Практикум 2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(18x 4x3)(3 x2)2 (9x2 x4 )2(3 x2)( 2x)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

(3 x2)2

12. Побудова графіків функцій

151

Так само, k 1, b 0.

Отже, y x є похилою (двобічною) асимптотою графіка функції.

12.2. Дослідити функцію та побудувати її графік:

	x3			2 3	2 3
1) y			;	2) y (x 1)	(x 2)	;
	3 x2
3) y	ex 2	;		4) y x arctg x.
	x 2

Розв’язання. [7.11.4.]

1) [Крок 1. Знаходимо область означення функції.]

D(y) ( ; 3) ( 3; 3) (3; ).

[Крок 2. Встановлюємо можливі симетрії графіка функції.]

Оскільки D(y) симетрична щодо 0 і

f ( x)	( x)3		x3	f (x),
	( x)2		x2
1		1

то функція непарна і її графік симетричний щодо початку координат.

[Крок 3. Визначаємо можливі точки розриву функції і асимптоти графіка функції.]

Дослідімо поведінку функції на межах області означення — в околах точок x 3 та .

lim

;

x 3 0 3

lim

0 3

Точки x 3 — точки розриву 2-го роду, нескінченного.

Прямі x

3 та x

3 — двобічні вертикальні асимптоти.

Шукаємо похилі асимптоти y kx b :

lim

f (x)

lim

lim (f (x) kx) lim

lim

3 x

Пряма y x — двобічна похила асимптота.

[Крок 4. За допомогою першої похідної функції визначаємо інтервали монотонності і точки екстремуму.]

y 3x2(3 x2) 2x 4 x2(9 x2) . (3 x2)2

152 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

y 0 x2(9 x2 ) 0 x1 0, x2,3 3; y (3 x2 )2 0 x4,5 3 D(y).

y	3		0	3		3	x
	3	3	0	3		3
	min				max

y		(3)	9	, y		( 3)	9	.
	max				min
		2				2

[Крок 5. За допомогою другої похідної функції визначаємо інтервали опуклості функції і точки перегину.]

y 0 6x(9 x2 ) 0 x	1	0;		y
	1

y (3 x2 )3 0 x2,3 3 D(y).

т. пер.

Точка x 0 — точка перегину, y(0)

[Крок 6. Знаходимо можливі точки перетину

графіка функції з осями координат.]

Рис. до зад. 12.2.1)

x 0 y 0;y 0 x 0.

[Крок 7. Будуємо графік функції y f(x). ]

2) 1. D(y) ( ; ).

2. Оскільки D(y) симетрична щодо 0 і

f ( x) ( x 1)2 3 ( x 2)2 3 f (x),

то функція f

загального вигляду.

3. Функція f

неперервна і вертикальних асимптот графік функції не має.

Досліджуємо графік функції на похилу асимптоту y kx b :

lim

(x 1)2 3

(x 2)2 3

(x 1)2

lim

3 (x 2)2 3

lim

(x 1)2 (x 2)2

lim

3(x 2)2

3 (x 2)4

x (x 1)4 3 (x 1)2

x 3x 4 3

Пряма y 0 — горизонтальна асимптота.

												12. Побудова графіків функцій																			153
			2		(x		1 3					1	3
			2		(x		2)			(x 1)
4. y
4. y							1 3					1 3		.
							1 3					1 3
			3			(x 1)			(x 2)
						(x 1)			(x 2)
						y 0 (x 2)1 3 (x 1)1 3 x ;
						y (x 1)1 3(x 2)1 3 0 x											1			1, x		2			2.
												y					1					2
												y
												y	2 1					x
														max		min
ymax ( 2)				1, ymin ( 1)						1.
								4 3		(x			4 3
					2		(x 2)			(x			1)
5. y
5. y									4 3				4 3		.
									4 3				4 3
					9		(x 1)				(x 2)
							(x 1)				(x 2)
											4 3				4 3	x 2 x 1,												3
		y 0 (x 2)										(x			1)							x1							.
		y 0 (x 2)										(x			1)							x1						2	.
																x 2 x 1												2

						y (x 1)4 3(x 2)4 3 0 x												2			1, x		3		2.
											y							2					3
											y
											y	2 23				1					x
															т. пер.															y
	3																													y
																															1
			0.																												1
y			0.

	2						3																			3
6. y																					2						1 O					x



		0 x 2 .																							2

		y 1 3

x 0								4 0, 58.											Рис. до зад. 12.1.2)


3) 1. D(y) ( ; 2) ( 2; ).
2. Оскільки область означення D(y) не симетрично щодо 0,																								то функція f							зага-

льного вигляду.

3. x : y kx b :

k		lim	ex 2			0;
				2)
	x x(x
b		lim	ex 2		0.

		x x 2

x : y kx b :

154 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

		ex 2	[2.6.4]	ex 2
k	lim		lim		.
				2
	x x(x 2)		x

y 0 — ліва горизонтальна асимптота.

lim

ex 2

;

x 2 0 x

lim

ex 2

x 2 0 x

Точка x 2 є точкою розриву 2-го роду, нескінченного.

Пряма і x 2 — вертикальна асимптота.

ex 2

(x 1)

2)2

y 0 ex 2(x 1) 0 x1 1;

y (x 2)2 0 x

2 D(y).

min

e2 2

ymin ( 1)

e 2, 71.

ex 2(x2 2x 2)

2)3

y 0 ex 2(x2 2x 2) 0 x ;

1 O

y (x 2)3 0 x

2 D(y).

Рис. до зад. 12.2.3)

6. y 0; x 0 y

4) 1. D(y) ( ; ).

2. Оскільки D(y) симетрична щодо 0 і

f ( x) x arctg x f(x),

то функція f непарна і її графік симетричний щодо початку координат.

3. Функція неперервна і вертикальних асимптот графік функції не має. x : y kx b :

k	lim	x arctg x	1;
	x	x
b	lim	arctg x .
	x		2
	x		2

12. Побудова графіків функцій

155

y x 2 — ліва похила асимптота.

y x 2 — права похила асимптота.

4.	y 1			1		0, x f на .

			x2
		1
5.	y	2x			.

			2 2
	(1	x		)

y 0 2x 0 x1 0;

y (1 x2 )2 0 x .

y
y	0	x
	т. пер.

O	x

	2

Рис. до зад. 12.2.4)

y(0) 0.

6. y 0 x 0.

a cos

і побудувати її.

12.3. Дослідити астроїду, задану рівняннями

a sin3 t

Розв’язання. 

Функції cos3 t та sin3 t

означенні для будь-яких значень t. Але оскільки ці фу-

нкції періодичні з періодом 2 , досить розглянути проміжок t

[0; 2 ).

Оскільки x [ a;a] та y [ a;a], то крива асимптот не має.

Знайдімо

3a sin2 t cos t

y (t)

tg t.

3a cos2 t sin t

Звідси критичні точки 1-го порядку:

(t) 0 t 0, t

;

yx (t) t3

, t4

3 .

Знайдімо

y 2 (t)

(y )

( tg t)

x t

(a cos

3a cos t sin t

Знайдімо критичні точки 2-го порядку:

y 2 (t) 0;

3 .

y 2 (t) t

0, t

, t

156 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Побудуймо таблицю значень змінних t, x та y, а також знаків першої та другої похідних.



t	0	0;				;
t	0	0;				;
				2	2
			2	2	2
x	a			0

y	0

y

y	0			ymax a


				3	3
t		;	3	3	3
t		;				; 2
				2	2
			2	2	2
x	a			0

y	0

y

y	0			ymin a

На підставі дослідження будуймо астроїду.

a O a x

Рис. до зад. 12.3

Коментар.  Дослідження кривої, заданої параметрично


x (t),
	t T,
	t T,
y (t),

де функції та двічі диференційовні, провадять за схемою:

1.Встановлюють можливі симетрії кривої.

2.Визначають асимптоти кривої. А, саме, шукають такі значення t :

або x , або y , або x , y .

3.За допомогою першої похідної функції визначають інтервали монотонності і точки екстремуму.

4.За допомогою другої похідної функції визначають інтервали опуклості функції і точки перегину.

5.Знаходять можливі точки перетину кривої з осями координат.

6.Будують криву за встановленою інформацією.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

12.4. Перевірте, що пряма y 2x 1 є асимптотою лінії y 2x 1							1	.

						x 3
12.5. Знайдіть асимптоти графіка функції:
1) y	x2	3x 1	;	2) y ln	x 1	;
		x 1			x 2

								12. Побудова графіків функцій					157
3)	y xex ;							4)	y xe2 x	1;
5)	y x arctg 2x.							6)	y 2x arctg x				;
												2
		3									1
				3		2
7) y			x	3	x	2	;
7) y			x		x		;	8) y x ln e				.

											x

12.6. Повністю дослідіть функцію і побудуйте її графік:


1) y 3		x 3 3x		;	2) y e x2 ;
	ln x
3) y			;		4) y 3	x 3 3x 2	.
	x

12.7. Повністю дослідіть функцію і побудуйте її графік:

1) y

;

2) y

;

1 x2

3) y 3 (x 1)2 3 (x 1)2;

4) y

;

3 x 3 4

5) y xe x ;

6) y x 2e x ;

7) y

e 1 x

;

8) y (2x 1)e2 x ;

9) y

;

10) y x 2 ln x;

x ln x

11) y x sin x;

12) y x 2 arctg x.

12.8.Побудуйте циклоїду, задану рівняннями:

xa(t sin t), y a(1 cos t).

Відповіді

12.5. 1) x 1 — вертикальна асимптота, y x 2 — похила асимптота;

2)x 1 — ліва вертикальна асимптота, x 2 — права вертикальна асимптота;

3)y 0 — ліва горизонтальна асимптота;

4)x 0 — права вертикальна асимптота, y x 3 — похила асимптота;

5) y	x		1	— ліва похила асимптота, y	x	1	— права похила асимптота;
	2		2		2	2
6) y 2x			— ліва і праві похилі асимптоти; 7) y x					1	— похила асимптота;
		2						3

158 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

1	1
8) x e	— права вертикальна асимптота, y x e	— права похила асимптота.

12.6. 1) рис. до зад. 12.6.1); 2) ) рис. до зад. 12.6.2); 3) ) рис. до зад. 12.6.3); 4) рис. до зад. 12.6.4).

y	y x		y
y	y x
			1
O	1		O	2	x
	3	x	O	2	x
	3	x
	3 2		Рис. до зад. 12.6.2)

Рис. до зад. 12.6.1)

						y
1							y x 1
1
e
O	1	e	e	3 2	x	O	2 3
			e			O	2 3
							x
		Рис. до зад. 12.6.3)					3 4
		Рис. до зад. 12.6.3)

Рис. до зад. 12.6.4)

Відповіді до задач 12.7 та 12.8 див. на ст. 191.

Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

13. Інтегрування внесенням під знак диференціала

Навчальні задачі

13.1. Знайти:

x 3dx;

;

5 x2

2 x2

d(sin x).

sin x

Розв’язання. [8.2, 8.1.5.] 

1) [У формулі [8.2.2] покладаємо 3 ]:

[8.2.2]

x3 1

C x 4 C.

x3dx

3 1

[Перевіряємо диференціюванням правильність інтегрування.]

		4
	x			1		3		3
	x			1		3		3	.
					4x		x		.
			C	4	4x		x
4				4

1 2

[8.2.2]

x 1 2 1

C 2

x C.

1 2

[8.2.15]

arctg

3 a

[8.2.16]

1 ln

x 2

a 2

[8.2.14]

arcsin

5 x2

a 5

[8.2.16]

x 2 x2

2 x2

a 2

160	Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

d(sin x)

[8.2.1]

sin x

u sin x

[8.1.5]

цей крок виконують усно

Коментар. Для знаходження первісних функцій використовують основну таблицю інтегралів та правила інтегрування.

Правильність інтегрування перевіряють диференціюванням:

																		(F(x) C) f(x).
13.2.		Знайти безпосереднім інтегруванням:
				x2 3
		1)		x2 3					3	x 2				dx;											2) tg2 xdx;
		1)						x	3					dx;											2) tg2 xdx;
								x
		3)					1			dx;															4) axexdx;

					x	4	x		2
					x		x
		5) (arcsin x arccos x)dx;																							6)					dx					;

																													4		5x		2
																													4		5x
		7)					dx				.


						3	2x2
Розв’язання. [8.2, 8.1.5.] 
		2	3				2																							[8.2.1,8.2.5]
	x					x											1					5 2								[8.2.1,8.2.5]

1)									dx											3x				2x		3
1)				3					dx											3x				2x			dx
			x
			x													x
									dx						3 x 5 2dx 2 x 3dx																[8.2.1,8.2.2]
									dx						3 x 5 2dx 2 x 3dx
												x								x 5 2 1							x 3 1
									ln				x					3		x 5 2 1					2		x 3 1					C

																			5 2					1			3		1
												x 3			2				5 2					1			3		1
															2					x 2											2					1
			ln					x	3								2			x 2			C ln					x			2					1	C.
												3			2						2															x2

																															x			x
																															x			x

[8.1.5]

[8.1.5,8.2.7]

xdx

tg x x C.

cos

) x

[8.1.5]

(1 x

x x

1 x

dx2

[8.2.2,8.2.15]

1 arctg x

arctg x C.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025111.1 Кб0Практика-1.doc
#
01.05.2025100.53 Кб0практика.docx
#
12.05.2015165.58 Кб16практика.pdf
#
01.07.2025942.59 Кб0ПРАКТИКА_3.doc
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб53Практикум 2.pdf
#
01.07.2025197.84 Кб0Практикум 6.docx
#
01.07.20252.24 Mб0ПРАКТИКУМ ММІ PART ІІ.doc
#
12.05.20155.25 Mб12Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб56Практикум_Ромашко.pdf
#
01.07.2025230.4 Кб0Практине заняття-заочники.doc