Практикум 2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2 5 8...(3n 1)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2515 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

10. Тейлорова формула

141

( 1)n 1 Rn(x) (n 1)!

		1
	0;	1
,	0;		.
		9
		9

[Підбираємо такий порядок формули Тейлора, щоб залишковий член за модулем не перевищував заданої похибки.]

							2						5		1	2				1				4
							2				3				1					1				4
	3R1(x)							1															10		;
	3R1(x)							1															10		;
					3 2 !															5
					3 2 !										9		3		3
						2 5								8		1	3			5				4
						2 5							3			1				5				4
	3R2(x)								1													10				;
	3R2(x)								1													10				;
						2														9
					3		3 !								9					3
		2 5 8								11		1		4			10					4
		2 5 8								3		1					10					4
3R3(x)						1															10			n 3.
3R3(x)						1															10			n 3.
		3	3	4 !													3	12
		3		4 !									9				3

[Обчислюємо шукане значення за формулою Тейлора 3-го порядку, беручи в проміжних обчисленнях один запасний десятковий знак після коми.]

										2					3
3				1 1 1 2 1					1			1 2 5	1	1
3				1 1 1 2 1					1			1 2 5	1	1
	30 3
	30 3	1
												3 3 3
				3 9 3 3 2 ! 9								3 3 3	3 ! 9

3(1 0, 03703 0, 00137								0, 00008)			3 1, 03574 3, 10722.
					3		3, 1072 10 4.
					3	30	3, 1072 10 4.
10.5. Обчислити e0,1			з точністю до 0, 001.

Розв’язання. [7.7.8.]

[Записуємо формулу Тейлора — Маклорена для ex із залишкови членом у Лаґранжовій формі.]

...

R (x),

1 !

n !

R (x)

xn 1, 0

[Визначаємо потрібний порядок Тейлорової формули, оцінюючи модуль залишкового члена.]

R (x)	e (0, 1)n 1				2		0, 001.
	e (0, 1)n 1				2

n	(n 1)!			10n 1(n		1) !
	(n 1)!			10n 1(n		1) !

				для зручності
		підсилюємо нерівність
	n 1 :		1		0, 001;
	n 1 :	100			0, 001;
		100
	n 2 :	1			0, 001.
	n 2 :	3000			0, 001.
		3000

142 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

	e0,1		1			0, 1			0, 01		1, 0000 0, 1000							0, 0050 1, 105.
	e0,1		1			1 !					1, 0000 0, 1000							0, 0050 1, 105.
						1 !		2 !
										e0,1 1, 105					10 3.
10.6.	Оцінити похибку, яку допускають,														обчислюючи значення ln 1, 5 за фор-
	мулою: ln(1 x) x x2											x 3		x 4 .
Розв’язання. [7.7.8.]											2		3		4
Розв’язання. [7.7.8.]
n 4.
						R4(x)					4 ! x5			, 0 x 0, 5.
						R4(x)						)4		, 0 x 0, 5.
								5 !(1				)4
			0 R (x) max									1 (0, 5)5				(0, 5)5			0, 01 .
			0 R (x) max													(0, 5)5			0, 01 .
					4				0 0,5			5 (1 )4					5
									0 0,5			5 (1 )4					5
			ln 1, 5 0, 5 1 (0, 5)2 1 (0, 5)3 1															(0, 5)4		0, 40.
								2					3				4
									ln 1, 5 0, 40						0, 01.
10.7.	Знайти lim x sin x , використовуючи формулу Тейлора.
			x 0				x 3
Розв’язання. [7.7.7.]
		x sin x							x			x x 3 o(x			4 )				1		o(x		4		1
		x sin x										3 !							1		o(x			)	1

	lim						lim										lim								.
	lim						lim										lim								.
	x 0			3				x 0					3				x 0		3 !			3			6
			x									x							3 !		x				6
			x									x									x

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

10.8.Розвиньте многочлен f(x) x4 5x3 x2 3x 4 за степенями двочлена x 4.

10.9. Розвиньте многочлен f (x) x 3 3x2 2x 4 за степенями двочлена

x1.

10.10.Функцію f (x) (x2 3x 1)3 розвиньте за степенями x, застосовуючи Тейлорову формулу.

10.11. Напишіть Тейлорову формулу 3-го порядку для функції y x 1 при

x0 2 і побудуйте графіки заданої функції та її многочлена Тейлора 3-

го степеня.

10. Тейлорова формула	143
10.12. Напишіть Тейлорову формулу 3-го порядку для функції y tg x	при

x0 0 і побудуйте графіки заданої функції та її многочлена Тейлора 3-

го степеня.

10.13. Напишіть формулу Тейлора — Маклорена n -го порядку для функції

	y xex при x0 0.
10.14. Напишіть Тейлорову формулу n -го порядку для функції y								при
							x	при
	x0 4.
10.15. Знайдіть перші три члени розвинення функції f (x) x10 3x6						x2		2
	за Тейлоровою формулою при x0 1. Обчисліть наближено f (1, 03).
10.16. Знайдіть перші три члени розвинення функції
	f (x) x8 2x7 5x6 x 3
	за Тейлоровою формулою при x0 2. Обчисліть наближено			f(2, 02) та
	(1, 97).
10.17.	Застосовуючи наближену формулу ex 1 x	x2	, знайдіть			1	й оці-
10.17.	Застосовуючи наближену формулу ex 1 x		, знайдіть				й оці-
		2			4 e

ніть похибку.

10.18. Обчисліть з абсолютною похибкою, меншою 0, 001, наближене значення:

1) sin 1;

3) ln 1, 05;

4) 5

33.

10.19. Знайдіть:

1) lim

cos x e x2

2) lim

sin x x(1 x)

;

x 0

Відповіді

10.8. (x 4)4

11(x 4)3 37(x 4)2

21(x 4) 56;

10.9. (x 1)3

5(x 1) 8.

10.10. x6 9x5 30x4 45x3

30x2 9x 1.

10.11. 2 (x 2) (x 2)2 (x 2)3

(x 2)

(2; x).

( 1)

10.12. tg x x

x 3

R3(x).

144 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ


10.13. x	x2	x3	xn
	1!	2 ! ...		Rn(x).
			(n 1)!
10.14. 2 x 4		(x 4)2	(x 4)3		... ( 1)n 1	(2n 2)!	(x 4)n R (x).

	4	64	512			n !(n 1)! 24n 2	n

10.15.1 6(x 1) (x 1)2 ..., f(1, 03) 0, 82.

10.16.f(x) 321 1087(x 2) 1648(x 2)2 ..., f(2, 02) 343, 4, f(1, 97) 289, 9.

10.17.0, 78, 0, 01.

10.18. 1) 0, 842; 2) 1, 648; 3) 0, 049; 4) 2, 012.

10.19.1) 12 ; 2) 3 .

11. Дослідження функцій за допомогою похідних

Навчальні задачі

11.1. Знайти інтервали монотонності і точки екстремуму функції:

1) f (x) 4x 3 21x2 18x 7;	2) f(x) 8x2 x4 ;
	4) f (x) x 2
3) f (x) x 3 x 1 2 ;		ln x.
Розв’язання. [7.9.2–7.9.4, 7.11.1.]	2

1) [Крок 1. Визначаємо область означення.]

D(f ) ( ; ).

[Крок 2. Знаходимо критичні точки 1-го порядку: точки, в яких перша похідна функції рівна нулеві, або не існує [7.9.3].]

	2													1
f (x) 12x	2	42x 18							12(x 3)					1
f (x) 12x		42x 18							12(x 3)				x		.

														2
f (x) 0 x									1	, x		3.
f (x) 0 x							1			, x	2	3.
							1		2		2
f (x) , f (x)									2
f (x) , f (x)								x ( ; ).
Критичні точки 1-го порядку: x				1	, x		3.
Критичні точки 1-го порядку: x		1	2		, x	2	3.
		1				2

[Крок 3. Визначаємо знак похідної на кожному інтервалі монотонності.]

знак f
поведінка f	21 3	x
	max min

[Крок 4. Застосовуємо достатні умови монотонності [7.9.2] й існування точки екстремуму [7.9.4].]

11. Дослідження функцій за допомогою похідних

145

Функція f :

зростає в: ( ; 12),(3; );

спадає в (12 ; 3).

	1		1	45
x	1		1	45	;
x	— точка локального максимуму, y				;
	2	max		4
	2	2		4

x 3 — точка локального мінімуму, ymin(3) 20.

2) D(f ) [ 8; 8].

	16x 4x3						2x 4 x2
f (x)								x			.


	2 8x2 x4									8 x2
f (x) 0 x		1	2, x						2	2.
		1							2
f (x) 8 x2 0 x
f (x) 8 x2 0 x					3,4			8 ( 8; 8).
					3,4
	f (x) x			5		0.
				5
Критичні точки 1-го порядку: x1,2 2, x3						0.
f

f 8 2 0 2 8 x max max

f : ( 8; 2), (0; 2); f : ( 2; 0), (2; 8);

x 2 — точки локальних максимумів, ymax( 2) ymax(2) 4; x 0 — точка локального мінімуму, ymin(0) 0.

3) D(f ) ( ; ).

								2x			5x 3		.
f (x) 3 (x 1)2								2x			5x 3

						3	3 x 1				33 x 1
						3	3 x 1				33 x 1
f (x) 0 5x 3 0 x										1		3 .
										1		5
		3										5
		3		x	1 0				x2 1.
f (x)				x	1 0				x2 1.
f (x) x ( ; ).
Критичні точки 1-го порядку: x		3	, x				1.
Критичні точки 1-го порядку: x	1	5	, x			2	1.
	1					2

146 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

				3
	;
f :	;
				5
				5
	3
	3
f :		;1	;
	5
	5

f 53

max


	);
, (1;	);

1 x min


	3													3 3	4
x	3	— точка локального максимуму, ymax								3				3 3	4	;
x		— точка локального максимуму, ymax														;
	5													5	9
	5									5				5	9
x 1 — точка локального мінімуму, ymin(1)									0.
4) D(f ) (0; ).
		f (x) x				1			x	2	1		.
		f (x) x				x				x			.
		f (x) 0 x2 1 0				x				x
		f (x) 0 x2 1 0	x		1,2			1; x				1		1 (0; ).
		f (x) x			1,2							1
		f (x) x		3		0			(0; ).
		f (x)		3
		f (x)	x			(0; ).
Критична точка 1-го порядку x 1.
		f
		f 0					1		x
						min

f : (1; ); f : 0;1 ;

1 x 1 — точка локального мінімуму, ymin(1) 2 .

11.2. Знайти найбільше та найменше значення функції

y x 4 8x2 3, x [ 1; 2].

Розв’язання. [7.11.3.]

Функція y неперервна на відрізку [ 1; 2].

[Крок 1. Знаходимо критичні точки 1-го порядку функції в ( 1; 2). ]

[Крок 2. Обчислюємо значення функції у знайдених критичних точках і на кінцях відрізку.]

11. Дослідження функцій за допомогою похідних

147

y( 1) 4; y(0) 3; y(2) 13.

[Крок 3. Серед обчислених значень функції вибираємо найбільше та найменше значення функції на відрізку.]

max y y(0) 3;

[ 1,2]

min y y(2) 13.

[ 1,2]

11.4. Довести нерівність x x2 ln(1 x) x, x 0. 2

Розв’язання. [7.9.3, 7.9.4.]

Розгляньмо функцію

y(x) ln(x 1) x.

І дослідімо її на локальний екстремум.

	1			x

y	x 1	1	x 1 0 x 0.
y	x 1	1	x 1 0 x 0.

Функція спадає на (0; ) і отже, своє найбільше значення вона набуває у точ-

ці x 0 : y(0) 0.

Звідси випливає, що y(x) 0 або

ln(x 1) x 0 x 0.

Розгляньмо функцію

	y(x) ln(x 1) x				x 2	.
	y(x) ln(x 1) x				2	.
Дослідімо її на локальний екстремум.					2
Дослідімо її на локальний екстремум.
y (x)	1	1 x	x2	0		x 0.
y (x)	x 1	1 x	x 1	0		x 0.
	x 1		x 1

Функція зростає на (0; ) і, отже,			своє найменше значення набуває у точці
x 0 : y(0)	0. Звідси випливає, що y(x) 0 або
		ln(x 1) x		x2	0 x 0.
		ln(x 1) x		2	0 x 0.
				2
11.4. Знайти інтервали опуклості				і	точки перегину графіка функції
y	1	.

	1 x2

Розв’язання. [7.10, 7.11.2.]

[Крок 1. Знаходимо область означення функції.]

D(f ) ( ; ).

[Крок 2. Знаходимо критичні точки 2-го порядку функції [7.10.3].]

	2x			6x2 2
	(1 x2)2			(1 x2)3 .
f (x)		, f	(x)

148 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

f (x) 0 6x2 2 0 x					1	.
			1,2			.
				3


			).
f (x) , f	(x) x ( ;		).
Критичні точки 2-го порядку: x		1
Критичні точки 2-го порядку: x
1,2
	3

[Крок 3. Досліджуємо знак другої похідної в кожному інтервалі.]

знак	f
поведінка f			1			1	x

				3	3
		т. пер.			т. пер.

[Крок 4. Висновуємо про поведінку функції в кожному інтервалі [7.10.2, 7.10.4].]

Функція f :
				1		1
				1		1
опукла донизу в	;				,		; ;
				3		3
				3		3
		1		1
		1		1
опукла догори в			;		.
опукла догори в			;		.
		3		3
		3		3

x 1 — точки перегину функції.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

11.5.Покажіть, що функція y 2x 3 3x2 12x 1 спадає в інтервалі ( 2;1).

11.6.	Покажіть,			що функція y		2x x 2	зростає в інтервалі (0;1) і спадає в
	інтервалі (1; 2). Побудуйте графік цієї функції.
11.7.	Покажіть, що функція:
	1)	y x 3		x скрізь зростає;			2) y arctg x x скрізь спадає.
11.8.	Знайдіть інтервали монотонності і точки екстремумів функції:

	1)	y (x 2)5(2x 1)4;					2) y 3 (2x a)(a x)2	(a 0);
	3) y x ex ;						4) y x 2e x ;
	5) y		x		;		6) y 2x2 ln x;
	5) y		ln x		;		6) y 2x2 ln x;
			ln x
	7)	y x 2 sin x (0 x 2 );					8) y x cos x.

11. Дослідження функцій за допомогою похідних

149

11.9.Знайдіть найбільше та найменше значення функцій на зазначеному відрізку:

1)	y x 4 2x2 5, [ 2; 2];			2)
1)	y x 4 2x2 5, [ 2; 2];			2)	y x 2 x, [0; 4];

	2
3)	y 100 x	,[ 6; 8];		4)	y sin 2x x,			;
3)	y 100 x	,[ 6; 8];		4)	y sin 2x x,			;	.
						2			2
11.10. Доведіть правдивість нерівностей:
		2
1)		2	);	2)	sin x tg x 2x		0		x
1)	2x arctg x ln(1 x		);	2)	sin x tg x 2x		0		x	.

										2

11.11.Визначте висоту конуса, вписаного в кулю радіусом R, з найбільшою бічною поверхнею.

11.12.Знайдіть висоту прямого колового конуса, описаного навколо кулі радіусом R, найменшого об’єму.

11.13.Покажіть, що графік функції

1) y x arctg x скрізь угнутий;

2) y ln(x2

1) скрізь опуклий.

11.14. Знайдіть інтервали опуклості і точки перегину графіка функції:

	1) y x 3						5x 2 3x 5;												2) y x 4			12x 3 48x2 50;
	3) y ln(1 x2);																		4) y x 4(12 ln x 7);
	5) y 3							3											6) y xe2x 1.
	5) y 3				x 1			3				x 1;							6) y xe2x 1.
Відповіді
						1			11							1		11				1		11
11.8.	1) f					1			11	;			f			1	;	11		xmax		1	, xmin	11	;
11.8.	1) f	: ;					,			;	,		f		:		;		,	xmax			, xmin		;
																						2		18
						2 18									2 18							2		18
																			2a
2) f			2a									2a							2a	,xmin	a;
2) f	: ;			,(a; ), f								:		;a , xmax						,xmin	a;
																			3
				3								3							3

3)f : ( ; 0), f : (0; ), xmax 0;

4)f : ( ;0),(2; ), f : (0;2), xmax 2, xmin 0;

5)f : (e; ), f : (0;1),(1;e), xmin e;

			1						1							1
6) f		0;	1			:			1				xmin			1	;
6) f	:	0;			, f	:				; ,			xmin				;
																2
			2					2								2
													5					5
7) f			;	5							0;		5				xmax	5	,
7) f	:		;		, f		:				0;	,		;2 ,			xmax		,
													3					3
	3				3							3	3					3
11.9. 1) max y 13, min y 4; 2)															max y 8, min y
	[ 2;2]							[ 2;2]							[0;4]		[0;4]

xmin 3 ; 8) монотонно зростає.

3) max y 10, min y 6; 4)		max	y		,	min	y	.
[ 6;8]	[ 6;8]	[ 2; 2]		2		[ 2; 2]		2

150 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

11.11.	4R .							11.12. 4R.
	3
			5			5			5
11.14.		;	5			5			5
11.14.	1) f :	;		, f :			; , x		— точка перегину;
			3						3
			3		3				3
2) f : 2; 4 , f : ;2 ,(4; ),								x 2, x 4 — точки перегину;

3)f : ; 1 ,(1; ), f : 1;1 , x 1 — точки перегину;

4)f : (0;1), f : (1; ), x 1 — точка перегину;

5)f : ( 1;1), f : ( ; 1),(1; ), x 1 — точки перегину;

6)f : ( ; 1), f : ( 1; ), x 1 — точка перегину.

12.Побудова графіків функцій

Навчальні задачі

x3 2

12.1. Знайти рівняння асимптот графіка функції y x2 4 .

Розв’язання. [7.8.2, 7.8.3.]

[Крок 1. Визначаємо область означення.]

Область означення функції D(y) ( ; 2) ( 2; 2) (2; ).

[Крок 2. Досліджуємо поведінку функції у граничних точках області означення.]

Дослідімо поведінку функції, коли x 2 :

lim	x3	2	,
		4
x 2 0 x2
lim	x3	2	.
		4
x 2 0 x2
Пряма x 2 є вертикальною (двобічною) асимптотою графіка функції.
Дослідімо поведінку функції, коли x 2 :

lim	x3		2	,
		2	4
x 2 0 x
lim	x3		2	.
		2	4
x 2 0 x
Пряма x 2 є вертикальною (двобічною) асимптотою графіка функції.
Дослідімо поведінку функції, коли			x , шукаючи похилу асимптоту
y kx b :

			3	2
b	lim	x		2
b	lim
	x		2	4
		x		4

	k lim			x3	2
	k lim
		x x(x2 4)
			3	2	x		3
		x		2	x
		lim
x		lim
		x		x	2	4
				x		4

1,
			4x 2
4x			4x 2
	lim					0.

					4
		x		2	4
	x			2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2515 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025111.1 Кб0Практика-1.doc
#
01.05.2025100.53 Кб0практика.docx
#
12.05.2015165.58 Кб16практика.pdf
#
01.07.2025942.59 Кб0ПРАКТИКА_3.doc
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб53Практикум 2.pdf
#
01.07.2025197.84 Кб0Практикум 6.docx
#
01.07.20252.24 Mб0ПРАКТИКУМ ММІ PART ІІ.doc
#
12.05.20155.25 Mб12Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб56Практикум_Ромашко.pdf
#
01.07.2025230.4 Кб0Практине заняття-заочники.doc