Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2513 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

6. Похідна. Техніка диференціювання

121

loga(xy) loga x loga y;

loga y loga x loga y; loga x loga x, x, y 0.

6.11. Знайти похідну функції y(x), заданої неявно x 3 y3 3axy 0.

Розв’язання. 

[Диференціюємо обидві частини рівності, що задає функцію y(x) неявно, за змінною x.]


(x	3			(y		3			0.
(x		)		(y			)	3a(xy)	0.
			y3		є складеноюфункцією,

а xy - добутком

3x2 3y2y 3ay 3axy 0.

[Залишаємо усі доданки, які містять y , ліворуч і переносимо праворуч решту.]

(3y2 3ax)y 3x2 3ay.

[Виражаємо y . ]

y x2 ay . y2 ax

Коментар. Перехід від неявного задавання функції до явного часто буває


складним, а то й неможливим. Для знаходження похідної y				dy	не рекомен-
				dx
				dx
довано переходити від неявного задавання функції до явного.
6.12. Знайти	похідну	параметрично	заданої		функції

y(x) :

Розв’язання.

tg t t,

;

для довільного значення t

cos

[7.2.8.] 

2 sin t

cos

2 sin t

;

y (t) cos

cos t

cos

(tg t t)

cos2 t

tg t t,

2 sin t

(x) :

(t)

cos t cos3 t

4 .

і для t 4 .

122 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

6.13. Знайдіть похідну функції:

1) f (x) x 4 13 x 3 2, 5x2 0, 3x 0, 1;

			1 4
3)	f(y) 2 y		1 4	3;
			y
4)	f (x) (x2 3x 3)(x2				2x 1);
5)	f(x)	x	;		6) s(t)

		x2 1
		x2 1
6.14. Знайдіть похідну функції:
1)	f (x) sin x ctg x;				2) f (x)

2) f (x) ax 2 bx c;

3t2 1 . t 1

x	;
1 cos x

3) f (x)	tg x	;	4) ( ) sin cos .
	x

6.15. Знайдіть похідну функції:

1)	f (x) x2 log3 x;			2)	f(x) x 1			;
						lg x
3)	f (x) x sin x ln x;			4)	f (x)	1	;
3)	f (x) x sin x ln x;			4)	f (x)	ln x	;
						ln x
5) f (x)		x	;	6) f (x) x 10x ;
5) f (x)			;	6) f (x) x 10x ;
		4x

7) f (x) ex ; sin x

9)f (x) (x2 2x 3)ex ;

6.16.Знайдіть похідну функції:

1)f(x) (5x2 7)3;

				3		4
						4

3) f (x)	1	2	x		2	;
				x	2
				x

8) f (x) cos x ; ex

10) f (x) 1 10x . 1 10x

2) f (x) (1 5x 8x2)5;

4) f(x) 3x2 5x 1;

		6. Похідна. Техніка диференціювання				123
5) f(x)	1		;	6) f (x)	10	;
					(4x 3 5x2 7x 1)4
	3 x2 5

7)f (x) (5x2 7x 2)(15x2 5)3; 8) f(x) (8x3 21)3(7 4x3)2.

6.17.Знайдіть похідну функції:

		1
1) f (x) sin x;	2) f (x)	1	;

		cos x
		cos x

3) f (x)

5) f (x)

7)f (x)

8)f (x)

ctg4 x;	4)	f (x) 5 cos5 x;
7 tg6 x;	6)	f(x) 8 sin2 x;

71 sin 7x 53 sin 5x 13 sin 3x;

19 cos 9x 73 cos 7x 83 cos 3x;

	2			3
	2			3
9) f (x)							sin x;
9) f (x)		4			2		sin x;
		4	x	cos	2
cos			x	cos		x

6.18.Знайдіть похідну функції:

1)f (x) arcsin 5x;

3) f (x) arccos(1 x2);

		2
		2
10) f (x) cos


2)	f (x) arcsin
4)	f (x) arccos

	2		3
x	2		3	x.
x		sin		x.
	3
	3

x1 ;

f (x) arctg 3x2;

f (x) arctg x;

f (x) arcsin3 x2;

f (x) arctg2

;

f(x) arccos4 5x;

10) f(x) arcctg

x3;

cos x

11) f(x) arcsin

1 x2, x 0;

12) f (x) arctg

sin x

6.19. Знайдіть похідну функції:

1) f (x) 23x ;

2) f (x) 6 x 2 ;

f (x) earctg x ;

f (x) axn , a 0;

5) f (x) (ax )n, a 0;

6) f (x) e1 x ;

124 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

f (x) ln(15e

);

f (x)

ln(x 2 x 1)

6.20.

Знайдіть похідну функції:

f (x) ln

(x 4)13 28 (x 3)13

;

12 x 1

f (x) ln

x2(2x 4)7

;

)(2x 3)

3) f (x) (5x 4)3(x 2)2(3 4x); 4)

f (x)

x(x2

;

x 4

f (x)

5x2

sin3 x cos4 x;

f (x)

(x 5)7(x2 4x 2)3

;

f (x) xx ;

f (x) (sin x)arcsin x ;

;

cos x

;

f (x) (ln x)

10) f(x) (tg x)

11) f (x) x 3ex2

sin 2x x1 x ;

12) f (x) x x 2 x 2x

2x x .

6.21.

Знайдіть похідну функції:

1) f (x) ch3 x;

2) f(x) ln th x;

f (x) cos x ch x sin x sh x;

f (x) ch x cos x .

sh x sin x

6.22.

Знайдіть похідні y функції y(x), заданої неявно:

2y ln y x;

3) cos(xy) x;

5) y x arctg y;

7)arctg yx ln x2 y2 ;

6.23.Знайдіть похідну yx функції y(x),

x a( sin ),

y a(1 cos );

4) x23 y23 a23;

6) xy yx ;

	x y		a
8) a	x y	x
			.
			.

		y

заданої параметрично:

2) x t t 1 , y t t 1 ;

6. Похідна. Техніка диференціювання

125

x ln(1

3at

4) x

, y

1 t

y t arctg t;

6.24.

Знайдіть диференціал функції:

1) f (x) sin x x cos x 4;

2) f (x) x arctg x ln

1 x2 .

Відповіді

6.13. 1) 4x3 x2 5x 0, 3; 2) 2ax b; 3)

; 4) 4x3

3x2 8x 9;

1 x2

3t2 6t 1

;

(1 x

)

6.14. 1) f (x) cos x

; 2) f (x) 1 cos x x sin x ;

3) f (x) x sin x cos x

;

sin2 x

(1 cos x)2

x2 cos2 x

4) ( ) cos .

6.15. 1) f (x) 2x log3 x

; 2) f

(x) x ln 10 lg x x 1

;

ln 3

x ln 10 lg2 x

3) f (x) sinx ln x x cosx lnx sinx; 4)

f (x)

;

x ln2 x

5) f (x) 4 x(1 x ln 4); 6)

f (x)

10x(1 x ln10);

7) f (x)

ex(sin x cos x)

;

sin2 x

8) f (x)

sin x cos x

; 9)

(x) ex(x2

1); 10)

(x)

10x ln 10

2 .

)

2 4

6.16.

1) 30x(5x

2) 5(1 5x

16x); 3)

7) ;

) (5

4 1

;

6x 5

; 5)

;

40(12x2

10x 7)

;

2 3x2 5x 1

33 (x 2 5)4

(4x3 5x

7x 1)5

7) (10x 7)(15x2

5)3 90x(15x2 5)2(5x2 7x 2);

160x5

3 7 4x3

cos x

sin x

6.17.

;

; 3) 4 ctg

4) 25 cos

( sin x);

;

sin x

cos

sin

5) 42 tg5 x

; 6) 8 sin 2x;

7) cos 7x 3 cos 5x cos 3x;

cos2 x

8 3 cos4 x

; 10)

5 sin2 x cos3 x.

8) sin 9x 3 sin 7x 8 sin 3x; 9)

cos5 x

6.18.

; 2)

; 3)

;

1 9x4

1 25x2

x x2

1 (1 x2 )2

x2 1

126 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

;

3 arcsin2 x2

;

arctg

;

2 arctg x

1 x4

x4 1

arccos3 5

; 12) 1 .

;

10)

3 x

; 11)

1 25x2

2(1 x2 )

1 x2

6.19. 1) 3 23x ln 2;

2) 2x

6 x

ln 6; 3)

earctg x

4) nxn 1ax

ln a; 5) nanx lna;

x2 1 ;

e1 x

15ex 2x

;8) 5ln(x

x 1) ln 5

2x 1

x2 ; 7)

15ex

x 1

4x 7

6.20. 1)

; 2)

;

x 2

2x2

7x 6

2x 3

21(x 4)

28(x 3)

12(x 1)

15(5x 4)2(x 2)2(3 4x) 2(5x 4)3(x 2)(3 4x) 4(5x 4)3(x 2)2;

f (x)

(x)

;

f (x)

3 ctg x 4 tg x ;

x 4

12x

; 7) x (ln x 1); 8)

f(x)

f (x) arcsin x ctg x

x 5

4x 2

cos x

(ln x)

ln ln x ; 10) (tg x)

sin x ln tg x ;

x ln x

sin x

11)–12) Вказівка. Знайдіть похідну кожного доданку окремо.

ln sin x ;

1 x2

6.21. 1)

x sh x; 2)

;

3) 2 cos x sh x; 4)

2 sh x sin x

3 ch

sh 2x

(sh x sin x)2

b2x

1 y2

y2 xy ln y

1 y sin(xy)

6.22. 1)

a2y

; 2)

;

; 4) 3 x ; 5)

; 6)

;

2(1 ln y)

x sin(xy)

x2 xy ln x

7) x y

;

8) y .

x y

6.23. 1)

: x a( sin ),y

( ) ctg ; 2)

: x 1

,y (t) 1;

3) y : x

ln(1 t2),y

(t)

; 4)

: x

3at

,y (t)

t(2 t3)

2t3

6.24. 1) x sin xdx; 2) arctg xdx.

7. Застосування похідної

Навчальні задачі
7.1.	Записати	рівняння дотичної та	нормалі до графіка функції
	f (x) x2	6x 4 в точках M1(4; 4)	та M2(3; 5).

Розв’язання. [7.5.4, 7.5.5.]

[Обчислюємо, похідні функції f(x) у точках M1 та M2. ]

7. Застосування похідної

127


						0.
f (x) 2x 6;		f (x1) 2; f (x2)
Дотична до кривої y f(x) у точці M1			має рівняння
y ( 4) 2(x 4); y 2x 12.
Дотична до кривої y f(x) у точці M2			має рівняння
y ( 5) 0(x			3); y 5.
Нормаль до кривої y f(x) у точці M1			має рівняння
y ( 4)	1	(x 4); y		1	x 2.

2			2
Нормаль до кривої y f(x) у точці M2			має рівняння

x 3.

7.2.Визначити, в якій точці дотична до параболи y x2 :

1)паралельна прямій y 4x 5;

2)перпендикулярна до прямої 2x 6y 5 0;

3) утворює із прямою 3x y 1 0 кут 4 .

Розв’язання. [2.5.2, 2.5.3.]

Нехай точка дотику M0(x0; y0 ). Тоді:

[2.5.2]

kдот. y (x0) 2x0.

1) У паралельних прямих рівні кутові коефіцієнти. Отже, kдот. 2x0 4 x0 2, y0 4.

Дотична до параболи y x2				паралельна прямій y					4x 5 у точці M0(2; 4).
2) [Знаходимо кутовий коефіцієнт прямої 2x 6y									5 0.]
			2x 6y 5 0 y			1	x	5	k				1	.

								6
					3			6		3
У перпендикулярних прямих кутові коефіцієнти зв’язані співвідношенням
Отже,				k1k2	1.
Отже,
			kдот. 2x0 3		x0			3	, y0		9	.
			kдот. 2x0 3		x0			2	, y0	4		.
								2		4
Дотична до параболи y x2				перпендикулярна до прямої						2x 6y 5 0 в точці
	3
	3	;	9
M0		;	.
	2
	2		4

3) [Знаходимо кутовий коефіцієнт прямої 3x y 1 0.]

128 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

3x y 1 0 y 3x 1 k 3.

		[?]			2x0				3		2x0		3			x		1,	y		1,
		[?]														x		1,	y		1,
																	0			0
tg														1				1				1
tg														1
	4		1		2x			0		3	6x	0	1			x			y				.
	4		1		2x					3	6x		1			x			y				.
																	0	4		0		16
																	0			0

Дотична до параболи y x2 утворює кут																із прямою 3x y 1 0 в точках
															4
					1		1
M1( 1; 1) та M2					1		1
						;			.
						;			.
							16
				4			16
7.3. Визначити,						під яким кутом перетинаються гіпербола y 1																із парабо-
																					x

лою y x.

Розв’язання. [7.5.6.]

[Знаходимо точки перетину гіперболи та параболи.]


		x,
y		x,
			1

	1			x x 1, y 1.
	1			x x 1, y 1.
			x
y			x
	x
	x

Криві перетинаються в точці M0(1; 1).

[Знаходимо кутові коефіцієнти дотичних у точці M 0.]

(x )

\|		1


x 1	2		x

x12

x 1

12 ;

Отже,

[?]	1		( 1)
tg		2	( 1)			3.
tg	1			1	( 1)	3.
				1

Криві утворюють кут arctg 3.			2
Криві утворюють кут arctg 3.

7.4.1) Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) t2 3t 1 (м). Визначити його швидкість у момент t 4 с.

2) Кількість електрики, що протікає через провідник, починаючи з мо-

менту t 0, задано формулою q(t) 2t2 3t 1 (Кл). Знайти силу

струму наприкінці п’ятої секунди.

Розв’язання.

1) Швидкість руху тіла є похідною від пройденого шляху. Отже, v(t) s (t) (t2 3t 1) 2t 3 v(4) 11 (м/с).

7. Застосування похідної

129

2) Сила струму є похідною від кількості електрики, що протікає через провідник. Отже,

I(t) q (t) (2t2 3t 1) 4t 3 I(5) 23 (А).

7.5.Написати рівняння дотичної та нормалі у точці M 0(2; 2) до кривої

	1		1
	1		1

x	t				,
	t	t		2
L :	1	t			3
	1				3
						.
y	2t			2t2		.
	2t			2t2
Розв’язання. [7.5.4, 7.5.5.]

[Знаходимо значення параметра t,						яке відповідає точці M0(2; 2). ]
				1				1
				1				1
	2									,
	2			t						,
				t			t		2			t		1.
					1		t		3			t		1.
					1				3
	2
	2			2t					2t		2
				2t					2t		2
Точці (2; 2) кривої відповідає значення параметра t																1.
[Обчислюємо похідну yx (1). ]
[7.4.5] y								t 6									7
y (t)				t									; y		\|			.
y (t)													; y		\|			.
x			x				2t 4							x	t 1		6
Рівняння дотичної:				t
Рівняння дотичної:
y 2		7	(x 2);								6y 7x 2 0.
y 2		6	(x 2);								6y 7x 2 0.
		6

Рівняння нормалі:

y 2 76 (x 2); 7y 6x 26 0.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

7.6.Запишіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції y f(x) у заданій точці:

1) y	x	, x	0	4;	2) y x 3 2x 2 4x 3, x	0	2.
			0			0

7.7.У яких точках кутовий коефіцієнт дотичної до кубічної параболи y x 3 дорівнює 3 ?

7.8.1. Скласти рівняння дотичної до параболи y 12 x2 3x 6, перпенди-

кулярної до прямої x 5y 10 0.

2. Скласти рівняння дотичної до кривої y x3, паралельної прямій

3x y 5 0.

130 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

7.9.З’ясуйте, під якими кутами перетинаються:

1)парабола y x2 та пряма 3x y 2 0;

2)синусоїда y 1 sin x та пряма y 1;

3) коло x2 y2 8ax та крива y2	x 3	.
	2a x

7.10.1. Точка рухається прямолінійно за законом s(t) (9t t3) м. Знайдіть швидкість руху для моментів t 1 с та t 2 с.

2.	Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) t4				4t3	16t2. Знай-
				4
діть швидкість руху. Коли тіло рухається у зворотному напрямі?
7.11. 1.	Напишіть рівняння	дотичної та нормалі до			еліпса	x 3 cos t,
		3

y 4 sin t, у точці M0
			; 2	2 .
			; 2	2 .
		2
		2

2. Напишіть рівняння дотичних до кривої x t cos t, y t sin t, t		, у
початку координат і в точці, яка відповідає значенню параметра t	0	.
	0	4
		4

7.12.Складіть диференціальне рівняння кривої, що має характеристичну властивість:

1)квадрат довжини відрізка, який відтинає будь-яка дотична від осі ординат, дорівнює добутку координат точки дотику;

2)будь-яка дотична перетинається з віссю ординат у точці, однаково віддаленої від точки дотику до початку координат.

Відповіді

7.6. 1) x 4y 4		0,			4x y 18					0; 2) y 5					0, x 2 0.
7.7. (1;1),( 1; 1).
7.8. 1. 5x y 38		0; 2. 3x y 2 0.
7.9. 1) 1 arctg		1 , 2			arctg			1	;	2)		1		, 2	3 ; 3) 1	, 2	.
7.9. 1) 1 arctg		1 , 2			arctg				;	2)		1		, 2	3 ; 3) 1	, 2	.
		7					13							4	4	4	2
7.10. 1. 6 м/с; 3		м/с. 2. v t3					12t2					32t, рух у зворотному напрямі від t 4						до t 8.
7.11. 1. y 4 x 4							3 x 7						2	0. 2.	y 0,( 4)x ( 4)y 2				2
				2 0, y									2						2	0.
				2 0, y								8						4		0.
3							4					8						4
	y					1 y					x
	y		y			1 y					x
7.12. 1) y				; 2) y
												.
												.
	x		x								y
	x		x			2 x					y

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2513 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.05.201528.08 Кб7практика, мова1.docx
#
01.03.2025111.1 Кб0Практика-1.doc
#
01.05.2025100.53 Кб0практика.docx
#
12.05.2015165.58 Кб16практика.pdf
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб53Практикум 2.pdf
#
12.05.20155.25 Mб12Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб56Практикум_Ромашко.pdf
#
01.03.2025136.19 Кб0Практическая работа7.doc
#
01.05.20253.59 Mб0Практическая_часть-WordPress.doc
#
01.03.2025402.94 Кб2Практичні роботи 1-6.doc