Практикум 2

32

Розділ 5. ФУНКЦІЇ

5.7. Показникова і логарифмічна функції

Логарифм. Логарифмом додатного

числа x за основою a (a 0,a 1)

називають показник степеня, до якого

loga x b ab

x, x 0

потрібно піднести число a, щоб

одержати число x, і позначають

 loga 1 0;

 loga a 1

loga x.

Показникова функція y ax ,

0 a 1

a 1

a 0,a 1.

y

y

y ax

D(f ) , E(f ) (0; ).

y ax

0

a 1,

спадає на ,

Функція

a 1.

зростає на ,

Горизонтальна асимптота y 0.

1

1

Логарифмічна функція

O

x

O

x

0 a 1

y

a 1

y loga x, a 0,a 1.

y

y loga

x

y log

x

D(f ) (0; ), E(f ) .

a

0

a 1,

спадає на ,

x

Функція

a 1.

O

1

x

O

1

зростає на ,

Вертикальна асимптота x 0.

Окремі випадки логарифмів і показникової функції

Десятковий логарифм

lg x log10 x

Натуральний логарифм

ln x loge x

Експоненціальна функція

y ex

Властивості логарифмів (x 0, y

0)

основна логарифмічна тотожність

aloga b

b

логарифм добутку

loga(xy) loga x loga y

логарифм частки

log x

log x log

y

a y

a

a

Розділ 5. ФУНКЦІЇ

33

логарифм степеня

log

xp

p log x

ar

r

a

логарифм оберненого числа

log

1 log

x

a x

a

формула переходу до іншої основи

loga x

logb x

loga b

1

logb

a

logb a

ln x

lna

Логарифмічна і показникова

loga ax x;

функції є взаємно оберненими

aloga x x, x 0

Зв’язок між степеневою,

x a loga x ,

показниковою і логарифмічною

(x 0,a 0,a 1)

функціями

Основні показникові рівняння і нерівності

b

0

b 0

0 a 1

a 1

0 a 1

a 1

y

y

ax

b

x loga b

x loga b

y b

ax

b

x loga b

y b

ax

b

x loga b

x loga b

y ax

y ax

loga b O

x

x

O loga b

Основні логарифмічні рівняння і нерівності

0 a 1

a 1

0 a 1

a 1

loga x b

x ab

0 x ab

y loga b

y

y b

loga x b

x ab

ab

loga x b

0 x ab

x ab

x

O

ab

x

y b

y loga b

Показникові і логарифмічні рівняння і нерівності

g(x),

a

f (x)

a

g(x)

f(x) g(x)

f (x)

 log f (x) log

g(x)

0

a

a

f (x)

0 a 1

a 1

af (x) ag(x) f(x) g(x)

af (x) ag(x) f(x) g(x)

f (x) g(x),

f(x) g(x),

 log f (x) log

 log f (x) log

g(x)

g(x)

a

a

g(x) 0

a

a

f(x) 0

Прямокутний трикутник.

B

AB — гіпотенуза;

c

a

AC — прилеглий катет;

BC — протилежний катет

A

b

C

Синус. Синусом числа t називають

y

Pt

ординату точки Pt одиничного кола і

sin t

BC

a

позначають sin t.

t

Період синуса 2 :

O

1 x

sin

AB

c

sin(t 2 k) sin t, k

Косинус. Косинусом числа t

y

Pt

називають абсцису точки Pt

AC

b

одиничного кола і позначають cost.

t

Період косинуса 2 :

cos

O

cos t

1 x

AB

c

cos(t 2 k) cost,k

Тангенс. Тангенсом числа t

y

tg t

називають ординату точки перетину

Pt

прямої x 1 (осі тангенсів)

t

із променем OPt .

tg

BC

a

O

1 x

Період тангенса :

AC

b

tg(t k) tg t,k

Котангенс. Котангенсом числа t

y

називають абсцису точки перетину

Pt

прямої y 1 (осі котангенсів)

t

із променем OPt .

AC

b

O

ctg t

1 x

Період котангенса :

ctg

BC

a

ctg(t k) ctg t,k

Розділ 5. ФУНКЦІЇ

35

Зв’язок між тригонометричними

tg x sin x

ctg x cos x

функціями

cos x

sin x

Функція y sin x.

y sin x

y

D(f ) , E(f ) [ 1;1].

1

3

Функція непарна;

O

2

2

x

періодична з періодом T 2 ;

1

2

обмежена: sin x 1.

Графік — синусоїда.

Функція y

cos x.

y cos x

y

D(f ) , E(f ) [ 1;1].

1

3

Функція парна;

2

2

2 x

O

періодична з періодом T 2 ;

1

обмежена: cos x 1.

Графік — косинусоїда.

y

Функція y tg x.

y tg x

k

D(f ) \

| k ,

2

E(f ) .

O

x

Функція непарна;

3

2

2

періодична з періодом T ;

2

зростає на D(f ).

Графік — тангенсоїда.

Вертикальні асимптоти

x 2 k,k .

Функція y ctg x.

y

D(f ) \ k | k , E(f ) .

y ctg x

Функція непарна;

періодична з періодом T ;

x

спадає на D(f ).

O

2

2

Графік — котангенсоїда.

Вертикальні асимптоти x k,k .