Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2517 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

				13. Інтегрування внесенням під знак диференціала																					161
							[8.2.4]				(ae)x
4) axexdx (ae)xdx																C.
4) axexdx (ae)xdx										ln a 1						C.
										ln a 1
5) (arcsin x arccos x)dx												dx x C.
												2				2
		dx	[8.1.5]		1		dx				[8.2.15]
6)											[8.2.15]

	4 5x2				5	x2
								4 5 a 2
								4 5 a 2							5

				1		5					5							1					5x
				1		5					5							1					5x
																								C.

							arctg						x	C							arctg
				5		2					2											2
				5		2					2						2			5		2
																	2			5
		dx	[8.1.5]						dx					[8.2.14]
7)			[8.1.5]			1											1					2x C.
																			arcsin


		3 2x2				2		3 2 x2									2					3
		3 2x2				2		3 2 x2							a 3 2		2					3

Коментар. Метод безпосереднього інтегрування полягає у використанні таблиці інтегралів, властивостей лінійності та інваріантності невизначеного інтеграла.

Інтегруючи алгебричну суму функцій, дістають кілька довільних сталих, але в результаті пишуть лише одну сталу — їхню алгебричну суму.

13.3. Знайти інтеграл внесенням під знак диференціала:

(2x 1)10dx;

3 (5x 2)5dx;

(x2 4)62xdx;

sin4 x cos xdx;

arctg32x dx;

;

1 x

x ln

xdx

;

arcsin x

dx;

1 x2

sin x

dx;

10)

;

3 cos x

11)

dx;

12)

x ln x

Розв’язання. [8.3.2, 8.3.3, 8.2.1, 8.2.2.]

1) (2x 1)10dx

(2x 1)10

2 d(2x 1)

1 (2x 1)10d(2x 1)

1 (2x 1)11

162	Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

								1			1		5 3
	3 (5x 2)5dx							1			1		5 3
2)	3 (5x 2)5dx					dx		5 d(5x 2)			5	(5x 2)			d(5x 2)
					1 (5x 2)8 3						3
					1 (5x 2)8 3						3	3	8
									C				(5x 2)	C.
					5		8 3		C	40			(5x 2)	C.
					5		8 3			40
3)	(x2 4)6
3)	(x2 4)6			2x dx			d(x2	4)	2xdx

		u	6	u
		u

(x2 4)6d(x2 4) (x2 4)7

sin4 x cos xdx

d(sin x) cos xdx

sin4 xd(sin x) sin5 x C.

arctg3 x

d(arctg x)

1 x2

x2 1

arctg3 xd(arctg x) arctg4 x

d(ln x)

x ln3 x

ln3 x

ln 3 xd(ln x)

ln 2 x

2 ln

xdx

d(1 x2)

xdx

d(1 x2)

1 x2

2 1 x2 C 1 x2

arcsin x

d(arcsin x)

1 x2

arcsin xd arcsin x arcsin2 x

sin x

d(3

cos x) sin xdx

cos x

d(3 cos x) 2

3 cos x C.

3 cos x

10)

d(2x 7) 2dx

1 d(2x 7)

1 ln

2x 7

13. Інтегрування внесенням під знак диференціала

163

11)

d(ex 1)

ln(ex 1) C.

12)

d(ln x)

ln x

x ln x

ln x

13.4. Знайти інтеграл внесенням під знак диференціала:

1) e5x 1dx;

2) e2x2 1xdx;

3) esin x

cos xdx;

2tg x dx

cos

Розв’язання. [8.3.2, 8.3.3, 8.2.3, 8.2.4.]

1) e5x 1dx

e5x 1d(5x 1)

e5x 1 C.

e2x2 1xdx

e2x2 1d(2x2

e2x2 1

esin x

cos xdx esin xd(sin x) esin x C.

2tg xdx

2tg x d(tg x)

2tg x

cos

ln 2

13.5.

Знайти інтеграл внесенням під знак диференціала:

1) sin 3xdx;

2) cos x2

xdx;

exdx

;

cos

x sin

(ln x)

Розв’язання. [8.3.2, 8.3.3, 8.2.5–8.2.8.]

sin 3xdx

sin 3xd(3x)

cos 3x C.

cos x2 xdx

cos x2d(x

2 )

sin x2 C.

exdx

d(ex )

tg ex

cos

d(ln x)

ctg(ln x) C.

(ln x)

x sin (ln x)

sin

13.6. Знайти інтеграл внесенням під знак диференціала:

1)			dx	;	2)		dx		;

	x	2				2x	2
			8x 25					3

164				Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
			3)			e2xdx			;												4)		dx		.
						4x
						4x
					e			1															x2	4x
Розв’язання. [8.3.2, 8.3.3, 8.2.14, 8.2.16.]
1)				dx									d(x 4)							1	arctg	x 4		C.
																				3		3
	x		2	8x			25							2			2
	x			8x			25					(x 4)					3
				dx								dx
2)				dx			1					dx				1		2 arctg 3x C.
2)	2x			2			2			x	2							2 arctg 3x C.
	2x			3			2			x		3 2				2 3					2
3)		e2xdx					1			d(e2x )				1 arctg e2x C.
3)			4x				1			4x				1 arctg e2x C.
	e			1			2			e		1		2
4)				dx											dx


			x2 4x									4 (x2 4x 4)
														d(x 2)					arcsin x 2					C.
																			arcsin x 2					C.
														4 (x 2)2								2

13.7. Знайти інтеграл внесенням під знак диференціала:

			1)				dx					;																2)					dx		;
						7	9x				2
											2																				23x2 14
																															23x2 14
			3)				x 3			dx;																		4)						dx				.
						1	x		8
									8
																															3x2 6x 1
Розв’язання. [8.3.2, 8.3.3, 8.2.13, 8.2.15.]
1)			dx				1										dx
1)	7		9x			2	1							x	2
	7		9x						9					x			7 9

																			x				7
								1				1					ln						7						1		ln			3x		7	C.
								1				1											3			C			1					3x		7
																										C
							9				2			7					x					7				6 7						3x 7
							9							3										3				6 7						3x 7


2)				dx									1										dx

			23x2 14										23								x	2 14 23
			23x2 14										23								x	2 14 23
																		1
																		1				ln			x x2 14 23							C.


																23
																23
			x	3								1					d(x	4		)								1
				3														4									4
3)						dx																				1 ln	x4			C.
3)	1	x			8	dx						4					8									1 ln	x4	1		C.
	1	x										4			x 1											8	x	1

			13. Інтегрування внесенням під знак диференціала													165
4)	dx					1					dx

	3x2 6x 1			3				(x2 2x 1) 1					1
	3x2 6x 1			3				(x2 2x 1) 1					1
													3
	1				d(x 1)				1					x2 2x	1
											ln	x 1			3		C.

		3		2			4			3
					(x 1)
					(x 1)		3

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

13.8. Знайдіть безпосереднім інтегруванням:

					2						1	3

1)			3x
1)			3x											x dx;
											x
											x

3)				x2		3							x2 3			dx;

											x4 9
											x4 9
						x						x			2
5)						x			cos			x
5)	sin								cos						dx;
						2
						2						2
7)		3 2x						2 3x						dx;
7)							2			x				dx;
							2
9)				x4					dx;
9)	1		x				2		dx;
	1		x

		3	1			4

								3
2)	4x				7		x		dx;
2)	4x			2	7		x		dx;
			x
			x

4)(1 x)2 dx;

x(1 x2)

cos 2x

dx;

cos

x sin

(ax

bx )2

dx;

10)

dx.

13.9. Знайдіть, користуючись інваріантністю формул інтегрування:

1)	sin xd(sin x);				2)	tg3 xd(tg x);
3)		d(1 x2)			4)		d(arcsin x)
				2 ;						;
		1	x				arcsin x

5)	esin xd(sin x);				6)			d(ex )	.

								1 e2x

13.10. Знайдіть внесенням під знак диференціала:

1)	(x 1)15dx;	2)		dx	;

			5
			(2x 3)

3)	5 (8 3x)6dx;	4)
				8 2xdx;

166	Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

5) 2x x2 1dx;

7) x2 5x3 2dx;

9) sin3 x cos xdx;

11) lnx x dx;

13) cos(1 2x)dx;

15)

e1 x dx2 ;

17)

;

1 25x2

19)

;

21)

;

4x2 1

23)

arcsin x

dx;

1 x2

25)

;

27)

;

8 6x 9x2

13.11. Знайдіть таку функцію f, що:

1, f( 1)

1) f (x)

2) f (x) sin x cos x, f

6)	xdx	;

	x2 1
8)	x 4dx		;


	4 x5

10) sin xdx; cos2 x

12) (arctg x)2dx;

1 x2

14)sin(2x 3)dx;

16)esin x cos xdx;

18)

;

4 9x2

20)

;

22)

xdx

;

24)

(arccos 3x)2

dx;

1 9x2

26)

;

28)

2 6x 9x2

																				14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами																																																								167
Відповіді

																											3																				1																		x									x2 3
13.8. 1) x3														ln						x							3	3 x 4						C; 2) x									4				1				44 x7				C; 3) ln										x									x2 3						C;

																											4																				x
																																																																		x								x2 3
																																																																		x								x2 3
4) ln						x			2 arctg x C;																						5) x cos x C; 6)																				C ctg x tg x; 7)																				3x 2 1, 5x C;
4) ln						x			2 arctg x C;																						5) x cos x C; 6)																				C ctg x tg x; 7)																				3x 2 1, 5x C;
		a x											a												b			x					b															x3				1				1 x																			ln 1, 5


8)						ln									2x															ln					C; 9)								x										ln									C;

		b											b																				a															3				2				1 x
		b											b												a								a															3				2				1 x
10)			x		5						x3					x								1			ln		x 1							C.
			x		5						x3													1					x 1
			5										3											2					x		1
			5										3											2					x		1
											(x 1)16
13.10. 1)											(x 1)16																		2) C												1						; 3)							5								11 5						; 4) C										(8 2x)3
																							C;																												C					(8					3x)																					;
															16								C;															8(2x 3)4													C			33		(8					3x)																				3	;
5)	2																	C; 6)																						C; 7)							5			5									C; 8)								2										C;
																																x2 1
							(x2 1)3																																												(x3 2)6																					4 x5

	3																																																																		5
	3																																														18																				5
	1																										1															2															arctg3 x																						1
9)	1		sin4								x			C; 10)													1				C;					11)						2		ln3 x C; 12)													arctg3 x								C						; 13) C								1		sin(1 2x);
																										cos x																																3
	4																																									3																																					2
	4																																									3																																					2
14) C										1		cos(2x 3);																15) C e1 x ; 16) esin x																							C;			17)					1	arcsin 5x C; 18)																				1	arcsin	3x	C;
14) C									2			cos(2x 3);																15) C e1 x ; 16) esin x																							C;			17)				5		arcsin 5x C; 18)																			3		arcsin	2	C;
									2																																																	5																					3			2


		1																											1												2											1												2					1
		1																											1												2											1												2					1
19)						arctg 3x C; 20)																												arctg									x C; 21)												ln x								x									C;


			3																										3		2										3
			3																										3		2										3											2																	4

		1																																											2																						1
22)						arctg x2 C; 23) C																																																				24) C															1 9x2 arccos3 3x);
																															2						1 x2												(arcsin x)3 ;																				(

			2																																										3																						9
25)			1														x					1		C; 26)											1 ln					x 3						C;					27)		1

								arctg																																															ln(3x 1															9x2 6x 8) C;
								arctg																																x 1															ln(3x 1															9x2 6x 8) C;
					2															2															4					x 1													3
28)			1	arcsin												3x					1			C.

			3																3
			3																3
13.11. 1) f														(x)						x3					2x2							x							1		; 2)		f(x) sin x cos x 1.
13.11. 1) f														(x)						3					2x2							x							3		; 2)		f(x) sin x cos x 1.
																				3																			3

14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами

14.1. Знайти замінюванням змінної інтеграл:

x 3

2) x(3x 10)20dx;

x 1dx;

e3x

dx.

1 ex

Розв’язання. [8.3.1.]

x 1 t3,

1) x 3

x 1

x t3 1

(t3 1)t 3t2dt

dx 3t2dt

168	Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

		3				3				6			3				t	7		t	4
		3				3				6			3				t			t
3	(t			1)t dt				3		t dt		t dt 3										C
																	7			4
																	7			4


									3					3 3
			t		3		x 1		3	3		7		3 3	(x				4	C.
			t				x 1		7		(x 1)			4	(x	1)				C.
									7					4

			3x 10 t
2) x(3x 10)20dx			x t			10
						3
			dx		1 dt
	1				3
					3
		(t21 10t20)dt
	9
				1			22
				1		(3x 10)

				9		22
				9		22

t 10 t20 1 dt
		3			3
1		t	22		10t	21
1		t			10t
								C

9		22			21
9		22			21

	10						21
	10			(3x			21		C.
				(3x	10)				C.

	21
	21

e3x

1 ex ,

(1 t2)3

tdt

x ln

1 t2

1 ex

2tdt

1 t2

4 2

1)dt 2

(1 ex )5

(1 ex )3

2 1 ex C.

Коментар. Рекомендації щодо вибору заміни змінної буде подано для основних класів функцій.

Не забувайте переходити у відповіді до «старої» змінної.

14.2. Знайти інтегруванням частинами інтеграл:

1) (3x 1)e2xdx;

2) (x2

x) sin 3xdx.

Розв’язання. [8.3.4, 8.3.5.] 



u 3x 1 du 3dx

1) (3x 1)e2xdx

3x 1

(3x 1)

2 e2x

2 e2xdx

e2x

4 e2x C.

udv uv vdu

				14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами																							169
2) (x2 x) sin 3xdx											u x2 x						du (2x 1)dx
											u x2 x						du (2x 1)dx
											dv sin 3xdx						v				1		cos 3x
											dv sin 3xdx						v				3		cos 3x
																					3
		1	(x2 x) cos 3x						1		(2x 1) cos 3xdx
		3	(x2 x) cos 3x							3	(2x 1) cos 3xdx
		3								3
		u 2x 1					du 2dx
		u 2x 1					du 2dx
	dv cos 3xdx						v 1 sin 3x
											3
				1		2					3	1		1										2

					(x		x) cos 3x									(2x 1) sin 3x
					(x		x) cos 3x									(2x 1) sin 3x										sin 3xdx
				3																				3
				3								3 3												3
					1 (x2 x) cos 3x								1	(2x			1) sin 3x						2		cos 3x C
					1 (x2 x) cos 3x								9	(2x			1) sin 3x					27			cos 3x C
					3			sin 3x 2x 1					9		cos 3x							27
								sin 3x 2x 1							cos 3x				2				2
																			2	x						C.
																		x		x						C.
									3		3						3
									3		3						3						9

Коментар.Метою методу інтегруванням частинами є перейти від «складно-

го» інтеграла до простішого («нескладнішого»).

		sin x			x
Щоб обчислити інтеграли вигляду	P			P (x)e	x	dx,	де	P (x)
Щоб обчислити інтеграли вигляду	P	(x)	dx,	P (x)e		dx,	де	P (x)
	n	cos x		n				n

— многочлен степеня n, , треба брати

uPn(x).

Покладімо u 3x 1, dv e2xdx. Від u до du переходять диференціюван-

ням, а від dv до v — інтегруванням:

3dx; v e

du (3x 1) dx

(при цьому можна вважати, що C 0 ).

14.3. Знайти:

1) ln xdx;

2) x arctg xdx;

3) arcsin xdx.

Розв’язання. [8.3.4, 8.3.5.] 

1) ln xdx

u ln x

x ln x x dx

dv dx

v x

x ln x dx x ln x x C.

170	Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

u arctg x

2) x arctg xdx

dv xdx

arctg x 1

1 x

arctg x

arctg x C.

u arcsin x

3) arcsin xdx

1 x2

dv dx

v x

x arcsin x

xdx

d(1 x2) 2xdx

1 x2

(1 x2) 1

2d(1 x2) x arcsin x

x arcsin x

1 x2 C.

Коментар.Щоб

обчислити

інтеграли

вигляду

Pn(x) ln xdx

або

Pn(x) arcf xdx, де Pn (x) — многочлен степеня n, arcf

— одна з арк-функцій:

arcsin, arccos, arctg чи arcctg, треба брати:

u ln x

або

u arcf x.

14.4. Знайти:

1) e3x cos 2xdx;

a2 x2dx.

Розв’язання. [8.3.4, 8.3.5.]



u e3x

du 3e3xdx

1) I e3x cos 2xdx

dv cos 2xd

sin 2x

1 sin 2x e3x 3 e3x

sin 2xdx

u e3x

du 3e3xdx

dv sin 2xd

v 2 cos 2x

sin 2x

cos 2x

cos 2xdx

3x (2 sin 2x

3 cos 2x)

e3x

4 e

cos 2xdx.

[Записуємо рівняння щодо шуканого інтеграла.]

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2517 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025111.1 Кб0Практика-1.doc
#
01.05.2025100.53 Кб0практика.docx
#
12.05.2015165.58 Кб16практика.pdf
#
01.07.2025942.59 Кб0ПРАКТИКА_3.doc
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб53Практикум 2.pdf
#
01.07.2025197.84 Кб0Практикум 6.docx
#
01.07.20252.24 Mб0ПРАКТИКУМ ММІ PART ІІ.doc
#
12.05.20155.25 Mб12Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб56Практикум_Ромашко.pdf
#
01.07.2025230.4 Кб0Практине заняття-заочники.doc