Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1312 вуза, 5274 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Практикум 2

.pdf
Скачиваний:
53
Добавлен:
17.03.2016
Размер:
5.29 Mб
Скачать
☆

 

 

14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами

171

 

 

 

 

 

I

 

1 e3x

(2 sin 2x 3 cos 2x) 9 I;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

e2x (2 sin 2x 3 cos 2x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

a2 x2

du

 

 

 

 

 

 

2) I

a2 x2dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 x2

 

 

 

 

 

dv dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

a2 a2

 

x a2 x2

 

 

 

 

 

dx

x a2

x2

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 x2

 

перетворюємо інтеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x a2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 x2dx a2 arcsin a .

 

 

 

[Записуємо рівняння щодо шуканого інтеграла.]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 arcsin x

 

 

 

 

 

I x

 

a2 x2

a

I

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

a

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

x a2 x2

 

arcsin

C.

 

 

 

2

2

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

sin bx

 

sin(ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коментар.Інтеграли вигляду

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos bx

 

cos(ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x)

dx та ін., двічі

x)

інтегрують частинами, двічі вибираючи за u чи тригонометричну функції — все одно), і го інтеграла.

функцію того самого типу (чи e x, одержують рівняння щодо шукано-

Інтеграли вигляду a2 x2dx, x2 a2dx один раз інтегрують части-

нами, перетворюють одержаний інтеграл і дістають рівняння щодо шуканого інтеграла.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

14.5. Застосовуючи заміну змінної, знайдіть:

1)

x(5x 1)19dx;

2)

 

 

 

 

xdx

 

;

 

 

 

(2x

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

dx

 

 

;

 

 

4)

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

x

1

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

 

 

 

 

;

6)

 

xdx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

172

Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

14.6. Знайдіть, інтегруючи частинами:

 

 

1)

 

x sin 2xdx;

 

 

 

 

2)

(9x 3) cos 3xdx;

 

 

3)

 

x3x dx;

 

 

 

 

 

 

4)

xe xdx;

 

 

5)

 

arccos(2x)dx;

 

 

 

6)

x arctg xdx;

 

 

7)

 

x2

ln(1 x)dx;

 

 

 

8)

ln(x2 1)dx;

 

 

9)

 

(x2

2x 3) sin xdx;

 

10)

x2e xdx;

 

 

11) (arcsin x)2dx;

 

 

 

12)

ln2 xdx;

 

 

13) e 2x cos 5xdx;

 

 

 

14)

sin ln xdx;

 

 

15) esin x sin 2xdx;

 

 

 

16)

x2 arctg2 x dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

Відповіді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

21

 

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.5.

1)

 

 

(5x 1)

 

(5x 1)

 

C; 3)

 

x ln(1 x)) C;

 

 

 

 

 

 

 

 

2(

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

21

 

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4)

2 3

1 3

 

 

 

 

C; 5) ln

 

1 ex

C;

 

(x 1)

3(x 1)

3 ln

1 3 x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1 ex 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) 2ex (x 1) C.

14.6. 1)

1

sin 2x

x

cos 2x C; 2) 2)

(3x 1) sin 3x cos 3x C; 3)

 

3x

 

 

(x ln 3 1) C;

4

 

 

ln2

3

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x2 1

 

 

 

x

 

 

 

4) C e x (x 1); 5)

x arccos 2x

 

1 4x2 C; 6)

arctg x

 

C;

2

 

2

2

(x3

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) ln(1 x)

 

 

 

x

C; 8) x ln(x2 1) 2x 2 arctg x C;

7)

 

 

3

 

 

9

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9) (x 1)2 cos x 2(x 1) sin x C; 10) C ex(2 2x x2);

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin x 2x x arcsin2 x C; 12) x(ln2 x 2 ln x 2) C;

 

11) 2

1 x2

 

13)

e 2x

(5 sin 5x 2 cos 5x) C; 14)

x

(sin ln x cos ln x) C;

 

 

 

 

 

 

29

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15) 2esin x (sin x 1) C;

16) x arctg x 1 ln(1 x2 )

1 arctg2 x C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

15. Інтегрування дробово-раціональних функцій

173

15. Інтегрування дробово-раціональних функцій

Навчальні задачі

15.1. Зінтегрувати елементарні дроби:

 

 

 

1)

 

 

 

2dx

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

3dx

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

x 5

 

 

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

 

dx

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 3

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

 

6x

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. [8.4.]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

2dx

 

2 ln

 

x 1

 

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

3dx

 

 

 

3 (x 2) 3d(x 2)

3

 

 

 

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(x 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

x 5

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

d(x2 2x 5) (2x 2)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

2x

 

5

 

 

x

5

(2x 2) 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2x 2)

4

 

 

 

 

 

 

1

d(x2 2x

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

dx

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2x

5

 

 

2

 

x

2

2x 5

 

 

x

2

2x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 2x 5

 

1

 

ln(x2 2x 5)

 

d(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ln(x2 2x

5)

1 arctg x 1

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) [Застосовуємо рекурентну формулу [8.4.4].]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In 2

 

 

 

 

 

 

 

2 n

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 n 1 (2n 3)In 1 , n

 

 

 

 

 

 

 

(x a )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a (n 1) (x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 3;

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

(2 3

3) 2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 3

 

 

 

 

 

2 2 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 3;

n 2

 

1

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 2 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36

 

(x

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

9

 

 

 

 

 

9)

 

 

 

2 1 9 x

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x

 

 

 

1

 

 

x

 

 

1

 

arctg x

C.

 

36 (x2 9)2

216 x2 9

648

 

 

 

 

 

 

3

 

dx

x2 9

174

Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

5)

 

(2x 3)dx

 

 

 

 

d(x2

6x 13) 2x 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x 13)

 

 

 

 

 

 

2x 3 (2x 6) 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2x 6)dx

 

3

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

 

 

 

 

 

 

2

(x

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x 13)

 

 

 

 

6x 13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t)

 

1

 

 

 

 

 

 

x2 6x 13 (x 3)2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 2 (t)

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

d(x 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

6x 13

((x

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d(x

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 2 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

6x 13

 

 

 

 

 

2 1 4

 

2

4

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

x 3

 

 

 

 

 

 

3

 

arctg x 3

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 6x 13

 

8 (x 3)2 4

 

16

2

 

 

 

 

 

x5 x2 1

15.2. Вилучити цілу частину дробу x2 x 1 .

Розв’язання. [5.6.6.]

[ Вилучають цілу частину діленням многочленів у стовпчик. Ділити припиняють тоді, коли степінь остачі стане меншим за степінь дільника.]

 

x5 x2 1

 

 

x2 x 1

 

x5 x4 x 3

 

 

 

x3 x2 2

 

 

 

 

 

x 4 x3 x2 1x 4 x3 x2

2x2 1

2x2 2x 22x 3

[Записуємо відповідь.]

 

 

 

 

 

 

x5 x2 1

x3 x2 2

 

2x 3

 

.

x2

x 1

x2 x

 

 

 

1

15.3. Розкласти правильні дроби на елементарні:

1)

 

3x 1

;

2)

 

x2 3

 

;

(x 2)(x 1)3

(x 1)(x2 x 1)

3)

 

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

(x2 1)2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Інтегрування дробово-раціональних функцій

175

Розв’язання. [8.4.6.]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

3x 1

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

B1

 

 

 

B2

 

 

 

 

 

 

B2

.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

x 2

x

1

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

 

 

 

 

 

 

(x 2)(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

відповідає

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

відповідає (x 1)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

x2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

Mx N

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

1)(x2

x

 

1)

 

x

1

 

 

x

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

відповідає

 

 

 

відповідає

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)

 

 

 

 

 

(x2 x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

2x 1

 

 

 

 

A1

 

A2

 

 

 

M1x N1

 

M2x N2

.

 

 

 

2

2

2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

x

2

1

 

(x

2

 

 

2

 

 

 

 

1) x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

відповідає x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

відповідає (x

1)

 

 

 

 

15.4. Знайти коефіцієнти розкладу дробів на елементарні:

1)

 

6x3 11x2 10x 9

 

2)

 

4x

 

;

(x 1)(x 2)(x2 1) ;

(x 1)2(x 3)

 

3)

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

(x

2

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1)

 

 

 

 

 

Розв’язання. [8.4.6, 8.4.7, 8.4.9, 5.6.2.]

[Розкладаємо правильний дріб на суму елементарних дробів.]

6x3 11x2 10x 9

 

 

A

 

 

B

 

Cx D

.

(x 1)(x 2)(x2

1)

x 1

x 2

x2

1

 

 

 

 

[Зводимо розкладені дроби до спільного знаменника і прирівнюємо чисельники дробів в обох частинах рівності (знаменники у них рівні).]

6x3 11x2 10x 9

A(x 2)(x2 1) B(x 1)(x2 1) (x 1)(x 2)(Cx D).

[Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях [5.6.2].]:

x3

 

6 A B C

 

 

 

 

 

A 2,

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

11 2A B 3C D B 3,

 

 

 

 

 

 

1

 

10 A B 2C 3D

 

x

 

C 1,

 

 

 

 

 

0

 

 

 

x

 

9 A B 2D

 

 

 

D 1.

[Записуємо відповідь.]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x3 11x2 10x 9

 

 

2

 

 

3

 

 

x 1

 

.

(x 1)(x 2)(x2 1)

x 1

x 2

x2

1

 

 

 

 

2) [Розкладаємо правильний дріб на суму елементарних дробів.]

176

Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

4x

 

A

 

 

B

 

C

 

 

 

 

 

.

(x 1)2(x 3)

x 1

(x 1)2

x 3

 

 

 

 

[Коефіцієнти над степенями лінійних многочленів знаходимо методом викреслювання (домноження).]

 

 

 

 

[8.4.8]

 

 

 

 

4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)2

(x 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[8.4.8]

 

 

 

 

4x

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

1)2 (x 3)

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[8.4.8]

1

 

 

 

 

 

 

4(x 3)

4x

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

1 ! x 3

 

 

x 1

 

 

(x 3)

 

x 1

 

Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

 

 

 

3

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

(x 1)2(x 3)

x 1

(x 1)2

x 3

 

 

3) [Розкладаємо дріб на елементарні перетворюючи його (метод перетворення.]

 

1

 

(1 x2) x2

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

x2(x2

1)2

 

x2(x2 1)2

 

x2(x2 1)

 

 

1)2

 

 

 

 

 

(x2

 

 

 

(1 x2) x2

 

1

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

1

 

.

x

2(x2 1)

 

(x2 1)2

x2

x2

 

 

 

1)2

 

 

 

 

 

1 (x2

 

Коментар. Два многочлена того самого степеня тотожно рівні, якщо вони мають рівні коефіцієнти при однакових степенях.

Знаходження коефіцієнтів можна дещо спростити, підставляючи у тотожність зручні значення: перші два «зручних» значення — дійсні корені знаменника. (метод зручних значень).

Підставляємо в тотожність значення:

x1 4 2A A 2;

x2 15 5B B 3;

x0 9 2A B 2D D 1.

Оскільки визначення коефіцієнту C потребує ще однієї рівності, прирівнюємо

коефіцієнти в обох частинах тотожності при x3 :

6 A B C C 1.

15.5. Знайти:

1)

 

 

x 4 1

 

dx;

2)

 

 

2x 3

dx;

x

3

x

2

x 1

x

2

7x 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Інтегрування дробово-раціональних функцій

177

3)

 

 

dx

;

 

4)

 

x4

dx.

 

1

4

8

3

 

 

x

 

 

x

 

Розв’язання. [8.4.10.]

 

 

 

 

 

 

 

1) Підінтегральна функція є неправильним дробом.

 

[Крок 1. Вилучаємо цілу частину неправильного дробу.]

 

 

 

 

 

 

x 4 1

 

x 1

 

 

2

 

.

 

 

 

 

 

x3 x2 x 1

x3 x2 x 1

 

[Крок 2. Правильний дріб розкладаємо на суму елементарних дробів методом невизначених коефіцієнтів.]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 x2

 

x 1 (x 1)(x2

1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

A

 

Mx N

 

 

1

 

 

 

1 x

 

;

 

 

 

 

 

 

(x 1)(x2

 

 

x 1

x 1

x2 1

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4 1

 

 

 

 

x 1

 

 

1

 

 

 

 

x 1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

x2 x

 

 

x

1

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

[Крок 3. Інтегруємо суму цілої частини дробу і елементарних дробів.]

 

 

 

 

x 1

 

dx

 

1

 

d(x2 1)

 

 

 

dx

 

 

 

1

ln(x2 1) arctg x C

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 1

 

 

 

2 x2 1

 

 

 

x2 1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4 1

 

 

 

dx

(x 1)dx

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

x

2

x

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

2 x ln

x 1

arctg x 2 ln(x2 1) C.

 

 

 

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) 1.

 

 

2x 3

 

 

— дріб правильний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 7x 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. x2 7x 12 (x 3)(x 4).

 

 

 

 

 

 

 

2x 3

 

 

 

A

 

 

 

 

 

B

 

.

 

 

 

 

(x 3)(x 4)

x 3

x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

2x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 3)(x 4)

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

2x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 3)(x 4)

 

x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 3

 

 

 

 

9

 

 

 

 

11

.

 

 

 

 

 

 

x2 7x 12

 

x

3

 

x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

2x 3

9

dx

11

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

7x 12

x 3

x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 ln x 3 11 ln x 4 C.

178

Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

1

3) 1. 1 x 4 — дріб правильний. 2. 1 x4 (1 x)(1 x)(1 x2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

B

 

 

Mx N .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x4

 

x 1

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)(x 1)(x2 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

x 1

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)(x 1)(x2 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

 

x 1

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 | A B M 0 M 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 : 1

1

 

1

N N

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

1

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x 4

4 x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x 1

 

 

 

 

 

2 x2

1

 

3.

dx

 

 

 

1

 

 

dx

 

1

 

 

 

dx

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

x 1

4

 

x 1

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x 1

 

 

 

1

ln

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

1

arctg x C.

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) 1.

 

 

— неправильний дріб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. x3 8

(x 2)(x2 2x 4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mx N

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 2)(x2 2x 4)

 

x 2

 

 

 

x2 2x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(x2 2x 4) (Mx N)(x 2)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 2)(x

2 2x

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x A(x2 2x 4) (Mx N )(x 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

16 12A A 4

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

0 A M M

4

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

0 4A 2N N

8 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Інтегрування дробово-раціональних функцій

179

 

 

 

 

 

 

 

x

4

 

 

 

4

 

 

1

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

2x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x

 

 

 

3.

x

4dx

 

xdx

 

 

4

 

dx

 

 

 

4

 

 

 

 

x 2

 

dx

 

 

3

 

8

 

3

x

2

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2x 4

 

 

x2

2

 

 

x 2

 

 

dx

d(x2 2x 4) 2x 2,

 

 

 

 

x 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 2x 4

(2x 2) 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

d(x2 2x 4)

3

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

2

x

2

2x 4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)

 

3

 

 

 

 

1 ln(x2

2x 4)

 

 

arctg x

 

1 C .

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 ln(x 2) 2 ln(x2 2x 4)

4

 

arctg x

1 C.

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

15.6. Розкладіть на суму елементарних раціональний дріб:

1)

 

 

2x2 41x 91

;

 

 

2)

 

 

5x2 25x 26

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)(x 3)(x 4)

 

(x 1)(x 2)(x 3)

 

3)

 

3x3 10x2 11x 21

;

4)

 

x4

x3 9x2 10x 14

;

 

 

x2 5x 4

 

 

 

 

x2 2x 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

x2 x 14

 

;

 

 

 

 

6)

 

x3

2x2 3x 4

;

 

 

 

(x

4)3(x 2)

 

 

 

 

 

 

x2(x 2)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

 

x2

1

;

 

 

 

 

 

 

8)

 

 

3x 7

.

 

 

 

 

 

x3

1

 

 

 

 

 

 

x3

x2 4x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.7. Знайдіть:

1)

 

4dx

;

 

 

2)

 

3dx

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 5

 

 

 

4x 1

 

3)

 

 

 

3dx

;

 

4)

 

7dx

 

;

 

(x

4

 

 

 

 

3

 

 

 

2)

 

 

 

(x 2)

 

5)

 

 

 

dx

;

6)

 

 

 

dx

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

4x 5

2x

2

4x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

180

Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

7)

 

 

 

xdx

;

 

 

(x

2 2

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

9)

 

 

 

 

 

xdx

 

;

 

 

 

(x 1)(2x 1)

11)

 

 

 

xdx

;

 

 

 

 

 

 

 

x

2

5x 4

 

 

 

 

 

 

 

15.8. Знайдіть:

1)

 

 

 

 

2x2 41x 91

 

 

 

dx;

(x

1)(x

3)(x

4)

 

 

3)

 

x3 1

 

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

4x

3

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2dx

 

 

 

;

 

 

 

x

3

5x

2

 

 

 

8x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

x 3

6x2 9x 7

dx;

 

 

 

(x

 

 

 

 

 

 

3

 

 

5)

 

 

 

 

 

2) (x

 

 

 

 

9)

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

11)

 

 

 

(2x2 3x 3)dx

 

 

;

 

(x

 

1)(x

2

2x

 

 

 

 

 

 

 

5)

13)

 

x3

x 1

dx;

 

 

 

 

 

 

(x

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

15)

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 x

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17)

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

4x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

8)

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

 

 

6x

2

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10)

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

2

3x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12)

 

 

 

 

 

 

4x 3

 

 

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

2x

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x

3

 

7x

2

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

(2x2 5)dx

 

;

 

 

 

 

 

 

x

4

 

5x

2

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

 

x 3 1

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

 

 

 

(7x3 9)dx

 

 

;

 

 

 

x

4

 

 

5x

 

3

 

 

6x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10)

 

 

 

 

 

dx

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12)

 

 

x5 2x 3 4x 4

dx;

 

 

 

x

4

2x

3

 

2x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14)

 

 

 

 

(5x2 12)dx

 

;

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

(x

 

 

6x 13)

 

 

16)

 

 

 

x2

x

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18)

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности