Практикум 2

Розділ 4. МНОЖИНИ

11

4.6. Числові множини

Запис числа у десятковій системі

n ... 1 0

n

10n

... 10

,

1

0

i

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Запис числа у двійковій системі

n ... 1 0

n 2n

... 1 2 0,

i {0, 1}

Десяткові дроби (a , i, i {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9})

скінченний

a, 1 2... n

нескінченний періодичний

a, 1 2... n ( 1 2... k )

a, 1 2... n 1 2

... k ... 1 2... k ...

період

Позначення числових множин

Множина натуральних чисел

{1, 2, 3, ..., n, ...}

Множина цілих чисел

{..., 2, 1, 0, 1, 2, ...}

Множина раціональних чисел

m

m ,n

n

{x | x скінченний або нескінченний

періодичний десятковий дріб}

Множина дійсних чисел

{x | x нескінченний

десятковий дріб}

Множина ірраціональних чисел

\

{x | x нескінченний неперіодичний

десятковий дріб}

Включення числових множин.

 ;

2



5

3

7

Відображення. Відображенням

f

Y

f : X Y

множини X у множину Y (функцією з

X

множини X у множину Y ) називають

правило,

y f (x), x X

яке кожному елементу x X

ставить у відповідність

лише один елемент y Y.

аргумент функції

x (прообраз елемента f (x))

значення функції

f (x) (образ елемента x )

область означення функції

D(f ) X

множина значень функції

E(f ) {f (x) | x X} f (X)

Деякі типи функцій

дійсна функція

E(f )

функція дійсного аргументу

D(f )

дійсна функція кількох змінних

n

D(f ) , E(f )

вектор-функція

n

D(f ) , E(f )

послідовність елементів множини Y

f : Y

числова послідовність

f : Y

Взаємно однозначне відображення

x1 X x2

X :

f

Y

(ін’єкція)

x1 x2

X

Відображення множини X

y Y x X :

f

Y

на множину Y

f(x) y

X

(сюр’єкція)

Розділ 4. МНОЖИНИ

13

Взаємно однозначна відповідність

y Y ! x X :

f

Y

між X та Y

f(x) y

X

(бієкція)

Обернена функція. Якщо

f

Y

відображення f : X Y є бієкцією,

X

то функцію f 1 : Y X :

x f 1(y), y Y

називають оберненою до f функцією.

f 1

Складена функція. Якщо

D(f )

g : D E,

f : E F,

D(g)

g

g(x) E

то функцію f g : D F :

D

f

(f g)(x) f (g(x)), x D

x

f g

F

називають складеною функцією

f(g(x))

(суперпозицією функцій f та g).

Скінченна множина. Множину A

Кількість усіх підмножин n -елементної

називають скінченною, якщо вона має

скінченної множини дорівнює 2n.

скінченну кількість елементів.

Рівнопотужні множини.

Зліченна множина. Множину A

Множини A та B називають

називають зліченною, якщо

рівнопотужними, якщо між їх

A .

елементами можна встановити взаємно

Елементи множини A можна

однозначну відповідність і позначають

занумерувати.

A B.

Властивості скінченних, нескінченних і зліченних множин

Множина A скінченна тоді й лише

Нескінченна множина містить

тоді, коли A {1, 2, ..., n}.

зліченну підмножину.

Множина A нескінченна тоді й

Множини , , — зліченні,

лише тоді, коли існує множина

множини , — незліченні.

B A, B A, така, що A B.

Декартів добуток зліченних множин

Нескінченна підмножина зліченної

є зліченною множиною.

множини зліченна.

Розділ 4. МНОЖИНИ

15

4.10. Відсотки. Пропорції

Відсотки. Відсоток (процент)

1%a

a

0, 01a

числа a — це одна сота частина a.

100

Задачі на відсотки

Знаходження відсотків числа

p%a pa

100

Знаходження числа за відсотками

p%a b a b :

p

b 100

p

100

Знаходження процентного

число a становить

a

100% від числа b

відношення чисел

b

Якщо число a збільшити на p%,

p

то дістанемо число

a 1

100

Якщо число a зменшити на p%,

p

то дістанемо число

a 1

100

Формула складених відсотків.

Якщо A — початковий вклад, p —

n

p

річний відсоток, то наприкінці n -го

A 1

року вклад становитиме

100

Пропорція. Пропорцією називають

Властивості пропорції.

рівність двох відношень:

a

c

a

c

 b

d

ad bc;

b

d ,b 0,d 0,

 a

c

d

b

d c

;

де a,d — крайні члени пропорції;

b,c — середні члени пропорції

b

d

c

a

b

a

 a

c

a b c d

b

d

b

d

Задачі на пропорцію

 a

c x ad ;

x

d

c

 x

c

x bc

b

d

d

Поділ числа a у відношенні k : l

ak

та

al

k l

k

l

Масова частка речовини. Якщо

xi

mi

,

суміш містить k речовин масою

m1

m1,m2,...,mk, то масова концентрація

m2 ... mk

i

1, 2,...,k

i -ої речовини

Ділення націло. Натуральне число

Ділення з остачею. Якщо a —

a ділиться на натуральне число b

ділене, b — дільник і

(позначають a b), якщо існує

a bc r,

r b,

натуральне число c таке, що a bc.

то кажуть, що c — неповна частка,

Якщо a b, то b — дільник a,

число a

r — остача.

кратне b, c

— частка.

Основні властивості подільності (a, b, c )

 0 a;

a b, b a a b;

a 1;

a b,b c a c;

a a;

a (bc) a b,a c

Ознаки подільності числа m 1... n 1 n, 1 2

... n

m 2

n {0, 2, 4, 6, 8}

m 5

n {0, 5}

m 3

3

m 9

9

m 4

4

m 10

n 0

n 1

n

Парні числа. Натуральне число

Непарні числа. Натуральне число

називають парним, якщо воно ділиться

називають непарним, якщо воно не

націло на 2. Його можна записати у

ділиться націло на 2. Його можна

вигляді

записати у вигляді

n 2k, k

n 2k 1, k

Прості і складені числа. Простим

Натуральне число, яке має більше як

числом називають натуральне число,

два різних дільники, називають

яке має лише два різних дільники —

складеним. Число 1 не належить ані до

одиницю і саме число.

простих, ані до складених.

Основна теорема подільності.

Будь-яке натуральне число, більше за

a p 1 p 2

...p k ,

одиницю, можна розкласти в добуток

1

2

k

де pi — прості числа, i .

простих чисел, причому цей добуток

єдиний з точністю до порядку

співмножників.

Найбільший спільний дільник.

Найменше спільне кратне.

Найбільшим спільним дільником

Найменшим спільним кратним

натуральних чисел a та b називають

натуральних чисел a та b називають

найбільше число, на яке ділиться і

найменше число, яке ділиться як на

число a, і число b і позначають

число a, так і на число b, і позначають

НСД(a,b).

НСК(a,b).

НСД (a,b) НСК(a,b) ab

Розділ 4. МНОЖИНИ

17

Алгоритм знаходження НСД.

Алгоритм знаходження НСК.

Розкладають задані числа на прості

Розкладають задані числа на прості

множники.

множники.

Складають добуток зі спільних

Складають добуток з усіх простих

простих множників, узятих з

множників, узятих з найбільшим

найменшим показником степеня.

показником степеня.

Порівняння дійсних чисел. Для

a b (a дорівнює b);

будь-яких дійсних чисел a та b

a b (a менше за b,

b більше за a)

встановлено одне з трьох відношень:

a b (a більше за b,

b менше за a)

Властивості рівностей.

Властивості нерівностей.

Якщо a b,b c, то a c.

Якщо a b,b c,

то a c.

Якщо a b, то:

Якщо a b, то:

a c b c;

a c b c;

ac bc;

ac bc,c 0

і ac bc, c 0;



a

b

, c 0



a

b

, c 0

і

a

b

, c 0

c

c

c

c

c

c

Нерівність Бернуллі

n

1 nh (h 1, n )

(1 h)

Середнє арифметичне

A

a1

a2

... an

чисел a1,a2,...,an

n

n