Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2522 23 24 25 > Следующая >>>

			6. Квадратична функція				211
[Крок 2. Розкладаємо многочлен на множники.]
					1
	2				1	x 1	16x 1 x 1 .
16x		15x 1	16	x		x 1	16x 1 x 1 .
					16
					16

6.4.Скоротити дріб 2x2 7x 4 .

x2 5x 4

Розв’язання. [5.5.5.]

[Розкладаємо многочлени в чисельнику і знаменнику дробу на множники.]

2x2 7x 4 0. a 2,b 7,c 4.

D 72 4 2 ( 4) 49 32 81 0.

										1 ,
		7 81		7	9
x1,2		7 81		7	9			x
x1,2		2	2	4					1	2
		2	2	4						4.
								x	2	4.

	2					1
2x	2	7x 4				1				4 .
2x		7x 4		2 x			x			4 .
						2
						2
			x2 5x 4 0.
			a 1,b 5,c 4.
D 52 4 1 4 25 16 9 0.
								x1 1,
x1,2		5 9		5 3				x1 1,
x1,2		2	1	2						4.
		2	1	2				x2		4.

x2 5x 4 x 1 x 4 .

[Підставляємо розкладені многочлени і скорочуємо дріб.]

x 4

7x 4

2x 1 .

x 1 x 4

x2 5x 4

x 1

6.5.1.Вилучити повний квадрат з многочлена x2 4x 5.

Розв’язання. [5.5.3.]

x2 4x 5 x2 2 2 x 22 22 5 (x 2)2 1.

6.5.2.Вилучіть повний квадрат з многочлена 2x2 9x 5.

Розв’язання. [5.5.3.]

212 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

	2			2	9		5
2x	2	9x 5 2		2	9	x	5
2x		9x 5 2	x			x
					2		2
					2		2

					2										2
	2	9			2			5		81				9		121
	2	9			9			5		81				9		121
		2 x										2						.
2 x		2 x			2							2	x					.
		4			2			2		16				4			8
		4			4			2		16				4			8
6.6.1. Розв’язати нерівність x2 6x 8									0.
Розв’язання. [5.5.7.]
[Крок 1. Знаходимо корені квадратного тричлена.]
				x			6,					2,
		x	1	x		2	6,			x	1	2,
			1			2					1		.
					8							4.	.
		x1x2			8					x2		4.


[Крок 2. Наносимо на числову вісь знайдені ко-
[Крок 2. Наносимо на числову вісь знайдені ко-
рені і вилучаємо їх.]																			x
рені і вилучаємо їх.]														2				4	x
														2				4

[Крок 3. Визначаємо знак многочлена в кожному з

інтервалів, на які розбивають корені рівняння чис-	Рис. до зад 6.6.1
інтервалів, на які розбивають корені рівняння чис-
лову вісь, проводячи хвилясту криву.]
[Крок 4. Записуємо відповідь.]
x (2; 4).

Коментар.  «Змійку» запускають праворуч від найбільшого кореня:

1)зверху, якщо старший коефіцієнт многочлена додатний;

2)знизу, якщо старший коефіцієнт многочлена від’ємний.

На тих проміжках, де крива проходить:

1)вище числової прямої, виконано нерівність f (x) 0;

2)нижче числової прямої, виконано нерівність f (x) 0.

Оскільки нерівності строгі, то точки x 2 та x 4 не включаємо у відповідь.

6.6.2. Розв’язати нерівність x2 4x 3						0.
Розв’язання. [5.5.7.]
		x			4,			1,
x	1	x		2	4,	x	1	1,
	1			2			1
			3				2 3.
x1x2			3			x	2 3.


[Оскільки нерівності нестрогі,			то точки x 1
та x 3 включаємо у відповідь].									1	3	x
x ( ;1] [3; ).									1	3
x ( ;1] [3; ).

Рис. до зад 6.6.2

6.7.Побудувати за допомогою геометричних перетворень графік функції

y x2 4x 5.

Розв’язання. [5.5.7, 5.15.1, 5.15.2.]

[Перетворюємо квадратичну функцію, вилучаючи повний квадрат.] y x2 4x 5 (x 2)2 1.

6. Квадратична функція

213

Графік заданої функції дістанемо з графіка функції y x2 перенесенням ліворуч на 2 вздовж осі Ox і на 1 вгору вздовж осі Oy :

y x2 y (x 2)2 y (x 2)2 1.

y
	y x2	y (x 2)2 y
O	x
		2	O	x
	y		y
	y (x 2)2 1		y (x 2)2 1
	1		1
2	O x	2	O	x
6.8. Знайти множину значень функції y x2		4x 5.

Розв’язання. [5.5.1]

[Вилучаємо повний квадрат у квадратичного многочлені.] x2 4x 5 (x 2)2 1.

Для всіх x правдиві нерівності:

(x 2)2 0 (x 2)2 1 1.

Множина значень функції E(y) [1; ).

Задачі для самостійної роботи

6.9.	Розв’яжіть рівняння:
	1) x2 9;			2) x2 5x 0;
	3) x2 6x 8 0;			4) x2 4x 4 0;
	5) x2 4x 5 0;			6) 2x2 x 3 0;
	7) x2 5	x	24 0;	8) x2	x 1	1 2x.

6.10.	Розкладіть многочлен на множники:
	1) x2 5x 6;			2) x2 8x 15;

214 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

3)	6x2	5x 6;	4) 10x2 17x 3;
5)	5x2	23x 10;	6)	7x2 8x 1.
6.11. Вилучіть повний квадрат двочлена:
1)	x2 4xy 4y2;		2)	x2 2x 10;
3) x2 4x 9;			4) 2x2 4x 9;
5) 4x2 3x 6;			6) 2x2 3x 1.

6.12. Розв’яжіть нерівності:

1) x2 4;

3) (x 1)2 0;

5) (x 1)(x 4) 0;

7) x2 x 2 0;

9) x2 3x 2;

6.13. Скоротіть дріб:

1) a2 4 ;

7a 14

3)7 6c c2 ;

21 3c

6.14.Знайдіть множину значень функції:

1)y x2 2x 2;

2) x2 16;

4)(x 2)2 0;

6)(x 3)(5 x) 0;

8) x2 3 x 2 0;

10) 2x2 12x 13 3.

y2 49

2) y2 5y 14 ;

5a a2

4) 5 34a 7a2 .

2) y x2 6x 5.

6.15. За допомогою елементарних перетворень побудуйте графік функції:

1) y 2x2;			2) y x2 4;
3) y (x 1)2;			4) y x2 6x;
5) y x2 4
	x	3;	6) y	x2 2x 8	;

Відповіді

6.9. 1) 3; 2) 0; 5; 3) 2; 4; 4) 2; 5) ; 6) 32 ;1; 7) { 8; 8}; 8) { 2; 0}.

												7. Многочлени																					215
																				2							1				3
6.10. 1) (x 2)(x 3); 2)										(x 3)(x 5); 3) 6							3			2							1				3
6.10. 1) (x 2)(x 3); 2)										(x 3)(x 5); 3) 6						x	x				; 4) 10				x			x				;
																				3							5
																	2			3							5				2
												1
							2		7			1
5) 5 x 5 x								; 6)	7	x 1 x			.

							5					7
						2				2					2						2								3	2		87
						2				2	(x				2	5;					2	7; 5) 4							3			87	;
6.11. 1) (x 2y) ; 2) (x										1) 11; 3)	(x			2)		5;	4) 2(x 1)					7; 5) 4				x							;
																																16
																													8			16
		3	2			17
6) 2 x		3				17		.
6) 2 x								.
		4				8
		4				8
6.12. 1) [ 2; 2];						2) ( ; 4) (4; ); 3)								\ {1};			4) { 2}; 5)					( ;1) (4; );									6) [ 3; 5];

																		17						3		17
7) ( ; 2] [2; );										8) ( 2; 1) (1; 2);						3		17	;1				2;	3		17			;
7) ( ; 2] [2; );										8) ( 2; 1) (1; 2);						9)			;1				2;						;
																	2								2
																	2								2

10) ( ;1] (2; 4] (5; ).
6.13. 1)	a 2			;	2)		y 7		; 3) c 1; 4)			a			. 6.14. 1) E(y) [1; ); 2)											E(y) ( ;14].
6.13. 1)		7		;	2)		y 2		; 3) c 1; 4)		7a 1				. 6.14. 1) E(y) [1; ); 2)											E(y) ( ;14].
		7					y 2			3	7a 1

7. Многочлени

Навчальні задачі

7.1.1. Розділити многочлени у стовп-

чик x3 x2 x 1 . x 2

Розв’язання.

[Ділити многочлени припиняють тоді, коли степінь остачі стане меншим за степінь дільника.]

x3 x2 x 1		x 2

x3 2x2
	x2 3x 5

3x2 x 1

3x2 6x

5x 15x 10

[Записуємо відповідь.]

7.1.2. Розділити многочлени у стовп-

чик

x5 x2

x2 x

Розв’язання.

x5 x2 1

x2 x 1

x5 x4 x 3

x 3 x2 2

x 4 x3 x2 1

x 4 x3 x2

2x2 1

2x2 2x 2

2x 3

x5 x

2 1

x2 x 1

x 3 x2 2

2x 3

2 x

216 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

x3 x2 x 1 x2 x 1

x2 3x 5	9	.

	x 2
	x 2

Задачі для самостійної роботи

7.2.	Розв’яжіть рівняння:
	1) x4 26x2 25 0;	2) x4 4x2 5 0;
	3) x3 x2 10x 8 0;	4) 4x3 13x 6 0.
7.3.	Розв’яжіть нерівності:
	1) (x 4)5(x 1)4(x 2)7 0;	2) (x 7)4(x 6)5(x 9)3 0;
	3) x4(x 6)5(x 9)3 0;	4) (x 4)5(x 3)4(x 2)7 0.

7.4.Розділіть многочлен на многочлен у стовпчик:

1)	2x3 5x		2 14x 8		;		2)	2x3 3x	2 11x 6	;
		x 2						x 3

3)	x4	3x3	x	2 8x 4		;	4)	x4 x3 3x2 2x 2			.
		x2	4x 4					x2	x 1

Відповіді

7.2.1) 1; 5; 2) 5; 3) 4;1; 2; 4) 2; 12 ; 32 .

7.3.1) ( 4;1) (1; 2); 2) { 7} [ 6; 9]; 3) ( ; 6] {0} [9; ); 4) ( ; 4) (2; 3) (3; ).

7.4. 1)	2x x 16		24	; 2) 2x2 3x 2		2	; 3) x2 x 1;
7.4. 1)	2x x 16		x 2	; 2) 2x2 3x 2		x 3	; 3) x2 x 1;
			x 2			x 3
4) x2 2x 4		4x 2			.

		x2 x
		x2 x		1

8. Степенева функція

Навчальні задачі

8.1.Записати у вигляді степеня (з дробовим або від’ємним показником):

1)	1		2) 3		;
		;		a

a3

8. Степенева функція

217

			1	.
3) 3 a2 ;	4)

Розв’язання. [5.3.1, 5.3.5.]		4 a5

1.1 a 3. a3

2.3a a13.

3.3a2 a23.

4.	1	1	a 5 4.
		a5 4
	4 a5

8.2.Виконати дії:


			1) 3 x6 ;			2) x6 .
Розв’язання. [5.3.6.]
	3		x6 3 x2.
1.	3	x6	x6 3 x2.
2.		x6		x6 2	x 3	.

8.3.Обчислити:

1)5410 ;

3)12 .

Розв’язання. [5.3.6.]

1. 5410 4105 42 16.

2.	4	4	2 .
	25	25	5
3.	12	12	4 2.
	3	3

8.4.Винести множник з під кореня:

1)527 ;

3) 42500;

Розв’язання. [5.3.6.]

1. 527 525 22 525 522 254.

2. 24 22 6 22 6 26.

2) 254 ;

2) 24;

4) 3a11b4 .

218 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

3. 42500 454 4 454 44 5422 52.

4. 3a11b4 3a9a2b3b 3a9b3 3a2b a3b3a2b.

8.5.Внести множник під корінь:

1) 33			2) a2 5		.
	6;			b

Розв’язання. [5.3.6.]

1. 336 333 36 333 6 3162.

2. a2 5b 5a10 5b 5a10b.

8.6.Спростити вираз:

1)		811 4 20;		2)	3					3
1)	4	811 4 20;		2)	3	81			49	3	24;
					5			.
							192t
3)	4		4 3a3 ;	4)
	4	27a
		27a
Розв’язання. [5.3.1, 5.3.5, 5.3.6.]					5 6t11
Розв’язання. [5.3.1, 5.3.5, 5.3.6.]

1.4 811 4 20 4 481 1 4 3 1 13.

2.381 49 324 333 3 7 323 3 333 33 7 323 33

333 7 233 1133.

3. 427a 43a3 427a 3a3 434a4 3a.

	5						5
4.		192t	5 192t		5 32			32	2	.

	5 6t11			6t11		t10	5 t10		t2

8.7.Спростити вираз:

1) 3 5 3 5;

2) 7 2 6.

Розв’язання. [4.16.4, 4.16.5, 5.3.6.]

1. 3 5 3 5 (3 5)(3 5) 32 (5)29 5 4 2.

2. 7 26 1 2 1 6 (6)2 (1 6)2 1 6

(1 6) 6 1.

8.8.Розкласти за формулою різниці квадратів:

1) x y;	2) x y.
Розв’язання. [4.16.5.]

1. x y (x )2 (y)2 (x y)(x y).

2. x y (4x )2 (4y)2 (4x 4y)(4x 4y).

8. Степенева функція

219

8.9.Розкласти за формулою різниці (суми) кубів:

1) x y;

2) 1 a.

Розв’язання. [4.16.5.]

1. x y (3x )3 (3y)3 (3x 3y)(3x2 3xy 3y2 ).

2. 1 a 13 (6a)3 (1 6a)(1 6a 3a).

8.10.1. Розв’язати рівняння 3x 6 9 2x.

Розв’язання. [5.3.8.]

І спосіб (з перевіркою знайдених коренів).

3x 6 9 2x; 3x 6 2 9 2x 2

3x 6 9 2x 5x 15 x 3.

Перевірка.

Для x 3 : 3 3 6 3; 9 2 3 3. x 3 — корінь рівняння.

ІІ спосіб (еквівалентних перетворень).

3x 6 0, 3x 6 9 2x

3x 6 9 2x

x 3.


x 2,
	x 3.
	x 3.
x 3

8.10.2. Розв’язати рівняння x 11 1 x.

Розв’язання. [5.3.8.]

І спосіб (з перевіркою знайдених коренів). x 11 1 x; x 11 2 (1 x)2

				2		2	x	1	2,
				2		2		1
x 11 1 2x x					x		3x 10 0 x		5.

								2
								2
Перевірка.
Для x 2:		2 11	9 3;1 ( 2) 3.
x 2 — корінь рівняння.
Для x 5 :
Для x 5 :	5 11 16		4;		1 5		4.

x 5 не є коренем рівняння. Отже, x 2.

ІІ спосіб (еквівалентних перетворень).



	1	x 0,
	1	x 0,				x 0,
					1	x 0,
		11 0,
x 11 1 x x		11 0,				11 1 2x x2
					x	11 1 2x x2
				2
				2
			x 11		2
			x 11		(1 x)

220 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

x 1,

x2 3x 10 0

x 2.

x 1,

x 5, x 2.

x 2

8.11.1. Розв’язати нерівність
8.11.1. Розв’язати нерівність							2x 1 2.
Розв’язання. [5.3.8.]

													1						1
				2x 1	0,									,						,
											x			,			x			,
	2x 1			1									2						2		x 1.
	2x 1			1	2			2					2						2		x 1.
					2			2				2x 1 1
				( 2x 1)		1						2x 1 1					x 1

x (1; ).
x (1; ).
8.11.2. Розв’язати нерівність
8.11.2. Розв’язати нерівність							2x 1 3.
Розв’язання. [5.3.8.]
															1							1
															1							1
				2x 1	0,											,							,
				2x 1	0,
												x						x
	2x 1			3		2				2					2							2
	2x 1			3		2									2							2
													1				9		4
				2x 1					3			2x	1				9	x	4


											1	x 4.
											2
		1
			; 4
x		2	; 4	.
		2