2) arctgy = xy. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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′ |
= ? |
|
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x |
= t |
3 |
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− 3t, |
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x = tgt, |
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|||||||||||||||||||||||
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yx |
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||||||||||||||||
12. |
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: 1) |
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|||||
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2) |
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1 |
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||||||||||||
|
y′′ |
= ? |
|
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y = 5t |
3 |
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2 |
. |
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y |
= |
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|
. |
||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||
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xx |
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− 3t |
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2 |
t |
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||||||||||||||
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sin |
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||||
13.1) y = (2x + 3)ln2 x,y(5) |
= ? |
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|||||||||||||||||||||||||||||
2) y = sin2x + cos(x +1),y(n) |
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= ? |
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14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:
1)y = 2x2 − 3x +1,x0 = 1.
2)x = 2lnctgt +1,y = tgt + ctgt,t0 = π4.
20
3) x = t2,y = 1−t,z = t3,M0(1;0;1).
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = (x −1)2(x − 3)2.
16.max f(x) = ? |
1) y = 4 −e−x2,[0;1]. |
||
|
|
|
|
min |
2) y = 3 (x +1)2(5 −x),[−3;3]. |
||
[a,b] |
17. Дослідити функцію і побудувати її графік:
1)y = 33(x − 3)2.
2)y = x − ln(1+ x2).
3)y = 3 − 3lnx +x 4.
4)y = esinx−cosx.
5) y = x53−−3x5x2 .
(1−x)3 6) y = (x −2)2 .
7) y = 2xx+2 1. 8)y = 3x2(x −2)2.
Знайти інтеграли (18—22):
18.1)∫ (1− 3x)4dx. |
7)∫ |
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dx |
. |
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||||||||||||||||||||||
|
3x − 4 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ sin(8x − 3)dx. |
8)∫ |
|
|
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dx |
. |
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||
5x2 − 3 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
2xdx |
9)∫ |
|
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dx |
|
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|||||||||||||||||||
|
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. |
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. |
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||||||||
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|||||||||||||||||||||
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|
3x2 −2 |
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|
9x2 + 2 |
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4)∫ |
|
|
sinxdx |
10)∫e3−4xdx. |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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. |
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
cosx + 3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
5)∫ |
|
|
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|
dx |
11)∫ |
|
|
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arcsin5 2x |
|
dx. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
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||||||||||||||||||
cos2 3x tg4 3x |
|
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|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
1− 4x2 |
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6)∫e4x2+5xdx. |
12)∫ |
|
e2x |
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5 +e2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19.1)∫ |
3x + 2 |
5)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
(6x2 + 6x −6)dx |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
2x2 +1 |
|
|
(x +1)(x2 + x −2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
|
|
|
|
x3 |
6)∫ |
|
|
|
2x2 −5x +1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
dx. |
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + 3 |
x3 −2x2 + x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
dx |
.7)∫ |
|
7x −10 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||
|
3x2 −12x +13 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 + 8 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(5x −2)dx |
|
x3 −x −1 |
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4)∫ |
|
|
. 8)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||
2x2 −5x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x4 + x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
20.1)∫ tg3 x2dx. |
4)∫ |
|
3sin3 x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos4 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ cos3(x + 3)dx. |
5)∫ |
|
|
|
|
|
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|
|
|
sin2x |
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin4 x + cos4 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ cos5x cosxdx. |
6)∫ |
dx |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 + 5cosx |
21.1)∫ |
2x − 3 |
dx. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
9 −x2 |
|||||||||||
2)∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5x2 −10x + 4 |
|||||||||||
3)∫ |
|
dx |
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(1+ x2)3 |
|
|
|
dx
4)∫ x + 3.
1−x
22.1)∫ x ln1 + x dx. 2)∫ (x2 −x +1)exdx. 3)∫ (x + 4)sin2xdx.
5) |
|
|
|
|
(3x −1)dx |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|||
∫ |
|
2x2 − 5x +1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6)∫ |
|
|
|
x + 3 |
|
|
dx. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6 |
|
|
|
|
+1 |
||||||||||||
x + 3 |
|||||||||||||||||
7) |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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||
∫ x |
|
|
|
|
x2 + x −1 |
||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
8)∫ |
|
|
|
1+ 3 x2 |
|
dx. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
4)∫ x arctgxdx.
5)∫ arcsin5xdx.
6)∫ x cos(x + 4)dx.
23. Обчислити інтеграли:
−1 |
2π |
3 |
|
1)∫ xe−3xdx. |
4)∫ sin2 x cos6 xdx. |
2 |
0 |
−3 |
|
2
xdx
2)∫0 x2 + 3x + 2.
π
3)∫ cosx2 cosx3dx.
0
1
5)∫
0
5
6)∫
0
(1−x2)3dx.
xdx x + 4.
24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:
∞ |
|
dx |
1 |
xdx |
||
1)∫ |
|
|
. |
2)∫ |
|
. |
π(x2 |
+ 4x + 5) |
1−x4 |
||||
−1 |
|
|
|
0 |
|
|
25. Обчислити площу фігури, обмеженої кривими:
1) y = |
|
1 |
|
,y = 0 (1 |
≤ x ≤ e3). |
|
|
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|||
x |
|
1+ lnx |
||||
|
|
|
|
|
||
x = 3(t − sint), |
|
|||||
|
|
|
|
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|
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|
|
y = 3 (y ≥ 3,0 < x < 6π). |
|
2) |
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|
||
y = |
3(1− cost), |
|
||||
|
|
|
|
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|
|
3) ρ = cosϕ,ρ = 2cos(ϕ − π4),
(−π4 ≤ ϕ ≤ π2).
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обе- ртанням фігури, обмеженої кривими y = 0,x = 1−y2,y = 23x, навколо осі Ox. 27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої 3x = y3 (0 ≤ y ≤ 2) навколо осі Oy.
21
Варіант 10
1. Побудувати графіки функцій:
1) y = 12cos(3x + π3). 4) y = ctg(13x − π3).
2)y = 3arccos(x −1). 5) y = 3x+2.
3)y = 3arctg(x + 2). 6) y = lg(x + 3).
2. Знайти:
а) алгебричну форму zz1 + 2z3 −i3;
2
б) тригонометричну форму z3;
в), г) (z1z2)8 та (zz21 )10 ;
д), е) всі значення 3z1 та 4z2 , якщо: z1 = 6 + 6i,z2 = −1 + 3i,z3 = −6 − 7i.
3. Зобразити множину точок z : 1) 2 < z +1−i ≤ 3,π2 < argz ≤ π. 2) z − 3 > z −i , Imz > 1.
3) z3 + 3z2 + 4z + 2 = 0.
Знайти границі (4—7):
4.1) lim (3n −1)!+(3n +1)!. n→∞ (3n)!(n −1)
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|
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|
2) lim |
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5n + 2 |
− 3 8n3 |
+ 5 |
. |
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|||||||||||||||||
|
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||
n→∞ |
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|
4 n + 7 −n |
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|||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||
3) lim n2( |
|
n(n4 −1) − |
|
n5 − 8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.1)lim |
3x2 −11x + 6 |
. |
6.1)lim |
1− cos2 x |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x2 − |
5x − 3 |
|
x tgx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x→3 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2) lim |
|
2x2 |
+ 7x − 4 |
. |
|
|
|
|
2) lim |
|
|
sin7x − sin3x |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 + 64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex2 −e4π2 |
||||||||||||||||||||||
x→−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2π |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3) lim |
x3 − 3x |
2 +10 |
. |
|
|
|
3)lim |
|
|
|
|
arctg2x |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20π) |
|||||||||||||||||||
x→∞ 7x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 sin(2πx + |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4) lim |
|
3x4 |
+ x |
2 −6 |
. |
|
|
|
|
|
4)lim |
|
|
sin(x − 3) |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −5x + |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→∞ 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x→3 x |
6 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5) lim |
|
|
|
|
|
3x |
2 −7x + 5 |
|
. |
5)lim |
e |
7x −e−2x |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinx −2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→−∞ 4x5 − 3x3 + |
2 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
1−x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6) lim |
|
|
|
|
|
|
3x +17 |
|
2 |
. 6)lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
+ 8x +15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→−5 |
|
|
|
|
|
x→1 sinπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
( |
x −7 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7) lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
7) lim (cosx)sin2 2x. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x +1 |
x−1 |
|
|
|
|
|
8)lim(1 + sin2 3x) |
|
1 |
|
. |
|||||||||||||||||||||
8) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
lncosx |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
(3x −1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.1)lim |
|
5x3 −x −2x |
; 3)lim |
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tgx −x |
|
. |
|||||
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|||
x→1 |
5 x2 −1 |
x→0ex −x − |
1 |
|||||||||
2)lim sinx lnctgx. |
4) lim x |
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. |
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|||||||
x |
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||||||||||
x→0 |
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x→∞ |
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8. Визначити порядок і головну частину розкладу α(x) відносно β(x) :
1)α(x) = 23+x2x ,β(x) = 7x2,x → 0.
2)α(x) = arcsin(2 − x),β(x) = 4 −x,x → 4.
3) α(x) = |
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1 |
,β(x) = 1 |
,x → ∞. |
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2 |
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|||
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x |
−x + 7 |
x |
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9. Дослідити функцію на неперервність:
1) f(x) = sinx x .
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2 |
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||||
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2x , |
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x ≤ 0, |
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0 < x ≤ 1, |
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||||||||||||
2) f(x) = x, |
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2 + x, |
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x > 1. |
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3) f(x) = 7 |
1 |
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+1 у точках x |
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= 4,x |
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= 5. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
5−x |
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1 |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||
Знайти похідні функцій (10—13): |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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7 |
+ |
|
ectg5x |
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||||||||||||||
10.1) y = 3 x7 |
− |
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. |
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||||||||||||||||||||||
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|
(x + 4)3 |
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||||||||||||||||||||||||
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|
x4 |
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||||||||||
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|
|
|
ctg2 5x |
. |
|
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||||||||||||||||||||||||
2) y = 3 4x2 − 3 |
|
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− |
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|||||||||||||||||||||||||
ctg2 |
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|||||||||||||||||||||||||||
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ln(7x −2) |
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|||||||||||
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|
3 |
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. |
|
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|||||||||||||||||||||||
3) y = log |
|
|
x arcsin4x + |
arctg2x |
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||||||||||||||||||||||||||||
4 |
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|
sh2 x |
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||||||||||||||||||||||||
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||||
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|
−x2 |
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4 |
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|
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|
arcsin(2x −7) |
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|||||||||||||||||||
4) y = 5 |
|
|
arccos5x |
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− |
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. |
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|||||||||||||
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3(x |
+ 2)4 |
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5) y = cth2 x arccosx1 +(sh3x)arctg(2x+1). |
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|
tg5x |
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(x + 2)3 |
(x −7)4 |
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6) y = (arccos3x) |
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− |
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. |
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(x +1)2 3 (x |
− |
1)4 |
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11.1) y = ey + 4x. |
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2) cosxy = lnx. |
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t |
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x |
= |
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||||||||||||
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y′ |
= ? |
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cost, |
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t −1, |
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x = e |
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||||||||||||||||||
|
x |
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12. |
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|||
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: 1) |
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2) |
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t |
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′′ |
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t |
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= |
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|||||||||
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y |
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= e |
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sint. |
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yxx = ? |
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y |
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t − |
. |
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1 |
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13.1) y = (1+ x2)sin(2x +1),y(6) = ? 2) y = 23xx ++51,y(n) = ?
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої у заданій точці:
1)y = 1− x3 + x62 ,x0 = 3.
2)x = 21t2 − 14t4,y = 21t2 + 13t3,t0 = 0.
22
3) x = et,y = e−t,z = t2,M0(e;e−1;2).
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = |
x3 + 3x2 |
−5. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
||
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|
|
1) y = x + |
|
4 |
,[1;2]. |
||
max |
f(x) = ? |
x2 |
||||||
|
|
|
||||||
16.min |
|
|
|
|
108,[2;4]. |
|||
[a,b] |
|
|
2) y = 2x2 |
+ |
||||
|
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|
|
x |
|
17. Дослідити |
функцію і |
|
побудувати її |
графік:
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5) y = x2 − 6x + 4. |
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1) y = − |
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|
63 6x2 |
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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+ 4x +12 |
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|
3x −2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||
2) y = −(2x +1)e2(x+1). |
|
|
|
|
6) y = |
|
|
|
|
x3 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
−x + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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|||||||
3) y = 3 |
|
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|
. 7) y = xex. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x2 −2x − 3)2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) y = arctg |
sinx − |
cosx |
|
|
|
. 8) y = |
(x −1)2 |
. |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
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|
x2 |
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||||
Знайти інтеграли (18—22): |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18.1)∫ |
|
|
|
|
|
|
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|
7)∫ |
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|
|
|
|
|
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||
1 + 3xdx. |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 − 3x |
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ sin(3 + 4x)dx. |
8)∫ |
|
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|
dx |
|
. |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 −5x2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
2xdx |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
9)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
5x2 − 4 |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
7 −2x2 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||
4)∫e10x+2dx. |
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10)∫ |
|
5 ln2(x +1) |
|
dx. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sinxdx |
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|
|
|
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|||||||||||||||
5)∫ |
|
|
|
|
11)∫ |
|
|
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|
|
|
ctg7x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 7x |
|
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|||||||||||||||||||||||
cosx +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6)∫ |
|
|
4x3 |
dx. |
|
|
12)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
7 + 2x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1−x2earcsinx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19.1)∫ |
1−5x |
|
|
|
5)∫ |
|
|
|
|
(37x − 85)dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1−25x2 |
|
(x2 + 2x − 3)(x − 4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
|
|
4x2 −2x +1 |
dx.6)∫ |
4x4 + 8x3 −x −2 |
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x −1 |
|
|
|
|
|
x(x +1)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7)∫ |
|
|
|
(4x2 + 3x +17)dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x2 + 3x |
|
|
|
|
|
(x −1)(x2 + 2x + 5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4)∫ |
(4x −1)dx |
. 8)∫ |
|
|
(2x2 − 7x +10)dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4x2 − 4x + 5 |
|
|
|
|
(x −1)2(x2 + 4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20.1)∫ tg2 4xdx. |
|
|
|
4)∫ sin5 x cos4 xdx. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ sin3 45x dx. |
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|
5)∫ |
dx |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cosx sin3 x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ cos2x cos3xdx. 6)∫ |
|
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|
dx |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
2sinx + 3cosx + 3 |
|
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3x −2 |
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|
5x + 2 |
|||||||||||||||||||
21.1)∫ |
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dx. 5)∫ |
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dx. |
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|||||||||||||
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3x2 +1 |
x2 + 3x − 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
|
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|
|
dx |
|
|
|
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|
. 6) |
|
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|
dx |
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. |
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||||||
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||||||||
∫ |
2x + 3 −x2 |
|
∫ x x2 −x −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
x2 + 4 |
dx. |
|
7)∫ |
|
|
|
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|
|
dx |
|||||||||||||||||
|
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. |
|||||||||||||||
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x4 |
|
6 |
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+ 3 |
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|||||||||||||||||||||
|
|
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|
x −1 |
x −1 |
||||||||||||||||||||||||||||
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dx |
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|
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|
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|||
4)∫ |
|
|
|
|
. |
|
8)∫ |
|
|
|
|
1+ x |
dx. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
(x + 3) |
|
|
|
x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
22.1)∫ x sin3xdx. |
|
4)∫ x arcctgxdx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ x ctg2 xdx. |
|
5)∫ ln(x + |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1+ x2)dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫(x +1)e−xdx. |
|
6)∫ arccos7xdx. |
23. Обчислити інтеграли:
|
e |
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2 |
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1)∫ |
ln x |
dx. |
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|||||
|
x2 |
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||
2)∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
2 |
(1+ x |
2 3 |
|||||||
1 |
|
) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2π
4)∫ cos8 x4dx.
0
1
5)∫0 (2xx−+2)33 dx.
2 |
|
x − 5 |
4 |
dx |
|||
3)∫ |
|
|
dx. 6)∫ |
|
|
|
. |
x2 |
−2x + 2 |
1+ |
|
|
|||
2x +1 |
|||||||
1 |
|
|
0 |
|
|
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|
24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:
∞ |
|
|
|
π |
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|
|
xdx |
|
|
6 |
|
cos3xdx |
|
||
1) |
|
. |
2) |
|
dx. |
|||
|
|
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|
|
||||
−∫1 x2 |
+ 4x + 5 |
∫0 |
6 (1− sin3x)5 |
|
25. Обчислити площу фігури, обмеженої кривими:
1) y = arccosx,y = 0,x = 0.
|
|
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3 |
t, |
||
|
|
2cos |
|||||||
|
x = 8 |
|
|
||||||
2) |
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|
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|
x = 4 (x ≥ 4). |
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|||
|
y = |
2sin3 t, |
|||||||
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|
2cos(ϕ − π4), |
3) |
ρ = sinϕ,ρ = |
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||||||
|
|
(0 ≤ ϕ ≤ 34π).
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обер- танням фігури, обмеженої кривими y = 0, y = sinx,0 ≤ x ≤ π, навколо осі Ox.
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої y = 13x3,x [−1;1]
навколо осі Ox.
23
Варіант 11
1. Побудувати графіки функцій:
1) y = −2sin(3x − π4). 4) y = tg(14x + 16π ).
2)y = 12arcsin(x + 13). 5) y = 4x−1.
3)y = 12arcctg(x − 21). 6) y = −lg(3 −x).
2. Знайти:
а) алгебричну форму |
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z1 |
+ 2z |
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−i6; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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z |
2 |
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|||||||
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||
б) тригонометричну форму z3; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в), г) (z1z2)8 та ( |
z1 |
)10 ; |
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z |
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2 |
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|||
д), е) всі значення |
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3 |
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та 4 |
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|
, якщо: |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
z |
1 |
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|
|
z |
2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||
z1 = −9 − 9i,z2 = |
|
|
−i,z3 = 2 + 3i. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Зобразити множину точок z : |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
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|
z |
|
> 4,π < argz ≤ 3π. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
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4 |
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|
|||||
2) |
|
z + 3 |
|
< |
|
z +i |
|
, |
|
|
Rez |
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< 1. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) z3 + 5z2 +20z +16 = 0. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайти границі (4—7): |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(n +1)2 (21 + 41 +... + |
1 |
|
) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
2n |
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.1) lim |
|
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|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
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|
1+ 3 +... |
|
|
+(2n −1) |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n→∞ |
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|
n4 |
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+ 81n4 −n2 +1 |
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) lim |
|
3n +1 |
. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||
n→∞ (n + 3 |
|
) 5 −n +n2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
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|||||||||||||||||||||||||||
3) lim n(3 |
5 + 8n3 −2n). |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
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|||||||
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x3 − 8 |
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|
1 |
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|
1 |
||||||||||||||||
5.1)lim |
|
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|
|
. |
|
|
|
|
|
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|
6.1)lim |
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|
− |
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. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
2 |
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|||||
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x→2 x |
+ x − 6 |
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x→0 tgx |
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sinx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) lim |
|
4x2 |
+19x −5 |
. 2)lim |
cos3x − cosx |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x2 |
+11x + 5 |
|
|
|
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|
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|
|
tg2x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→−5 |
|
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|
x |
→0 |
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) lim |
4x2 |
+ 5x − 7 |
|
. |
|
|
|
|
3)lim |
|
|
|
|
ln(1− 7x) |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
−x +10 |
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|
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|
7)) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ 2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→0 sin(π(x + |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) lim |
|
2x2 |
+ 5x + 7 |
|
. 4)lim |
sin7πx |
|
. |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
−2x2 + x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ 3x |
4 |
|
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|
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|
|
|
x |
→2 sin8πx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
7x5 |
+ 6x4 −x3 |
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|
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sinx − cosx |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) lim |
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.5)lim |
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. |
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||||||||||||||||||||
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|
lntgx |
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|||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ 2x2 + 6x +1 |
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|
x |
→π |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
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|
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||
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|
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|
x2 |
+ 2 − |
|
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|
|
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|
|
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|
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|
35x −27x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
6)lim |
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
6)lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||
x→0 |
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|
x2 +1 −1 |
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|
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|
|
|
|
|
x |
→0 arcsin2x −x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7)xlim→∞( |
x −1 |
)3x+2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
7)limx→3( |
6 −x |
)tg |
πx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8)xlim→∞( |
5x − 3 |
)x+3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
8)limx→0(tg(π4 −x))ctgx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.1) lim |
ex2 |
−1 |
|
. 3)lim |
1−2sinx |
. |
|
|
||||
|
|
|
−π |
|
cos3x |
|
|
|||||
x→∞ 2arctgx2 |
x→π |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
2)lim(sinx)2sinx. |
|
|
4) lim |
( |
3x2 + 2x |
) |
x1 . |
|||||
x→0 |
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
8. Визначити порядок і головну частину розкладу α(x) відносно β(x) :
1) α(x) = 2x3,β(x) = |
5x3 |
,x → 0. |
|
4 −x |
|||
|
|
2)α(x) = ex −1,β(x) = x2,x → 0.
3)α(x) = 10x3 − 3x,β(x) = x,x → 0.
9.Дослідити функцію на неперервність:
1)f(x) = x −x 2 .
|
|
|
|
|
|
|
x < 0, |
|
sinx, |
||
|
|
|
|
2) |
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|
0 ≤ x ≤ 2, |
f(x) = x, |
|||
|
|
|
|
|
|
0, |
x > 2. |
|
|
||
|
|
|
|
3) f(x) = xx −+ 34 у точках x1 = −5,x2 = −4.
Знайти похідні функцій (10—13):
10.1) y = 2x3 − x25 − 2xex−x2 .
|
|
|
|
+ |
|
tg2(x −2) |
. |
|
|
|
|
||||||||
2) y = |
|
2x2 + 1costg1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
lg(x + 3) |
|
|
|
||||||
3) y = 3tgx arcsin7x4 − |
|
arcsin2(4x −1) |
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
th(5x − 3) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4) y = arctg4 x cos7x4 + |
|
2lg(4x + 5) |
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 6)4 |
|
|
|
|||||
5) y = sh4 2x arccosx2 − |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
(ch3x)ctgx . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
log x |
|
(x +1)2 5 (x + 4)3 |
|||||||||||||
6) y = (arctg5x) |
2 |
+ |
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
(x −1)2(x + 3)5 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
a |
|
|
|
11.1) xy = ctgy. |
|
|
|
2) ay |
= (yx ) . |
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
= ? |
|
x = lnt, |
|
|
x |
= t −1, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
: 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
yxx′′ |
= ? |
y = t lnt. |
|
|
y |
= 3 |
t −1. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
13.1) y = x3 lnx,y(5) |
= ? |
|
|
|
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|
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|
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|
|
2) y = 23x+5,y(n) = ?
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:
1)y = x − 33x,x0 = 64.
2)x = at cost,y = at sint,t0 = π2.
24
3) x = 4sin2 t,y = 4sint cost, z = 2cos2 t,t0 = π4.
15. Знайти проміжки монотонності фун- кції y = 6x − 8x3.
|
1) y = xex,[−2;0]. |
|
|
16.minmax f(x) = ? |
2) y = x + |
4 |
,[−1;2]. |
[a,b] |
3 |
||
|
|
(x + 2) |
|
17. Дослідити |
функцію і |
побудувати її |
графік:
1) y = |
|
2 −x2 |
|
|
. |
5) y = x2 −2lnx. |
|
|
|
|
|
||||
9x2 − |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
2) y = ln(sinx − cosx). 6) y = x2ex1.
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
3) y = 3 x2(x + 4)2. 7) y = |
|
. |
|||||||
(x |
−1)2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
e2(x+2) |
. |
|||||
4) y = 4x + 63 (x + 2)2. 8) y = |
|||||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2(x + 2) |
Знайти інтеграли (18—22):
18.1)∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
5 − 4xdx. 7)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2)∫ sin(3 − 4x)dx. 8)∫ |
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3x2 − 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
9)∫ |
|
|
xdx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 − 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
5x2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4)∫e2x−10dx. |
10)∫ |
|
|
|
|
|
ln5(x +1) |
dx. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5)∫e5x |
−3xdx. |
11)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 − sinx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos3 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6)∫ |
|
5 ctg3x |
12)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
sin2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1− 4x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4x − 3 |
|
|
(3x2 + 3x −24)dx |
||||||||||||||||||||||||||||
19.1)∫ |
|
|
|
dx. 5)∫ |
|
(x2 −x −2)(x − 3). |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x2 − 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
|
|
|
|
x4 |
6)∫ |
|
|
4x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x2 − 3 |
x(x −1)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
|
dx |
7)∫ |
|
|
|
|
|
(3x +13)dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
x2 − 5x + 6 |
(x −1)(x2 + 2x + 5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x +1)dx |
|
x5 + 4x3 + 4x + 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
4)∫ |
|
. 8)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||
2x2 + x +1 |
|
|
|
|
|
x4 + 4x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
20.1)∫ ctg3 xdx. |
4)∫ |
|
|
|
|
|
sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos3 x |
|
|
|
|
dx
2)∫ sin5x sin7xdx. 5)∫ 1+ sin2 x.
3)∫ (1− cosx)2dx.
21.1)∫ |
|
|
x −1 |
|
dx. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
5 −2x2 |
|||||||||||||
2)∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4x2 − 8x + 3 |
||||||||||||||
3)∫ |
|
|
(4 −x2)3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||
|
|
|
|
x6 |
||||||||||
4)∫ |
1+ x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|||||
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
22.1)∫ ln(x + 4)dx.
2)∫ x2e−xdx.
3)∫ x arctgxdx.
6)∫ 5 +dx4sinx.
5)∫ |
|
|
|
|
(x − 4)dx |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2x2 −x + 7 |
||||||||||||||||||
6)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1+ x −x2 |
|||||||||||||||||||
7)∫ |
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||
1+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x + 3 |
|||||||||||||||||||||
|
4 |
(1+ |
|
|
)3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8)∫ |
x |
|
|
dx. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x8 x7 |
|
|
||||||||||||||
4)∫ |
|
x arccos2x |
dx. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1− 4x2 |
5)∫ (x + 5)sinxdx.
6)∫ x cos(x −7)dx.
23. Обчислити інтеграли:
e2 |
π |
|
x |
|||||||
1)∫ |
|
|
|
4)∫ 24 sin8 |
||||||
x |
lnxdx. |
|
|
dx. |
||||||
2 |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
x2 −1 |
|
|
|||||
2)∫2 |
|
|
5)∫1 |
|
|
|
||||
|
. |
|
|
|
dx. |
|||||
(x −1)2(x +1) |
|
x |
|
π7
2 |
cosxdx |
3 |
|
xdx |
|||
3)∫ |
|
. |
6)∫ |
|
|
|
. |
sin2 x +1 |
|
|
|
||||
2 + 3x |
|||||||
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:
∞ |
|
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2 |
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3 |
3 |
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||
arctg2x |
ln(2 − 3x) |
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|||||
1)∫ |
|
dx. |
2)∫ |
|
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|
dx. |
π(1+ 4x2) |
|
2 − 3x |
00
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
1) y = (x +1)2,y2 = x +1.
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x = 2 |
2cost, |
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y = 3 (y ≥ 3). |
2) |
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y = 3 |
2sint, |
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3) ρ = 6cos3ϕ,ρ = 3 (ρ ≥ 3).
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривими y2 = 4x, x2 = 4y, навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої x = cost,y = 1 + sint навколо осі Ox.
25
Варіант 12
1. Побудувати графіки функцій:
1)y = 2cos(2x + π3). 4) y = ctg(2x + π3).
2)y = 13arccos(x −1). 5) y = (14)x−1 .
3) y = −arctg(x +1). 6) y = ln(2x − 5).
2. Знайти: |
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а) алгебричну форму |
z1 |
+ 2z |
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−i8 |
; |
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3 |
|||||
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z |
2 |
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б) тригонометричну форму z3;
в), г) (z1z2)8 та (zz21 )10 ;
д), е) всі значення 3z1 та 4z2 , якщо:
z1 = −7 + 7i,z2 = −23 −2i,z3 = 7 − 8i.
3. Зобразити множину точок z : 1) z −1 > 2,π2 < argz ≤ 32π.
2) z + 3 > z − 3 , Imz < 2.
3) z3 −6z2 +16z −16 = 0.
Знайти границі (4—7):
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1+ 1 +...+ |
1 |
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n |
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4.1) lim |
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3 |
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3 |
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. |
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1+ 5 +...+ |
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5n |
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|||||||||||||||||||||
n→∞ |
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1 |
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1 |
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− |
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n2 |
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− 3 |
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|||||||
2) lim |
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n + 3 |
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. |
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||||
n→∞ |
3 n5 |
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− 4 − 4 n4 +1 |
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|||||||||
3) lim n2(3 |
|
5 + n3 − 3 3 +n3). |
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||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
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||
5.1) lim |
|
|
x2 |
|
−x −2 |
. |
|
|
|
|
6.1)lim |
|
sin2 3x − tgx |
2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
x2 |
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|||||||||||||||||
x→−1 x3 +1 |
|
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|
|
x→0 |
|
|
|
|
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|
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|
|
||||||||||||||||||||||
2)lim |
x3 |
|
|
−x2 + x −1 |
. |
|
2)lim |
|
1− cos6x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 |
+ x −2 |
|
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|
|||||||||||||||||||
x→1 |
|
|
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|
x→0 4x2 |
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x4 + 2x +1 |
|
|
|
|
|
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|
cos(x + |
5π)tgx |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
3) lim |
|
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|
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|
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|
. |
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|
3)lim |
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
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|
. |
|
||||||
|
|
4 −x3 + |
2x |
|
|
|
|
|
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|
arcsin2x2 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ x |
|
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|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
4) lim |
3x3 |
+ 4x2 − 7x |
|
. 4)lim |
|
|
ln(5 −2x) |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||
x→∞ 2x2 + 7x − 3 |
|
|
|
|
x→2 |
|
|
10 − 3x − |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) lim |
|
|
4 − 3x −2x |
2 |
. |
|
|
|
5)lim |
|
|
|
e5x −ex |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4x4 + 5x |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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||||||||||||||||||
x→−∞ |
|
|
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|
x→0 arcsinx + x3 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
− |
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ax −ab |
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||||||||||||||
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7 −x |
7 |
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||||||||||||||||||||
6)lim |
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. |
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|
6)lim |
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|
. |
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|||||||
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|||||||||||
x→0 |
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7x |
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x→b |
|
x −b |
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||||||||||||
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|
2x +1 x+2 |
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1 |
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|||||||||||||||
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3 |
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7) lim |
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. |
|
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|
7)lim(1−x3)ln(1+πx |
). |
|
||||||||||||||||||||||||
(2x −1) |
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
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x→0 |
|
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|||||||||||||||||
|
|
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|
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|
2x − 3 x |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctgx |
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||||||||||||||
8) lim |
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|
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|
. |
|
|
|
|
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8) lim (cosx) |
sin4x |
. |
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||||||||||||||||
x→−∞(7x + 4) |
|
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x→4π |
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||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.1)lim |
x20 |
−2x +1 |
. 3)lim |
|
e2x −1−2x |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
−2x +1 |
|
|
+ 2x)−2x |
||||
x→1x30 |
x→0 ln(1 |
|
||||||
|
|
πx |
4) lim (arctgx)tgx . |
|
||||
2)lim(1−x)cos 2 . |
|
|||||||
x→1 |
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
8. Визначити порядок і головну частину розкладу α(x) відносно β(x) :
1)α(x) = 5x+2 x ,β(x) = x4−x21,x → 0.
2)α(x) = ln(1+ x),β(x) = 1+ 3x −1, x → 0.
3) α(x) = 3x + 2,β(x) = x + 8,x → −8.
9. Дослідити функцію на неперервність:
1) f(x) = arctg |
|
x |
. |
|
|
|||
x |
|
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|||||
|
|
|
−1 |
|
π |
|
||
|
|
|
|
x ≤ |
, |
|||
|
cosx, |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
2) |
|
|
|
< x |
< π, |
|||
f(x) = 0, |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
x ≥ π. |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) f(x) = x + 5 |
|
у точках x |
1 |
= 3,x |
2 |
= 2. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
Знайти похідні функцій (10—13): |
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10.1) y = 5 x2 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3x2 − 4x −7 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
sin3(5x +1) |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2) y = 5 3x2 + lnsin1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
tg(3x −2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) y = 5x2 arccos2x3 − |
ch2(4x + 2) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgx3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) y = ctg5x arctgx3 + |
|
|
5ln(5x + 7) |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −7)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5) y = ch3 x arctg3x −(arcsin5x)tg |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lg(x+1) |
|
|
|
(x + 2)2 3 (x −1)7 |
|
|
||||||||||||||||||
6) y = (arctg7x) |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
(x +1)5(x −5)3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11.1) lny − |
y |
|
= 7. |
|
|
|
|
|
2) 2y lny = x. |
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cost |
|
|
|||||||||
|
y′ |
= ? |
|
|
|
|
|
|
= t |
|
, |
|
|
x = |
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||
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x |
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|
x |
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1 |
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+ 2cost |
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||||||||||||||
12. |
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|||||||||
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: 1) |
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2) |
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sint |
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′′ |
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y = lnt. |
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|||||||||||||
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yxx = ? |
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y |
= |
1 |
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+ |
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2cost |
. |
||||||||||||||||||
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13.1) y = (4x + 3)2−x,y(5) = ?
2) y = sin(x +1)+ cos2x,y(n) = ?
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:
1) y = x3 + 2 |
,x |
0 |
= 2. |
x3 −2 |
|
|
26
2) x = sin2 t,y = cos2 t,t0 = π6.
3) x = 12t2,y = 13t3,z = 14t4,M0 (2;83;4).
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = 16x2(x −1)2.
16.max f(x) = ? |
1) y = (x −2)ex,[−2;1]. |
||
|
|
|
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min |
2) y = 3 2x2(x − 3),[−1;6]. |
||
[a,b] |
17. Дослідити функцію і побудувати її графік:
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33 6(x − 4)2 |
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x |
2 |
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1) y = |
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. 5) y = ( |
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) . |
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|||||||||||||||||||
|
x |
2 |
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x + |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||
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− 4x +12 |
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||||||||||||||||||
2) y = |
|
4x |
3 |
|
− 3x |
. |
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|
6) y = |
|
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8 |
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. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
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1)2 + |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
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4x2 −1 |
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(x − |
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|
x |
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3 −x2 |
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|||||||||||||
3) y = ln |
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−2. |
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7) y = x e |
2 . |
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|||||||||||||||||||||||||||
x −2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1 |
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||||||
4) y = |
|
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|
|
.8) y = 3 |
|
x2(x − 4)2. |
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|||||||||||||||||||||||
|
(cosx + sinx)2 |
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||||||||||||||||||||||||
Знайти інтеграли (18—22): |
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18.1)∫ |
|
dx |
|
. |
|
|
7)∫ cos(4x + 3)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
5 + 3x |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
8)∫ |
|
|
|
|
|
xdx |
|
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|
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|
|||||||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 + 8 |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
||||||
3)∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
9)∫ |
|
7 ln2(x +1) |
dx. |
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
x +1 |
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||
|
4 − 7x2 |
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4)∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
10)∫ |
|
arctg7 3x |
|
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||||||||||||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3x2 + 7 |
|
|
|
|
1 + 9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5)∫e4x+3dx. |
|
|
|
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|
|
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|
11)∫ |
|
|
sin3x |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
cos2 3x |
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||
6)∫e1−4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
12)∫ |
|
tg4 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
xdx. |
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19.1)∫ |
2x + 3 |
5)∫ |
|
|
2x4 − 7x3 + 3x + 20 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1− 3x2 |
|
|
|
(x −2)(x2 −2x − 3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
x3 + 5x |
|
dx. |
6)∫ |
|
|
|
3x −x2 −2 |
|
dx. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 +1 |
|
|
|
|
|
x(x +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
7)∫ |
|
|
|
|
|
|
(x2 − 5x + 40)dx |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
2x − 3 − 4x2 |
|
|
|
(x + 2)(x2 −2x +10) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x +1)dx |
|
|
|
|
|
|
|
x3 −x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4)∫ |
|
. 8)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3x2 −2x − 8 |
|
|
|
|
|
x4 −x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20.1)∫ ctg2 5xdx. |
4)∫ 3 |
|
sin3 xdx. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ sin2(2x −1)dx. 5)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4sinx(sinx + 2cosx) |
3)∫ sin4x cos2xdx. 6)∫ 8 +dx4cosx.
21.1)∫ |
5x +1 |
|
|
5)∫ |
|
|
(2x −1)dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x2 −6 |
|
|
x2 − 3x + 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2)∫ |
|
|
|
dx |
|
. 6)∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 + 2x −x2 |
x2 + x −2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3)∫ |
|
|
|
|
7)∫ |
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(1 + x2)5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
xdx |
|
|
|
4 |
|
|
(1 + 3 |
|
|
|
|
)3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4)∫ |
|
|
|
8)∫ |
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
x12 x7 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
22.1)∫ x2e3xdx. |
|
|
4)∫ arccos2xdx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2)∫ |
xdx |
|
|
5)∫ |
x ln(x + |
|
|
|
1+ x2) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|||||||||||||||||||||||||||
3)∫ x sin(x − 5)dx. |
6)∫ (x − 5)cosxdx. |
|
23. Обчислити інтеграли:
10
1)∫ arctgxdx.
0
1
dx
2)∫ 3.
0 (x2 + 3)2
π
3
3)∫π tg4 xdx.
4
4)∫ 28 sin6 x cos2 xdx.
−π
5) 5 |
(x2 + 2)dx |
. |
|
||
∫ |
(x +1)2(x −1) |
|
3 |
|
|
ln3 |
|
|
6)ln2∫ ex −dxe−x .
24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:
∞ |
0 |
|
|
|
|
|
|
16dx |
|
dx |
|||
1)∫ |
|
. 2)∫ |
|
|
|
. |
π(4x2 + 4x + 5) |
3 |
|
|
|||
1+ 3x |
||||||
1 |
|
−1 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
1) y = 2x −x2 + 3,y = x2 − 4x + 3.
|
|
|
|
|
x = 6(t − sint), |
||||
|
|
|
y ≥ 9 (0 < x < 12π). |
|
2) |
|
|
||
y = |
6(1− cost), |
|||
3) ρ = |
|
1 |
+ sinϕ. |
|
2 |
||||
|
|
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обе- ртанням фігури, обмеженої кривою x2 +(y −2)2 = 1, навколо осі Ox.
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої x2 = 4 + y,y = 2 навколо осі Oy.
27