Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2524 25 > Следующая >>>

		10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції																												231
Відповіді
9.11. 1) 1; 2) 0; 3) 2; 4) 6;							5) 3;					6) 1 .
												3
9.12. 1) 3 ; 2)	3;			3) 48; 4) 7; 5)								4; 6) 2; 7) 3;							8) 6;		9) 3;			10)	1 ;		11) 25; 12) 9;			13) 0.
2																									3
9.13. 1) 1; 2) 1; 3) log2 21; 4) 1; 5) 8; 6) 4; 7) 0; 8) 0.
9.14. 1) 4 2 log		2		a 3 log				2	b;	3)		3 log				2	a		7 log		b;		5)	4 log			3 3 log	2	a 4 log b;
		2						2								2			2	2						2	2	2		2
7) 3 log2 b 5 log2 a 2.																			2								2
7) 3 log2 b 5 log2 a 2.
9.15. 1) 0; 3) log2 5; 5) { 1; 2}; 7) 1.
	17								10				1						1
9.16. 1) 32; 2)	17		;	3) 3;			4)		10		;		1	; 8					1
9.16. 1) 32; 2)			;	3) 3;			4)				;	5)		; 8		; 6)				;1 .
	2								9				2						5
	2								9				2						5		5) ( 1; );						6) ( ; 0); 7) (1; 2);
9.17. 1) ( ; 3);			2) ( ; 1]; 3)									[2; );			4) (6; );						5) ( 1; );						6) ( ; 0); 7) (1; 2);
8) ( ; 0] [2; ).
						7												3			1
	1			2)	2;	7				(3;11];					1;			3	;		1			3		; 2 ;
9.18. 1) ;	;			2)	2;		; 3)			(3;11];			4)		1;				;	5)		; 4		; 6)		; 2 ;
						3
	4					3												2			3			4
7) ( ; 0) (1000; ); 8) [3; 9].
9.19. 1) (6; 7) (7; );								2) D(y) ( 4; 3) ( 3; ).

10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції

Навчальні задачі

10.1. Визначити знак sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2.

Розв’язання. [5.8.2–5.8.6, 5.10.7.]

Оскільки 2 , то точка P одиничного кола лежить																	y
Оскільки 2 , то точка P одиничного кола лежить																P2
2		2																	sin 2
2																			sin 2
у 2-й чверті.	sin 2 0, cos 2		0,																2	1 x
																			2
																cos 2
tg 2 sin 2 0, ctg 2			cos 2				0.
	cos 2				sin 2											Рис. до зад 10.1
																Рис. до зад 10.1
10.2. Знайти cos , tg , ctg ,		якщо sin								4	,				3 .
Розв’язання. [5.10.5, 5.8.6, 5.10.7.]										5					2
Розв’язання. [5.10.5, 5.8.6, 5.10.7.]
Точка P одиничного кола лежить у 3-чверті, отже cos 0 і
												4	2		3
				2									2
cos 1 sin				2												;
cos 1 sin								1								;
															5
												5			5
	sin							4						1			3
	sin	4				3		4						1			3
tg			:						;	ctg								.
tg			:						;	ctg								.
	cos							3						tg 4
	cos	5				5		3						tg 4

cos sin

232 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

10.3. Зведіть до функції гострого кута:

	1)	sin	17		;				2) cos 735 ;
			3
	3)	tg( 1759 );							4) ctg		7	.
	3)	tg( 1759 );							4) ctg			.

	5)	cos	2	;					6) sin	5 .
			3							6
Розв’язання. [5.10.3, 5.2.5.]
	17
													3
1. sin													3
		sin			3 2		sin		sin					.
		sin			3 2		sin		sin					.
	3									3			2
	3					3		3		3			2

2.cos 735 cos(2 360 15 ) cos 15 .

3.tg( 1759 ) tg(41 10 180 ) tg 41 .

	7
4. ctg			2								ctg			1.
4. ctg		ctg	2			ctg					ctg			1.
													4
					4					4			4
	2										1
5. cos	2				cos						1	.
5. cos		cos			cos							.
	3							3			2
	3			3				3			2
	5								1
6. sin	5				sin				1	.
6. sin		sin			sin					.
	6						6		2
	6			6			6		2



	tg cos( ) tg
					2
10.4. Спростити вираз					2	.
10.4. Спростити вираз						.


	sin	ctg		tg

	2		2		2

Розв’язання. [5.10.3.]


	tg cos( ) tg
	tg cos( ) tg
					2
					2



	sin	ctg		tg

	2		2		2
10.5. Спростити вираз:
1) sin 32 cos 28 cos 32 sin 28 ;						2)
		sin 15 cos 15

( tg )( cos ) ctg 1. cos ( tg )( ctg )

cos2 sin2 .

Розв’язання. [5.10.7.]
1.	sin 32 cos 28 cos 32 sin 28	2 sin(32 28 )	2 sin 60
	sin 15 cos 15	2 sin 15 cos 15	sin 30

2 23 : 12 23.

		10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції					233
2.		cos sin	2 cos sin	sin 2	1 tg 2 .
2.	cos2 sin2		2 cos sin	2 cos 2	1 tg 2 .
	cos2 sin2		2 cos 2	2 cos 2	2
10.6.		Подати cos x cos 3x як суму тригонометричних функцій.
Розв’язання. [5.10.10.]
cos x cos 3x 1 (cos(x 3x) cos(x 3x))					1 cos 4x	1 cos( 2x)
		2			2	2

12 cos 4x 12 cos 2x.

10.7.1.Перетворити вираз sin x cos x, упроваджуючи допоміжний кут.

Розв’язання. [5.10.12.]

І спосіб (перетворення у синус суми).

			sin x cos x							1


	2	2
sin x cos x	1	1					2	sin x			cos x
					2					2
					2					2


2					cos x sin
2	sin x cos				cos x sin				2 sin x			.
				4
				4		4						4

ІІ спосіб (перетворення у косинус різниці).

			sin x cos x							1


	2	2
sin x cos x	1	1					2	cos x			sin x
					2					2
					2					2


2					sin x sin
2	cos x cos				sin x sin				2 cos x			.
				4
				4		4						4

10.7.2. Перетворити вираз sin x 3 cos x, у синус різниці, впроваджуючи допоміжний кут.

Розв’язання. [5.10.12.]

[Крок 1. Визначаємо амплітуду.]

A 12 ( 3)2 10.

[Крок 2. Множимо і ділимо вираз на амплітуду, перетворюємо його.]

		sin x 3 cos x									1			3
		sin x 3 cos x									1			3

sin x 3 cos x	10						10	sin x					cos x			.
			10								10
			10								10				10
[Крок 3. Визначаємо допоміжний кут із системи.]
			1
			1


	cos				,				3
			10			arcsin			3	.


			3						10
									10
	sin			10
				10
[Крок 4. Записуємо перетворену формулу.]
										3


sin x cos 3x						10 sin x arcsin						.
sin x cos 3x						10 sin x arcsin						.

										10

Коментар.  Оскільки cos 0 та sin 0, то кут лежить у першій чверті.

234 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

10.8.	Обчислити:
							1

	1) sin																		2) tg(arctg			2);
	1) sin		arcsin						;										2) tg(arctg			2);

							3


	3) arcsin sin								;										4) arctg tg						;
																								5
							8																	5
	5) arcsin(sin 3);																		6) arccos(cos 4).
Розв’язання. [5.9.10.]
			1		1
			1		1		.
1. sin arcsin							.
					3
			3		3
2. tg(arctg
2. tg(arctg		2)			2.

								, оскільки									;		.
3. arcsin sin								, оскільки									;		.

			8		8									8		2
			8		8									8		2			2

																				;
4. arctg tg												, оскільки								;	.
										5
				5						5						5			2 2

5. arcsin(sin 3) arcsin(sin( 3))																			3, оскільки 3									;
5. arcsin(sin 3) arcsin(sin( 3))																			3, оскільки 3									;	.
6. arccos(cos 4) arccos(cos(2 4)) 2 4, оскільки																											2		2
6. arccos(cos 4) arccos(cos(2 4)) 2 4, оскільки																							2 4			[0 ].

10.9.	Знайти										3
10.9.	Знайти			tg arcsin								.

											5
Розв’язання. [5.9.5.]
Нехай arcsin			3	.
			5
Розглянемо прямокутний трикутник з гіпотенузою c 5																							і катетом a 3, який
лежить проти кута .
За Піфагоровою теоремою маємо

Тоді	b c2 a2 52 32														16			4.								5
																										5			3
																													3
						tg a								3 .
						tg a								3 .
													b	4															4
													b	4

Рис. до зад 10.9

10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції

235

10.10.1. Розв’язати рівняння sin x

Розв’язання. [5.11.1.]

n, n .

sin x

( 1) arcsin

n ( 1) 3

x ( 1)n 3 n, n .

10.10.2. Розв’язати рівняння sin x					1 .
Розв’язання. [5.11.1.]					3
Розв’язання. [5.11.1.]
	1	n		1		n 1		1
sin x	1	n		1		n 1	arcsin	1	n, n .
sin x		x ( 1)	arcsin			n ( 1)	arcsin		n, n .
	3			3				3
	3			3				3

x ( 1)n 1 arcsin 13 n, n .


							2x		0.
10.10.3. Розв’язати рівняння sin							2x		0.

								4
Розв’язання. [5.11.1.]
													n
	2x		0	2x		n 2x					n x			, n .
sin	2x		0	2x		n 2x					n x			, n .
					4					4		8	2
		4			4					4		8	2

xn , n . 8 2

10.11.1. Розв’язати рівняння		cos x	2	.
10.11.1. Розв’язати рівняння		cos x	2	.
Розв’язання. [5.11.2.]			2
Розв’язання. [5.11.2.]

	2				2
	2				2
cos x						2 n

	2	x arccos			2
	2				2


		2
		2
	arccos				2 n

x			2 n x
		2
		2		4

x 3 2 n, n . 4

10.11.2. Розв’язати рівняння cos x 13 .

Розв’язання. [5.11.2.]

236 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

cos x 13 x arccos 13 2 n, n x arccos 13 2 n, n .

						x
									0.
10.11.3. Розв’язати рівняння cos									0.

						2		3
Розв’язання. [5.11.2.]
		x				x					x
				0						n
		cos		0						n
						2	3		2		2
		2	3			2	3		2		2
					x		5	2 n, n .
							3
x	5	2 n, n .
	3

5 n

10.12. Розв’язати рівняння tg x 3.

Розв’язання. [5.11.3.]

	tg x 3 x arctg(		3)		n x arctg	3 n
		x			n, n .
		x		3	n, n .

x	3 n, n .

10.13. Розв’язати рівняння ctg x 1.

Розв’язання. [5.11.4.]

	ctg x 1 x arcctg( 1) n x				arcctg 1 n
		x n x		3	n, n .
		4		4
x	3	n, n .
	4
10.14. Розв’язати нерівність sin x			1 .
			2

Розв’язання. [5.11.1.] 

[Розв’язуємо нерівність, будуючи графіки y sin x і y 12 . ] arcsin 21 6 .

10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції							237
		y			y sin x
	y	1			y sin x
	y	1
		2
							x
		O				5
			6			6
		Рис. до зад 10.14
1
Нерівність sin x правдива для				;		Ураховуючи періодичність
Нерівність sin x правдива для			x	;	.	Ураховуючи періодичність
2
2			6		6

синуса, маємо

		5
	2 n;
x	2 n;		2 n , n .
		6
6		6

Коментар.  Задачу можна розв’язати за допомогою графіка одиничному колі.

10.15. Розв’язати нерівність cos x	2	.
	2

Розв’язання. [5.11.2.] 

[Розв’язуємо нерівність за допомогою одиничного кола.]

arccos	2	.
arccos	2	.
	2	4					7
			2				7
Нерівність cos x
Нерівність cos x				правдива для	x	;	. Урахо-
			2
			2		4		4

вуючи періодичність косинуса, маємо

		7
	2 n;
x	2 n;		2 n , n .
		4
4		4

10.16. Знайти область означення функції f (x) arcsin tg x.

Розв’язання. [5.9.6, 5.11.3.]

Функція f (x) означена, якщо				1	і x

		tg x				2 n, n .
						2 n, n .
					tg x 1,
	tg x
	tg x		1
					tg x 1.
					tg x 1.

y sin x або на

y
		2
	4	2
	4	2
		2
	1	x

Рис. до зад 10.15

238 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

arctg 1 4 ; arctg( 1) arctg 1 4 .

		n x					n, n .
	4	n x				4	n, n .

D(f ) : x			n;		n			, n .
D(f ) : x		4	n;	4	n			, n .
		4		4

y
1
	4
	1
	x

1	4

Рис. до зад. 10.16

10.17. Знайти множину значень функції y 11 cos x.

Розв’язання. [5.8.8.]

Для всіх x правдиві нерівності

1 cos x 1 11 11 cos x 11.

Множина значень функції E(y) [ 11;11].

10.18.1. Побудувати за допомогою геометричних перетворень графік функції y 3 sin 2x.

Розв’язання. [5.8.7, 5.15.3, 5.15.4.]

Графік заданої функції дістанемо з графіка функції y sin x стисканням у 2 рази вздовж осі Ox і розтягуванням у 3 рази вздовж осі Oy.

y sin x y

sin 2x y 3 sin 2x.

y sin x

y sin 2x

y 3 sin 2x

Рис. до зад. 10.18.1

10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції

239

10.18.2. Побудувати за допомогою геометричних перетворень графік функції

x

y tg		.

2		4

Розв’язання. [5.8.9, 5.15.1, 5.15.3.]

[Перетворюємо аргумент функції, щоб дізнатись про «справжній» зсув.]

	x					1
					tg
	y tg				tg		x			.
									2
	2		4			2			2
Графік заданої функції дістанемо з графіка функції y tg x												розтяганням у 2 рази
вздовж осі Ox	і перенесенням на	вздовж осі Ox.
	2
				x				1
	y tg x y tg				y tg
	y tg x y tg				y tg				x			.
				2
				2				2			2
y					y

O
O				2
		3	x
2	2	2	x

O		3
O	2	2

y tg x2

	O	3
2	O	2	5
		2	5	3	x
	2	2	2	3	x


x
y tg

2		4

	O	3
2	O	2	5
		2	5	3	x
	2	2	2	3	x


x
y tg

2		4

Рис. до зад. 10.18.2

240 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

10.18.3. Побудувати за допомогою геометричних перетворень графік функції y arcsin x .

Розв’язання. [5.9.1, 5.15.5, 5.15.7.]

Графік функції y arcsin	x	дістанемо з графіка функції y arcsin x так:

1)будуємо частину графіка y arcsin x, x 0;

2)доповнюємо побудовану криву її дзеркальним відбитком щодо осі Oy.

Графік функції y arcsin x		дістанемо з графіка функції y arcsin x дзерка-
льним відбиттям щодо осі Ox.
y arcsin x, x 0		y arcsin x	y arcsin		x .
y			y

2
2			2
			2
O	1 x		1 O	1	x
y arcsin x,x 0			y arcsin x
y			y

2			2
1	1		1		1
	1				1
O	x		O		x
O			O

	2			2
y arcsin x			y arcsin x

Рис. до зад. 10.18.3

Задачі для самостійної роботи

10.19. Виразіть у радіанах кут:

1)	20 ;			2)	45 ;
3) 135 ;				4)	240 .
10.20. Виразіть у градусах кут:
1)			;	2)		;
	18
					4
3)		2	;	4)		7	.
	3				6

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2524 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025111.1 Кб0Практика-1.doc
#
01.05.2025100.53 Кб0практика.docx
#
12.05.2015165.58 Кб16практика.pdf
#
01.07.2025942.59 Кб0ПРАКТИКА_3.doc
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб53Практикум 2.pdf
#
01.07.2025197.84 Кб0Практикум 6.docx
#
01.07.20252.24 Mб0ПРАКТИКУМ ММІ PART ІІ.doc
#
12.05.20155.25 Mб12Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб56Практикум_Ромашко.pdf
#
01.07.2025230.4 Кб0Практине заняття-заочники.doc