Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

																		2. Границя послідовності																																	91
3)	lim							(n 1)2														;						4)		lim		(n 1)(n 2)(2n 1)																		;
n		(n 1)3 (n 3)3																											n													4n3 1

													3 8n3 3																						n2 n 9n2 2n
5)	lim			n 2									3 8n3 3										;					6)		lim					n2 n 9n2 2n																;
5)	lim																						;					6)		lim																					;
n							4 n 5 n																						n				3				n3 1 3 8n3 2
7)	lim	(2n 1)! (2n 2) !																						;				8)		lim											(n 4)!							;

		(2n					3)! (2n 2)!																															3) !					(n				2)!
n		(2n					3)! (2n 2)!																						n (n									3) !					(n				2)!
9)	lim	2 5n 4n											;															10)			lim					3n 4n								;
9)	lim												;															10)			lim													;
n 3 5n 4n																															n 3n 4n 1
					3
11)	lim				3		n2 n						3 n						;									12)			lim (								n2 3							n2 3);
	n																														n
						n		2							n		3																			2n					2	5			n	2	4
						n									n																					2n						5			n		4
13)	lim																				;							14)			lim

																																						4n 1							2n 3				;
	n		n 1										n		2	1															n							4n 1							2n 3
													n			1
																																		4						sin 2n			;
15)	lim		n cos n ! ;																									16)			lim			4				n		sin 2n
15)	lim		n cos n ! ;																									16)			lim
	n n2 1																														n n3 1
					1						3										2n 1
17)					1						3			...							2n 1
17)	lim									n				...									n				;
			n			2				n		2											n		2
	n					2						2													2
									1				1					1											n 1
									1				1					1									( 1)
18)	lim																			...

			1																												;
	n								3				9					27										n 1
									3				9					27									3
																											3
						1							1													1
19)						1							1			...										1
	lim																												;
	lim					2					2		3											n(n					;
			1			2					2		3											n(n				1)
	n
						1							1															1
20)						1							1				...											1
	lim																																.
	lim					3						3			5									(2n									.
			1			3						3			5									(2n			1)(2n 1)
	n

2.16. Доведіть існування границі послідовності

x			1	1	...	1	.
	n
		2	1	22 1		2n 1

2.17. Доведіть існування границі послідовності і знайдіть її:

1) 2, 2	2, 2 2		2,...;	2) 0, 2, 0, 23, 0, 233, 0, 2333, ...;
3) xn 1	xn	, x1	a	0.
	2 xn

92	Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

2.18.Встановіть, які із заданих послідовностей є нескінченно великими, а які нескінченно малими:

1) xn 2 n ;			2) xn n( 1)n ;
3) xn n sin	n	;	4) xn lg(lg n), n 2;
	2

5)xn n 32 n n3 ;

6)xn 2n2 4n 1 2n2 3n 2.

Відповіді

11 1 1

2.9.1) {xn } 1, 2 , 3 , 4 , 5 ,....; 2) {xn } 1, 3, 5, 7, 9,....

2.12. 1) зростаюча, необмежена; 2)

немонотонна, обмежена;

зростаюча, обмежена;

4) спадна, обмежена зверху.

2.13. 1)

xmax x3 4;

2) xmax

3) xmax

x9 x10

109

; 4) xmax x1

2 .

2.15. 1)

3 ; 2)

0; 3) 1 ;

4) 1 ;

5) 2;

6) 2;

7) 0; 8)

; 9) 2 ; 10)

; 11) 1 ; 12) 0;

13) 1;

14) 5 ; 15) 0;

16) 0; 17)

1; 18)

; 19) 1; 20)

1 .

2.17.1) 2; 2) 307 ; 3) 0.

2.18.1), 4) — н. в. п.; 5) — н. м. п.

3. Границя функції

Навчальні задачі

3.1.Виходячи з означення границі функції за Коші (мовою ), довести, що:

1)lim(4x 1) 9;

3) lim .

x 2 x 2

Розв’язання. [6.3.3.]

1) Візьмімо 0 і знайдімо таке

2) lim	1	0;


x x 2

( ), що для всіх x, які справджують нерів-

ність	x 2	, виконано нерівність
			(4x 1) 9	;	x 2		.

						4
						4

3. Границя функції

Якщо 4 , то

x 2 4 (4x 1) 9 .

Отже, lim(4x 1) 9.

x 2

2) За означенням

lim

x x 2

0 0 x : x

x 2

Візьмімо довільне 0,

тоді

(0) O

U ( )

x 2

; x 2

;

Якщо			1	2, коли				1	2 0,		або	0,		коли
Якщо				2, коли					2 0,		або	0,		коли

1 2 0,			то

												1
										x				,
										x			x 2	,
а, отже, lim					1		0 .

						2
		x x				2
3) За означенням
	lim		1		0 0								x : 0		x 2
			1

			2
x 2 x
x 2 x
Візьмімо довільне 0, тоді
					1					x 2		1 .
	1
	1

	x 2				x 2
	x 2				x 2

Рис. до зад. 3.1.2)

		1		.
	x 2

U ( )

Якщо 2	1	, то для всіх x :				2
						O	x
0	x 2			1	.	U ( 2)
0	x 2			x 2	.
Отже, lim		1	.				U ( )
Отже, lim			.
x 2 x 2

Рис. до зад. 3.1.3)

3.2.Знайти:

94	Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

lim

;

lim

x2 1

;

2x2

x 1

x 0 2x2 x 1

x 1 2

lim

;

lim

x 1 2x2 x 1

x 2x2 x 1

Розв’язання. [6.3.8, 6.4.5, 6.4.6, 6.5.] 

1) [Функція є відношенням двох многочленів. Оскільки знаменник не прямує до нуля, коли x 0, то до обчислення цієї границі застосовна теорема [6.3.8.]]


lim	x2	1	0 1		1.
lim			2 02	0 1	1.
x 0 2x2 x 1			2 02	0 1

2) [Знаменник дробу прямує до нуля, коли x 12 , а чисельник до нуля не пря-

мує — це «визначена» ситуація.]

	x	2	1		3	[6.4.6]

					4

lim							.
lim				0			.
x 1 2 2x2 x 1				0

3) [Маємо невизначеність 0 — чисельник і знаменник раціонального дробу

прямують до нуля — щоб знайти границю, треба перетворити вираз під знаком границі.]

x2 1

[5.5.5]

(x 1)(x 1)

x 1

lim

2 x 1 x

x 1

2x 1

4) [Оскільки найвищі степені чисельника і знаменника рівні, то границя відношення многочленів, коли аргумент прямує до нескінченності, дорівнює відношенню старших коефіцієнтів чисельника і знаменника.]

		x	2	1	[6.5.5]	1 .
lim		x		1
lim
x	2x	2	x 1			2
Справді,	2x		x 1			2
Справді,

		x2 1				1		1		1
								x2
lim				lim							.
	2x		x 1			2 x	x2			2

x		2			x	1			1

Коментар.  Способи відшукання границі функції в точці залежать як від самої функції, так і від точки, до якої прямує аргумент функції.

3.3.Знайти:

3. Границя функції

lim

3x 2

;

2) lim

5x 6

;

(x 3)2(x

x 2 2x2 x

x 3

3) lim

x2 16

5 3

x 4 x

Розв’язання. [6.3.8.]

3x 2

[5.5.5]

(x 2)(x 1)

x 1

1) lim

lim

2(x 2) x

x 2

x 6

x 2

5x 6

[5.5.5]

(x 3)(x 2)

2) lim

lim

x 3

3) (x

(x 3) (x 1)

	x 2		1
lim				.
lim				.
x 3	(x 3)(x	1)	0
	(x 3)(x	1)	0

[4.16.5]

x2 16

(x2 16)(

x 5

3) lim

lim

x 5

x 5 3 x

x 4

lim (x 4)(x

4)(

x 5

3) lim(x 4)(

x 5 3) 48.

x 4

3.4.Знайти:


1) lim	x2	2x 5	;	2) lim	3x2		6	;
		x 1				4x2
x x3				x 5

lim

x 3 1

;

4) lim

4x2 x

x8 5x 3

x x2

x 4

Розв’язання. [6.5.5.]

2x 5

[6.5.5]

lim

0 (степінь многочлена знаменника вищий за

x 1

степінь многочлена чисельника).

[6.5.5]

lim

(степінь многочлена чисельника дорівнює сте-

5 4x

пеню многочлена знаменника — границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів многочленів).

	x	3	1	[6.5.5]
3) lim					(степінь многочлена чисельника вищий за степінь
		2	2
x	x

многочлена знаменника).

96	Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

									1						[6.4.6]
		4x2 x								4
		4x2 x								4		x
4) lim							lim									4
4) lim							lim									4
x 4		8					x		5				3
	x		5x 3					4 1
	x		5x 3					4 1			x7			x8
(найвищі степені чисельника і знаменника дорівнюють 2 з урахуванням показ-
ника кореня).
3.5. Знайти:
																1			3
					2
1)		lim 3x		9x	2	3x 1			; 2) lim
																				.
																2	x		x 2	.
	x														x	2	x	2	x 2
	x												x 2					2

Розв’язання.

1) lim

9x2

3x 1

[ ]

[4.16.6]

lim

9x2

3x 1

9x2 3x 1

lim

9x2

3x 1

lim

(3x 1)

3x 9x2

9x2 3x 1

3x 1

x 3x

lim

9x2 3x 1

[ ] .

(x 1) 3

2) lim

[ ] lim

x 2

2)(x 1)

x 2

lim

x 2

lim

1 .

(x 2)(x

x 2

x 2 x 1

3.6.Знайти а) f (x0 0); б) f(x0 0):

1) f(x)

x 1

1), x0

2) f (x)

, x0 2;

x 1

x 2

x 1,

x 2,

3) f (x)

x 2,

2x 2,

Розв’язання. [6.3.4, 6.3.5.]

x 1

[4.13.1]

x 1

1) lim

lim

x 1

(x 1)

x 1 0

x 1

[4.13.1]

x 1 1.

lim

x 1

x 1 0

x 1 0 x 1

3. Границя функції

2)	lim	2	; lim		2	.


	x 2 0 x 2			x 2 0 x 2
3)	lim f(x)			lim (x 1) 3;		lim f (x)	lim ( 2x 2) 2.
	x 2 0			x 2 0		x 2 0	x 2 0

3.7.Знайти:

1) lim lg(4x 1

2x 5);

2) lim 4

x 1

;

x 2

3) lim sin

x 2

Розв’язання. [6.9.1, 6.3.8.] 

1) lim lg(4x 1

5) lg

lim(4x 1 2x 5)

lg 10 1.

x 2

lim

2) lim 4x 1

16.

4x x 1

2(x

3) lim sin

lim sin

x 2

(x 2)(

lim sin

sin lim

sin

x 2

2x 2

x 2

Коментар. У цій задачі скористаємось можливістю переходу до границі під знаком неперервної функції, а функції y lg x, y 4x, y sin x, y cos x — неперервні в будь-якій точці області означення.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

3.9.Виходячи з означення границі за Коші (мовою ), доведіть, що:

lim(3x 8)

lim

5x 1

;

x 1

3x 9

lim

;

lim 1

x)2

x 1 (1

x 0 x

3.10. Знайдіть:

lim

x2 4

;

lim

x2 4

;

x 1 3x2 2x

2 2x

lim

;

lim

x2 4

x 2 3x2

2x 16

x 3x2 2x 16

98	Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

3.11.

Знайдіть:

3x 1

1) lim

;

2) lim

x 4

x 2

x 0

3) lim

;

4) lim

x2 3

x 1

3.12.

Знайдіть:

1) lim	3x 3	2x2 5		;
		3	x 1
x 2x

3) lim	x 4 x2 1		;
	x2	10
x


5)	lim		x2 1		x	;

			4 x3 x x
	x
7)	lim	(x 1)10 ... (x 100)10

	x			x10 1010

3.13.Знайдіть:

1)lim x3 2x2 x 2 ;

x 1 x2 4x 3

3)	lim	x	2 2x 1		;
3)	lim			x3 x	;
	x 1			x3 x
5)	lim			49 x2	;

			8 x
	x 7 1		8 x
		3
7)	lim	3		10 x 2		;

				x 2
	x 2			x 2

3.14. Знайдіть:

lim

7x 3

;

x x2

x 6

lim

8x 7

;

x 3 4 x2

lim

3 x4 3 5 x

3 4

;

3 x7 1

; 8)

lim

5x 4x

3x 2x .

lim

x 3

3x2 2x 1

;

x2 5x 6

x 3

lim

8x3 1

;

6x2 5x

x 1 2

lim

x2 1 1

;

x2 16 4

x 0

lim

(n, m , a 0).

x a xm

1)	lim				x2 12x				9x2 18x 5			;
	x

2)	lim			3 (x 1)2			3	(x 1)2		;
	x
				12			1							1	3
3)				12			1			4)				1	3
	lim								;		lim						;
	lim								;		lim						;
	x 6		2	36							x 1			x	1 x	3
		x		36		x 6							1	x	1 x

3. Границя функції

	x	3	x	2
	x		x
					;

5) lim			2x 1
x	2	1	2x 1
2x		1
3.15. Знайдіть а) f (x0 0); б) f(x0 0):


1)	f(x)		x 1		, x0 1;
1)	f(x)		x 1		, x0 1;
			x 1
						x 2,
		2x 1,				x 2,
3)	f (x)						x		2;
3)	f (x)			x2,		x 2,	x	0	2;
				x2,		x 2,		0

3.16.Знайдіть:

1)lim 3x 1;

			1	x 1
3)			1
3)	lim			;
		2
		2
	x
5)	lim	arctg x;

3.17.Знайдіть:

	x		3
	x


6) lim				x .
x	2	1
x		1

2) f (x) 3x 2, x0 2;

	1
	1
		, x 0,
		, x 0,	x		0.
4) f(x) x 2			x	0	0.
	x,	x 0,		0
	x,	x 0,

2)lim 3x 1;

			1	x 1
4)			1
4)	lim			;
		2
		2
	x
6)	lim	arcctg x.
	x

x 1

1)lim log2(7x 1 3x 1);

x 1


	3 x 2
	3 x 2

3) lim cos		;
3) lim cos	x 1	;
	x 1
x 1
x 1

Відповіді

2)lim 2x2 1;


	1 x

		1 x
4) lim	1 x		.
4) lim			.

	2 x
x 0

3.10. 1)		1	; 2) ; 3)			2		; 4)			1	.	3.11. 1) 9;			2)	3	; 3) ; 4) 0.
3.10. 1)	5		; 2) ; 3)					; 4)		3		.	3.11. 1) 9;			2)		; 3) ; 4) 0.
	5			7						3						4
3.12. 1)		3	; 2) 0;	3) ; 4)						2;			5) 1; 6)		0; 7) 100; 8) .
3.12. 1)	2		; 2) 0;	3) ; 4)						2;			5) 1; 6)		0; 7) 100; 8) .
	2																		1			n
3.13. 1) 1; 2) ; 3) 0; 4) 6; 5)													28; 6) 4;			7)			1	; 8)		n	an m.
3.13. 1) 1; 2) ; 3) 0; 4) 6; 5)													28; 6) 4;			7)				; 8)			an m.
																12					m
3.14. 1) ; 2)				0; 3)					1	; 4) 1;				5) 1	;	6) 0.
3.14. 1) ; 2)				0; 3)						; 4) 1;				5) 1	;	6) 0.
				12										4
3.15. 1) f( 1 0) 1, f( 1 0)														1;	2) f(2 0)						0, f(2 0) ;
3) f(2 0) 3, f(2 0) 4;													4) f( 0) 2, f( 0)								0.
3.16. 1)	; 2)			0; 3) ; 4)									0; 5)		;	6) 0.
3.16. 1)	; 2)			0; 3) ; 4)									0; 5)		;	6) 0.
														2
3.17. 1)	3; 2) 1;			3)	2		; 4)			1 .
3.17. 1)	3; 2) 1;			3)			; 4)			1 .
				2						2

100	Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції

Навчальні задачі

4.1.Знайти lim (cos x 1 cos x);

Розв’язання. [6.4.3.]

[5.10.11]

x 1

sin

x 1

lim (cos

x 1 cos

x )

lim

2 sin

lim

2 sin

x 1

sin

2( x

x 1)

lim

sin

sin lim

sin 0

2( x 1

Функція 2 sin

x 1

обмежена, оскільки:

2 sin

x 1

Добуток нескінченно малої функції на обмежену є функцією нескінченно малою. Отже,

lim 2 sin	x 1 x	sin	1		0.
	2		2(x
x				x 1)

4.2.Знайти:


1)	lim sin 5x ;			2)	lim	sin 2x tg x		;
1)	lim sin 5x ;			2)	lim			;
	x 0	x			x 0		1 cos 2x
3)	lim	sin x sin a	;	4)	lim		ln(1 3x )		;
	x a	x a			x ln(1 2x )

3sin 5x 3sin x

6) lim

4 arctg

5) lim

;

1 x

x 0 ex2

cos x

x 0

Розв’язання. [6.8.]

sin 5x

[6.8.1]

1) lim

sin 5x

5x, x

lim

x 0

[6.8.1]

[6.8.2]

2) lim

sin 2x tg x

sin 2x

2x, tg x x, x 0

lim

2x x

[6.8.3]

x 0

1 cos 2x

2x2, x

x 0

(2x)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025111.1 Кб0Практика-1.doc
#
01.05.2025100.53 Кб0практика.docx
#
12.05.2015165.58 Кб16практика.pdf
#
01.07.2025942.59 Кб0ПРАКТИКА_3.doc
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб53Практикум 2.pdf
#
01.07.2025197.84 Кб0Практикум 6.docx
#
01.07.20252.24 Mб0ПРАКТИКУМ ММІ PART ІІ.doc
#
12.05.20155.25 Mб12Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб56Практикум_Ромашко.pdf
#
01.07.2025230.4 Кб0Практине заняття-заочники.doc