Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2519 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

																											15. Інтегрування дробово-раціональних функцій																																															181
Відповіді
15.6. 1)							4																	7										5								2)								3																4								2				; 3) 3x																	1					3
																																								;																																												5																				;
								x 1												x 3											x 4									;								x 1														x 2												x 3										5										x 1								x 4		;
4) x2 x 1																								1										1							;	5)								13																			3										2								2						;

																				x				2						x							4																						3															2				x	4						x					2
																				x				2						x							4										(x 4)																			(x 4)												x	4						x					2
	1						1														1																	3															1						2															x 1																	2							2x 1
6)																																														; 7)																																				;	8)																				.
6)			2																							2																				; 7)																										2										;	8)															2					.
		x						4x						2(x 2)																			4(x 2)																																				x x																			x 1										x 4
		x						4x						2(x 2)																			4(x 2)																					3 x 1															x x											1								x 1										x 4
15.7. 1) 4 ln													x 5												C; 2)										3				ln			4x 1															C;									3) C									1							; 4)											7						C;
																																			3																																								1																		7
																																			4																																																				2(x 2)2
																																			4																																							(x 2)3													2(x 2)2
5)	1		ln				x 1								C; 6)													1						arctg								2(x 1)																C; 7)																	1						C;			8)				1			arctg						x2 3						C;
	1						x 1																					1														2(x 1)																																	1													1									x2 3
	6						x 5
																														6																			6																						2(x2 4)																	4												2
																														6																			6																						2(x2 4)																	4												2
					x 1																							1																																															1					x2 5x																5					x 4
					x 1																							1																																															1																					5					x 4
9) ln															C; 10) 5 ln((x 2)2																																				2x 1) C																		; 11)							2 ln															4					6 ln					x 1			C;

						2x 1
						2x 1
12) 2 ln(x2 2x 6)																												1					arctg x															1 C.
12) 2 ln(x2 2x 6)																																	arctg x															1 C.
																														5																5
15.8. 1) ln											(x 1)4(x 4)5																								C; 2)															3									3x 1															2				2x 3									1 ln							x		C;

																																																						ln																						ln
																(x 3)7																																						ln																						ln
		x																																															11																							33															3
																																																	11																							33															3
3)																		7																							9
			ln						x									7					ln			2x 1															9		ln						2x 1												C;
			ln						x														ln			2x 1																	ln						2x 1												C;
	4													16																										16																												4
	4													16																										16
4)			1			ln				x									2									1				ln					x									3				C;									5)														ln				x 1						C;
			1							x									2									1									x									3
																																																																	x
	2 2									x 2																2 3										x 3																																	2
	2 2									x 2																2 3										x 3																																	2
6) x						1 ln								(x 1)2														C;							7)												3									ln								x 5									C;
														(x 1)2																																	3
																						x																			2(x												2
						x																x																			2(x									2)
8)		3						5 ln					x				20 ln												x 3													47 ln										x 2											C;
		3
		2x
							4																																				4
							4																																				4
								x						C; 10) 1 ln																							(x 1)2																						1			arctg							2x 1
9) ln																																																																													C;

																																			x2 x
						x2 1																						6							x2 x															1									3															3
11) ln							(x2 2x 5)3																							1 arctg x 1																				C;
11) ln												x 1																		1 arctg x 1																				C;
												x 1																		2													2
12)			x2			2x								2						2 ln(x2													2x 2) 2 arctg(x 1) C;
12)			2			2x									x					2 ln(x2													2x 2) 2 arctg(x 1) C;
			2												x				ln(x2 2)
13)				2 x															ln(x2 2)																						1			arctg													x			C;
			4(x2 2)																							2												4
			4(x2 2)																							2												4				2																	2
14)					13x 159																							53													x 3									C;									15)								15x5						40x3						33x									5				arctg x C;
																												16 arctg																																										48(1 x2 )3
			8(x2 6x 13)																									16 arctg															2																											48(1 x2 )3																			16
																																																																											x																x 1
16)							1																			3															1									C;									17)									1				ln			x				3					1		ln					x 1							C;
				6(x								6																		7						4(x											8																																					4							x 1
												6																		7																	8																			4 3									x 3
												1)										7(x 1)																							1)																					4 3									x 3
18)			3 arctg x																						x										3				ln				x 1												C.
																									x										3								x 1
																	4(x4											1)						16									x 1
			8														4(x4											1)						16									x 1

182Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

16.Інтегрування тригонометричних виразів

Навчальні задачі

16.1. Знайти:

;

sin3 xdx

;

cos

3 cos x sin x 5

cos5 x

dx;

sin

3 sin x cos x cos

Розв’язання. [8.5.1–8.5.4.]

							[8.5.1]			t tg x			; sin x						2t			,
		dx					[8.5.1]			t tg x			; sin x						t2			,
		dx										2		t2			1		t2
3 cos x sin x 5										cos x			1	t2			,dx				2dt
										cos x			1	t2			,dx			1	t2
													1	t2						1	t2
						2dt
																dt										dt
					1 t2											dt										dt
			3 3t2					2t				5			t2 t 4								t		1		2		15
																									2				4
			1 t2				1 t2																		2				4
			1 t2				1 t2
	2				2									2							2			x				1
	2				2						1	C		2							2			x				1		C.
			arctg					t										arctg					tg


	15													15										2
	15					15					2			15						15				2				2
sin3 xdx				( sin x)3					sin3 x					[8.5.2]
														[8.5.2]


cos2 x				cos2 x								cos2 x

sin2 x sin xdx

(1 cos2 x)d(cos x)

cos2 x

d(cos x)

cos x

cos

cos x

cos5 x

( cos x)5

cos5 x

[8.5.3]

cos4

x cos xdx

sin

t sin x;dt cos xdx;

(1 sin2 x)2d(sin x)

cos2 x 1 t2

sin4 x

d(sin x)

sin x C.

sin

3 sin

sin x

sin

x 3 sin x cos x cos

16. Інтегрування тригонометричних виразів

183

[8.5.4]

( sin x)2 3( sin x)( cos x) ( cos x)2

sin2 x

3 sin x cos x

cos2 x

d(tg x)

tg2 x 3 tg x 1

cos2 x

tg2 x 3 tg x 1

d(tg x)

2 tg x 3

tg x

2 tg x 3 5

16.2.

Знайти:

dx;

;

cos

sin

cos4 x

dx;

4) tg4 xdx;

sin

5) ctg3 xdx.

Розв’язання. [8.5.]

cos2 x sin2 x

sin2 x

[8.3.4]

cos

cos x

cos

u sin x

du cos xdx

sin x

dv sin xdx

cos x

2 cos2 x

cos x

cos3 x

2 cos2 x

sin x

2 cos

[8.5.1]

t tg

, dx

2dt

(1 t2 )6dt

1 t2

....

sin

sin x

64t

1 t2

cos4

[8.5.4]

ctg5 x

ctg4 x

ctg4

xd(ctg x)

x dx

sin6

sin2

[8.5.8]

4) tg

xdx tg

xdx

1 dx

cos

184	Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

xd(tg x) tg

xdx

tg3 x

cos x

tg x x

[8.5.9]

5) ctg

xdx

ctg x ctg

x dx ctg x

sin x

ctg xd(ctg x) ctg xdx

d sin x

2 ctg2 x

sin x

1 ctg2 x ln

sin x

16.3. Знайти:

1) sin 6x cos 7xdx;

2) cos4 3xdx.

Розв’язання. [8.5.7, 8.5.10.]

					[8.5.10]				1									1				1

1) sin 6x cos 7xdx										( sin x sin 13x)dx
																			cos x				cos 13x	C.
																			cos x				cos 13x	C.
									2													13
									2									2				13
		4		[8.5.7]				1 cos 6x				2			1							2	6x dx
2) cos		4	3xdx																			2
2) cos			3xdx									dx				1 2 cos 6x cos
										2					4
										2					4
	1 cos 12x					1					1		3			1				1

							cos 6x					dx		x			sin 6x				sin 12x C.
			8			2					4		8			12				96
			8			2					4		8			12				96

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

16.4. Знайдіть:

1)	cos 3x cos xdx;					2)	sin 5x sin			x	dx;

							2
3)	sin	3	x cos	x	dx;	4)	cos4	x	dx.
		4
			4				2

16.5. Знайдіть:

1)	sin3 xdx;	2)	cos5 xdx;
3)	sin3 x cos2 xdx;	4)	sin2 x cos5 xdx;
5)	sin2 x cos2 xdx;	6)	sin2 x cos4 x;

																															16. Інтегрування тригонометричних виразів																																																														185
								7)												3																																						8)													4
								7)									sin			4 x dx;																																						8)								sin					2 x dx;
																cos									x																																									cos						x
								9) ctg4 xdx;																																																		10) tg5 xdx;
								11)																			dx									;																						12)															dx										;
								11)										5 3 cos x																		;																						12)										5 4 sin x															;
								13)																										dx															;									14)																			dx													;
								13)										5 4 sin x 3 cos x																															;									14)										3 2 sin x cos x																						;
																		5 4 sin x 3 cos x																																																		3 2 sin x cos x
								15)																								dx															;											16)																							dx												;
								15)										4 sin										2			x		7 cos											2	x		;											16)										4 3 cos												2		x					5 sin				2	x	;
																		4 sin													x		7 cos												x																							4 3 cos														x					5 sin					x
								17) sh3 xdx;																																																		18) ch3 xdx;
								19)																							dx												;															20)														sin 2xdx															.

																		sin					4				x cos												4		x																											cos				4			x	sin								4	x
																		sin									x cos														x																											cos							x	sin									x
Відповіді
16.4. 1)								1			sin 2x											1				sin 4x C; 2)																						1		sin					11	x			1		sin				9		x C; 3) cos																		x			1	cos x C;
								4													8																											11							2			9							2																				2		2
4)	3x								sin x										sin 2x												C.
4)																															C.
		8									2									16
16.5. 1) cos x																				cos3 x												C; 2)										sin x								2 sin3 x								sin5 x							C;
16.5. 1) cos x																											3					C; 2)										sin x								3											5				C;
																											3																							3											5
	1													1																									1											2								1
3)	5 cos5 x													3 cos3 x C; 4)																											sin3 x												sin5 x								sin7 x C;
3)	5 cos5 x													3 cos3 x C; 4)																										3	sin3 x										5		sin5 x							7	sin7 x C;
5)	x						sin 4x									C;								6)							x				sin 4x												sin3 2x								C; 7)									1											1					C;
5)	8									32						C;								6)						16								64											48						C; 7)							3 cos3 x												cos x						C;
	8									32																				16								64											48													3 cos3 x												cos x
8) tg x											1	sin 2x														3			x C; 9)													x				1		ctg3 x ctg x C;
8) tg x											4	sin 2x												2					x C; 9)													x				3		ctg3 x ctg x C;
											4													2																						3
10)			1		tg4					x					1		tg2				x ln													cos x								C;						11)				1		arctg 2 tg									x			C; 12)											2		arctg							5 tg x2 4								C;
			1												1																																					1											x														2									5 tg x2 4

			4							1				2																													x							2								1			2						2 tg x									3											3
			4											2																																				2											2															3											3
																																																																														7

13)																C					;				14) arctg													tg							1 C; 15)																		ln																			C;
13)									x							C					;				14) arctg													tg							1 C; 15)																		ln																			C;
						tg			x		2																																2														4 7									2 tg x 7
						tg		2			2																																2														4 7									2 tg x 7
			1					2																											1																																		1
16)			1	arctg(3 tg x) C; 17)																															1		ch3 x ch x C;																				18) sh x												1	sh3 x C;
			3								1																								3																															3
19) C													arctg(															ctg 2x) C;																	20) arctg(tg2 x) C.
																									2

											2
											2

186Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

17.Інтегрування ірраціональних виразів

Навчальні задачі

17.1. Зінтегрувати, використовуючи відповідну замінну змінної:

xdx

;

2x 1

;

2x 1 2x

;

3x2 6x 4

x x2 x 1

Розв’язання. [8.6.]

xdx

[8.6.4]

1 t6,

(t6

1)t5dt

x t6 1,

x 1

dx 6t5

t3(t6 1)

dt 6 t8 t7 t6 t5 t4 t3 dt

t 1

6 x 1

[8.6.4]

2x 1

1 t2

2x 1 dx

2tdt

2x 1 2x 1

; 2x 1

(1 t2 )2

1 t2

t 2tdt

1 dt

2 2

1 t

(1 t )

1 t2

1 ln

1 t

2x 1

1 ln

2x 1

1 t

2x 1

2x 1 2x 1

3x2

6x 4

[5.5.3]

[8.6.1]

(x 1)

x 1 (x 1)2

(x 1)

[8.6.3]

1 ; x

1 ;dx dt2

x2 x 1

17. Інтегрування ірраціональних виразів

187

					dt				dt			dt

	1						1		1 t t2		5		1			2
t								1				t
			2
		t	2				t				4			2
		t				1	t
arcsin		t				1	C arcsin 2t			1 C arcsin 2					x C.
		t				2

				5
				5					5				5x

				2
				2

17.2. Використовуючи тригонометричні підстановки, знайти:

			1)								dx							;																2)									dx							.


								2				2																														(4 x				2	3
							x	2			x	2	9																																	2	3
							x				x		9																																		)
Розв’язання. [8.6.6.]
																																								3dt
																																								3dt

				dx										x 3 tg t, t											0; ; dx																2
				dx																																					2
1)																													2										cos t
1)																																							cos t
	x	2		x		2	9																																3
		2				2										x2 9 9 tg2 t 9																							3
																x2 9 9 tg2 t 9																						cos t
																																						cos t
												3dt												1		cos tdt											1				d sin t										1
																								9																													C
								2					2							3				9			sin			2	t						9					sin		2	t						9 sin t		C
					cos				t	9 tg							t
					cos				t	9 tg							t			cos t
									1			1					1			C						1				1					x	2		C										x2 9				C.
									9 cos t						tg t					C					3x					1					9			C											9x			C.
									9 cos t						tg t										3x										9														9x
																										0;					;dx 2 cos tdt; sin t x ;

				dx										x 2 sin t, t
2)																													2																						2

			(4 x2)3
			(4 x2)3														4 x				2			4							2		t			2 cos t
																	4 x							4	4 sin								t			2 cos t
																			2 cos tdt						1							dt							1			tg t			C

																			8 cos			3	t		4						2				t				4
																			8 cos				t		4					cos					t				4
										1						sin t							1						x						C										x						C.
																							1												C																C.
										4				1 sin2 t										4 2				1				x2									4				4 x2
														1 sin2 t										4 2				1				4									4				4 x2

17.3. Знайти, використовуючи теорему Чебишова:

			dx						3	1		4	x
1)								;	2)					dx;
				3			3
	x(1			3			3				x
	x(1				x )						x
3)		dx				.

	4
	4	1
		1	x 4

Розв’язання. [8.6.5.]

188	Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

																																																		m				1, n													1	, p 3
1)				dx											x					1(1 x												1 3					) 3dx																														3
				dx																												1 3																										k НСК(1, 3) 3;

						3			3
						3			3
	x(1							x)						записуємо підінтегральний вираз																																																	3	;		dx			2
														як диференціальний біном																																												x t						;		dx			3t dt
																																																												визначаємо випадок
																																																												визначаємо випадок
																							1			(1 t) 3 3t2dt 3																																		dt
																							3			(1 t) 3 3t2dt 3																																						3
																							t																																t(1 t)
															1 t t																									1														1								...
															1 t t																									1														1
															t(1 t)3																					(1 t)3													t(1 t)2
															t(1 t)3																					(1 t)3													t(1 t)2
																							1									1												1														1
																							1							1				t								(1			t)2
																							t							1				t								(1			t)2										(1 t)3
																							1									1												1														1
																							1									1												1														1

														3
														3																																		2															3	dt
																													1 t																			2															3
																					t								1 t												(1 t)													(1 t)
											3 ln							t			3 ln												1 t														3											3								C
																																															3											3

																																													1 t											2(1 t)2
																									3																				1 t											2(1 t)2
													3 ln												3			x															3															3							C.

																						3					1												1 3														2(3							1)2
																						3		x			1												1 3							x							2(3						x	1)2

	3 1					4
2)	3 1					4		x		dx		x							1 2										x						1 4 1 3								dx
																									(1													)

					x
					x
																									m													1 , n										1	, p									1 ;
																									m													1 , n										1	, p									1 ;
												m 1																										2										4										3
												m 1								2														1 x1 4 t3																	;t (1 x1 4 )1 3;
															n
															n																1 x 3 4dx 3t2dt
																															1 x 3 4dx 3t2dt
																														4
	x1 4(1 x1 4 )1 3x 3 4dx (t3 1)t 12t2dt 12 (t6 t3)dt
														7			t		4																	12 3
														7					4																													4																			4
											t																																					4				7									3						4		4
							12																																			(1 x )															3 (1 x ) C.

												7				4					C																7
												7				4																					7

3)				dx						x0(1 x 4) 1 4dx
		4
		4	1 x4
			1 x4

17. Інтегрування ірраціональних виразів

189

m 0, n 4, p 14 ;

m 1 p 0 x 4 1 t4; n


x	1				;dx	t3dt
		(t4 1)1 4				(t4 1)5 4
(t4 1)1 4				t3dt			t2dt
	t		(t4 1)5 4				t4 1

(x 4 1) 14 x 1dx

1			1			1

							dt
		2			2
2			1	t
	t					1

1 ln

t 1

1 arctg t C

1 ln

x 4 1

1 arctg 4

x 4

1 C.

t 1

4 x 4 1 1

Задачі для самостійного розв’язання

17.4. Знайдіть:

dx;

2 x

;

2x 1

1 x dx

;

x 1 x

;

13x 8x2

xdx

9) 2x2 5x 3;

xdx

11) 8 3x 2x2 ;

13) (2x 3)4x x2 ;

15) 1 x2 dx; 2 x2

2)					dx							;

					3				4
		x			3	x		2	4
		x				x		2		x

4)				2x 3				dx;
	3
	3	2x 3 1
		2x 3 1

							3
6)			1 x
6)							dx;

			1 x
8)					dx						;


		11 9x 7x2

10)3x2 x 9 dx;

12)

5x 3

dx;

1 13x 5x2

14)

;

2x2 1

16)

;

x2 1

190	Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

17)							(1 3							)4dx;	18)	x 1(1 x1 3) 3dx;
17)			x				(1 3						x	)4dx;	18)	x 1(1 x1 3) 3dx;
							dx
19)							dx					;			20)	x5 3 (1 x3)2dx;

	x	3
		3
						x2 1
21)					dx					;					22)			1 x			4		dx;
	4																		x	5
	4		1 x 4																	5
			1 x 4
	3
				1 4
									x
23)															24)		3 1 4
											dx;											xdx.

								x
								x

Відповіді

17.4. 1) 65 6x5 32 3x2 2x 33x 66x 6 ln 6x 1 C;

2) 2x 33x 84x 66x 4812x 3 ln(1 12x ) 332 ln(6x 12x 2)

171	arctg	212 x 1	C;

7		7

3)		3 3		36		3 ln(6		1) C
3)	t	3 3	t	36	t	3 ln(6	t	1) C	;
		2							t 2x 1
									t 2x 1

	3 6										3 6													36									3 arctg 6
4)	3 6				t7						3 6				t5						t			36							t		3 arctg 6									t	C									;
	7										5																																			t 2x 3
	7										5																																			t 2x 3
																																									C; 6) (5 x)
5) ln							1 x										1 x								2 arctg										1 x																			1 x			6 arctg	1 x	C;
5) ln																									2 arctg										1 x																						6 arctg		C;
							1 x 1 x																												1 x																			1 x				1 x
		1					ln			x 13																																		1			arcsin						14x		9
7)		1																		x2 13 x														5				C; 8)						1									14x		9	C;
7)																				x2 13 x																		C; 8)																		C;
	2		2									16															8							8										7										389

9)	1																				5													5										5	x				3
	1			2x2 5x 3																	5						ln					x		5		x2								5					3		C;
	2			2x2 5x 3																							ln					x		4		x2								2					2		C;
	2																	4							2									4										2					2

10)		1																				47												1									x 3
		1				3x2 x 9																47						ln				x		1			x2													C;
						3x2 x 9																						ln				x					x2													C;
		3																6							3									6										3
				1																							3			arcsin							4x				3
11)				1					8 3x 2x2																		3										4x				3		C;
11)			2						8 3x 2x2																																		C;
			2																						4		2								73
																							19						arcsin 10x											13 C;
12)					1 13x 5x2																		19
12)					1 13x 5x2
																		2							5										189
																x 6
13) C								1						ln		x 6											60x 15x2												; 14) arccos										1				C;
																								2x 3																								x
								15																																											2
								15																																											2

		1											2 2x2						x
15)		1						ln					2 2x2						x							ln(x											x2 1) C;

		2	2										2 2x2						x
		2	2										2 2x2						x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2519 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.05.201528.08 Кб7практика, мова1.docx
#
01.03.2025111.1 Кб0Практика-1.doc
#
01.05.2025100.53 Кб0практика.docx
#
12.05.2015165.58 Кб16практика.pdf
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб53Практикум 2.pdf
#
12.05.20155.25 Mб12Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб56Практикум_Ромашко.pdf
#
01.03.2025136.19 Кб0Практическая работа7.doc
#
01.05.20253.59 Mб0Практическая_часть-WordPress.doc
#
01.07.20256.82 Mб0практические по котлам.doc